2020-2021學年新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何124二面角課件新人教B版選擇性必修第一冊

1、1.2.4二面角核心素養(yǎng) 1.掌握二面角的概念.(數(shù)學抽象)2.理解二面角的平面角的含義.(直觀想象、邏輯推理)3.會用向量法解決二面角的計算問題.(數(shù)學運算) 思維脈絡激趣誘思知識點撥地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”,黃道面與地球赤道面的交角(二面角的平面角)為2326.黃道面與天球相交的大圓稱為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9以內(nèi)的區(qū)域稱為黃道帶,太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個星座,稱為“黃道十二宮”.從春分(節(jié)氣)點起,每30便是一宮,并冠以星座名,如白羊座、獅子座、雙子座等等,這便是星座的由來.激趣誘思知識點撥1.二面角及其度量 激趣誘思知識點撥微練

2、習在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA與平面BCDA所成二面角的大小為.答案:45微思考兩個平面相交時,它們所成角的取值范圍是什么?提示:(0,90激趣誘思知識點撥2.用空間向量求二面角的大小(1)如果n1,n2分別是平面1,2的一個法向量,設1與2所成角的大小為,則有=或=-,特別地,sin =sin.(2)設二面角-l-為,平面,的法向量分別為n1,n2,激趣誘思知識點撥名師點析 利用公式cos= (n1,n2分別為兩平面的法向量)進行求解,注意與二面角大小的關系,是相等還是互補,需結(jié)合圖形進行判斷.如圖(2)(4)中就是二面角-l-的平面角的補角;如圖(1)(3)中就是

3、二面角-l-的平面角.激趣誘思知識點撥微判斷(1)二面角的大小就是該二面角兩個半平面的法向量的夾角.()(2)若二面角兩個半平面的法向量的夾角為120,則該二面角的大小等于60或120.()答案:(1)(2)激趣誘思知識點撥微練習在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為BB1的中點,則平面A1ED與平面ABCD所成的角的余弦值為()激趣誘思知識點撥解析: 答案:B 探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測二面角的平面角問題例1如圖所示,PC平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-PA-C的平面角的正切值.分析由PC平面ABC,知平面ABC平面PAC,從而B在平面PAC上的射影在AC上,由此可用

4、三垂線定理作出二面角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:PC平面ABC,平面PAC平面ABC,交線為AC.作BDAC于D點,據(jù)面面垂直性質(zhì)定理,BD平面PAC,作DEPA于E點,連接BE,據(jù)三垂線定理,則BEPA,從而BED是二面角B-PA-C的平面角.設PC=a,依題意知ABC是邊長為a的正三角形,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 1.本題解法使用了三垂線定理來作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法來求解.2.二面角的定義求法主要有:(1)由定義作出二面角的平面角;(2)利用三垂線定理(逆定理)作出二面角的平面角;(3)作二面角棱的垂面,則垂面與二面角兩個面的交線所成的角就是二面

5、角的平面角.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1 如圖,已知二面角-a-等于120,PA,A,PB,B,求APB的大小.解:設平面PAOB=OA,平面PAOB=OB.PA,a,PAa.同理PBa.a平面PAOB.又OA平面PAOB,aOA.同理aOB.AOB是二面角-a-的平面角.在四邊形PAOB中,AOB=120,PAO=PBO=90,所以APB=60.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測利用空間向量求二面角例2如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等,ACBD=O,A1C1B1D1=O1,四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明:O1O底面ABCD;(2)若CBA

6、=60,求二面角C1-OB1-D的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形,所以CC1AC,DD1BD,又CC1DD1OO1,所以OO1AC,OO1BD,因為ACBD=O,所以O1O底面ABCD.(2)解:因為四棱柱的所有棱長都相等,所以四邊形ABCD為菱形,ACBD,又O1O底面ABCD,所以OB,OC,OO1兩兩垂直.如圖,以O為原點,OB,OC,OO1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.設棱長為2,因為CBA=60,所以OB= ,OC=1,所以O(0,0,0),B1( ,0,2),C1(0,1,2),平面CB1D的一個

7、法向量為n=(0,1,0),探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟 利用向量方法求二面角的大小時,多采用求法向量的方法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角是銳二面角還是鈍二面角,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究 如果本例條件不變,求二面角B-A1C-D的余弦值. 探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2如圖所示,在幾何體S-ABCD中,AD平面SCD,BC平面SCD,AD=DC=2,BC=1,又SD=2,SDC=120,求平面SAD與

8、平面SAB所成角的余弦值.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測解:如圖,過點D作DC的垂線交SC于E,以D為原點,以DC,DE,DA所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系.SDC=120,SDE=30,又SD=2,點S到y(tǒng)軸的距離為1,探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測用逆向思維解決二面角問題案例 如圖,已知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形,A1A=6,且A1A底面ABCD,點P,Q分別在棱DD1,BC上.(1)若P是DD1的中點,證明:AB1PQ;(2)若PQ平面ABB1A1,二面角P-QD-A的余弦值為 ,求四面體ADPQ的體積.探

9、究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測(1)證明:由題設知,AA1,AB,AD兩兩垂直,以A為坐標原點,AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則相關各點的坐標為A(0,0,0),B1(3,0,6),D(0,6,0),D1(0,3,6),Q(6,m,0),其中m=BQ,0m6.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測歸納提升此類問題屬于結(jié)論探索類問題.解決此類問題要注意分析題目的整體結(jié)構(gòu),在此基礎上建立空間直角坐標系,引入?yún)?shù),將所求問題先轉(zhuǎn)化為一個含參數(shù)的方程問題,參數(shù)確定后其他問題就迎刃而解.探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測1.已知平面內(nèi)有一個以AB為直徑的圓,PA,點C在圓周上(異于點A,B),點D,E分別是點A在PC,PB上的射影,則()A.ADE是二面角A-PC-B的平面角B.AED是二面角A-PB-C的平面角C.DAE是二面角B-PA-C的平面角D.ACB是二面角A-PC-B的平面角答案:B探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測答案:C 探究一探究二素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則