1992考研數(shù)一真題及答案解析

1、 一、填空題(本題共 5 個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分,把答案填在題中橫線上.)e )0y y(x)_.(1) 設(shè)函數(shù)由方程 xy確定,則u ln(x y z )M _.在點(diǎn)處的梯度(2) 函數(shù)222Mx f(x)2x處收斂于(3) 設(shè)則其以為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)y _.1 x , 0 x ,2_.yyxx(4) 微分方程的通解為abab ab1 1a b2 1 1 21 na b a b nAa b i ,其中A 1,2 .則矩陣 的秩(5) 設(shè)2 22 niia bn 1a b a bn 2n nr()_.二、選擇題(本題共 5 小題,每小題 3 分,滿分 15 分.在每小題給出

2、的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)x 121e(1) 當(dāng)x1時(shí),函數(shù)的極限(D) 不存在但不為()x 1x 1(C) 為(A) 等于 2(B) 等于 0n( )0 (2) 級(jí)數(shù)n(常數(shù))n 1(D) 收斂性與 有關(guān)(A) 發(fā)散(B) 條件收斂(C) 絕對(duì)收斂xt,y t ,z t的所有切線中,與平面3x2yz 4平行的切線(D) 不存在()(3) 在曲線2(A) 只有 1 條(B) 只有 2 條(C) 至少有 3 條f(x)3x x |x|f nn,則使存在的最高階數(shù) 為()(4) 設(shè)32(A) 0(B) 1(C) 2(D) 310 10 ,1 0A(

3、5) 要使都是線性方程組的解,只要系數(shù)矩陣 為() 221 2 0 1 (B) 2 1 1(A)0 1 10 11 1 0 24 2 2 (C) 0 1 1(D)0 1 1三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分.)e x 1x(1) 求(2) 設(shè)(3) 設(shè).x011 x 22zx y z f e y,x y )f,其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求x22.1 x , x 2f(x)3f(x求.e ,xx1四、(本題滿分 6 分.)y 2y 3y e 求微分方程3x的通解.五、(本題滿分 8 分)(x ) (y ) (z ) ,其中 為上半球計(jì)算曲面積分323232z a x y的上側(cè)

4、.2面22六、(本題滿分 7 分)f(x)0 f 0,證明對(duì)任何x x 0f(x x ) f(x ) f(x ),有.設(shè),121212七、(本題滿分 8 分)i j kF 在變力的作用下,質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到橢球面x2 y z221 M( , , ) , ,問(wèn)當(dāng) 取何值時(shí),力 FW上第一卦限的點(diǎn)的最大值.八、(本題滿分 7 分)所做的功最a b c222大?并求出W 線性無(wú)關(guān),問(wèn)：設(shè)向量組線性相關(guān),向量組123234 線性表出？證明你的結(jié)論.(1)(2)能否由能否由123 線性表出？證明你的結(jié)論.4123九、(本題滿分 7 分)123 3A,對(duì)應(yīng)的特征向量依次為設(shè) 3 階矩陣 的特征值為11

5、11 11 ,2 ,3 2,又向量 , 231493 , ,線性表出.(1) 將 用123Ann( 為自然數(shù)).(2) 求十、填空題(本題滿分 6 分,每小題 3 分.)11P()P(B)PC)P(AB)0 P()P()A B,則事件 、 、,(1) 已知4C全不發(fā)生的概率為_(kāi).E(X e )X(2) 設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為 1 的指數(shù)分布,則數(shù)學(xué)期望2X_.十一、(本題滿分 6 分) , 上的均勻分布,試N( , ) YX YX, 服從設(shè)隨機(jī)變量 與 獨(dú)立, 服從正態(tài)分布2Z X Y(x)表示,其中求的概率分布密度(計(jì)算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)12t(x)xe ).2 一、填空題(本題共 5

6、個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)eeysin()xsin()x y(1)【答案】x yy y(x)【解析】函數(shù)是一個(gè)隱函數(shù),即它是由一個(gè)方程確定,寫(xiě)不出具體的解析式.ey yxyx ) )0y.解出 ,即方程兩邊對(duì) 求導(dǎo),將 看做 的函數(shù),得 xyeeysin()xsin()x yy .x y【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則： y f g(x)u g(x)xy f (x)u g(x)如果在點(diǎn) 可導(dǎo),而在點(diǎn)或可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)x在點(diǎn) 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 f u) g (x) .2.兩函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式：f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g(x).29 1,2, 2(2)【答案

7、】u【解析】對(duì)函數(shù) 求各個(gè)分量的偏導(dǎo)數(shù),有u2xu2yu2zz x y z2；.x x y zy x y z 22222222由函數(shù)的梯度(向量)的定義,有u u u 12x,2y,2z, ,x y z,x y z 22212 4 1,2,2所以.1 2 ( 9M222【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則： u g(x)xy f (x)u g(x) y f g(x)可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)如果在點(diǎn) 可導(dǎo),而在點(diǎn)或x在點(diǎn) 可導(dǎo),且其導(dǎo)數(shù)為 f u) g (x) .12(3)【答案】2 ,區(qū)間的端點(diǎn),由收斂性定理狄利克雷充分條件知,該傅氏級(jí)數(shù)在x【解析】是x處收斂于12112f( f( 11 .222【相關(guān)知識(shí)

8、點(diǎn)】收斂性定理狄利克雷充分條件：f(x)在區(qū)間l,l上滿足：(i) 連續(xù),或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；() 只有有函數(shù)f(x) l,l上的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,而且限個(gè)極值點(diǎn).則在all(a x b x)02nnn 1f(x ( l,l) f x) 若為1 f(x f(x ,x ( l,l) f(x) 2若為1 f( l fl ,x l.若 2y xxCx,C(4)【答案】為任意常數(shù)1e 【解析】這是標(biāo)準(zhǔn)形式的一階線性非齊次方程,由于,方程兩邊同乘|x|1,得x11y1y x C .xxy xxCx,C故通解為為任意常數(shù).(5)【答案】1aAijA【解析】因?yàn)榫仃?中任何兩行都成比例(第 行與第 行的

9、比為 i ),所以 中的二階aja b ab 0 A1 1r()1., 中有一階子式非零.故0,知道子式全為 0,又因iirr1階子式全為【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣秩的定義：如果矩陣中存在 階子式不為零,而所有的r零時(shí),則此矩陣的秩為 .二、選擇題(本題共 5 個(gè)小題,每小題 3 分,滿分 15 分.)(1)【答案】(D)x0 x xx x的極限是否存在需要判定左極限 和右極限00 x0的極限是存在的.是否存在且相等,若相等,則函數(shù)在點(diǎn)x 1x 12x 121111ex e0ex e x 1,x 1x 1x 1x 1x1 x1 x1 x 1 0 x1時(shí)函數(shù)沒(méi)有極限,也不是 .故應(yīng)選(D).,故當(dāng)(2)

10、【答案】(C)【解析】對(duì)原級(jí)數(shù)的通項(xiàng)取絕對(duì)值后,再利用等價(jià)無(wú)窮小111 (n),n n2n 2( ) 1 (n)n,n n21p當(dāng)p1時(shí)收斂；當(dāng) p1時(shí)發(fā)散.又因?yàn)?級(jí)數(shù)：npn 112所以有收斂.2 n2n 1n( )n收斂.所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.應(yīng)選(C).n 11aa關(guān)于np的階(即與 級(jí)數(shù)作比較)是判斷它的斂散性,確定無(wú)窮小nnn 1的一個(gè)常用方法.該題用的就是這個(gè)方法.(3)【答案】B 0 得切點(diǎn)對(duì)t應(yīng)的 值. n 1,2,1垂直,x2yz 4的法向量求曲線上的點(diǎn),使該點(diǎn)處的切向量與平面即可以讓切線與平面平行.曲線在任意點(diǎn)處的切向量 n n 0,即 xty tz t) 1,t,3t,2

11、11tt 0t t ,解得.(對(duì)應(yīng)于曲線上的點(diǎn)均不在給定的平面上)33因此,只有兩條這種切線,應(yīng)選(B).(4)【答案】(C)x |x (x)x0,它是分段函數(shù), 是連接點(diǎn).3x處處任意階可導(dǎo),只需考查32所以,寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,有x ,x 3(x)x , x 3對(duì)分段函數(shù)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上求微分,3x ,x 2(x)3x , x 2再考查(x)x0在連接點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在,需要根據(jù)左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行討論. (x )0, ( x ) 0 0 , 33x 0 x 03x ,x 2(x)即3x , x 26x,x 6x,x 0(x) 0( )x6|x|,即同理可得.6x, x 6x, x 0y

12、x y y 對(duì)于所以有 y x x0在不可導(dǎo),不存在,應(yīng)選(C).(5)【答案】(A) 0兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,故【解析】 , 向量對(duì)應(yīng)的分量不成比例,所以, 是1212nr()2n3 r()1.知.由再看(A)選項(xiàng)秩為 1；(B)和(C)選項(xiàng)秩為 2；而(D)選項(xiàng)秩為 3.故本題選(A).0,有定理如下:【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】對(duì)齊次線性方程組,則 A , , ,0的向量形式為A對(duì)矩陣 按列分塊,有12n x x x .1122nn , , , 0有非零解線性相關(guān)那么,12n n r A r , , ,12n三、(本題共 3 小題,每小題 5 分,滿分 15 分.)111 1x (x ) xx0,(1)【

13、解析】由等價(jià)無(wú)窮小有時(shí),22222e 1 x e 1 x xx原式=,1x2x011 x 2x0200 處導(dǎo)數(shù)都存在,所以連續(xù)應(yīng)用兩次洛必達(dá)法0則,有e xe x 1 0 xx1原式.x11x0 x0(2)【解析】這是帶抽象函數(shù)記號(hào)的復(fù)合函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù),重要的是要分清函數(shù)是如何復(fù)合的.zx ( ).z由于混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān),所以本題可以先求由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得,再求y x zxxf e y) f (x y ) f e y f 2x x22x,x12122zx y y(fe y f 2x)x12(f e y f 2y)e y f e y (f e y f 2y)2x xx

14、xx1f e yy 2f e (yy xy) 4f f e y 2xxx.1u (x,y),v (x,y)(x,y)具【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：如果函數(shù)都在點(diǎn)xyz f u,v)u,v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)有對(duì) 及對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù),函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在,且有z f ( (x,y (x,y在點(diǎn)z z u z vx u x v xuvxf1f ；.x2z z u z vuyvyff y u y v y12(3)【解析】分段函數(shù)的積分應(yīng)根據(jù)積分可加性分段分別求積分.另外,被積函數(shù)的中間變量非積分變量,若先作變量代換,往往會(huì)簡(jiǎn)化計(jì)算.x2t dt. x1 t 1x3 t

15、1令,則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),于是 17 10113f(x ft01 t e ttet10. 3 e2t3311101四、(本題滿分 6 分.)【解析】所給方程為常系數(shù)的二階線性非齊次方程,所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程r 2r3(rr02r r 3e , 3 r 有兩個(gè)根為,而非齊次項(xiàng) x為單12214Y x a ,故所求通特征根,因而非齊次方程有如下形式的特解3x,代入方程可得xy Ce C e3xe3x ,其中C ,C為常數(shù).解為x41212y (x)*是二階線性非齊次方程【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.二階線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)：設(shè)yP(x)yQ(x)y f (x)的一個(gè)特解.Y(x)是與之對(duì)應(yīng)的齊次方程yP(

16、x)yQ(x)y 0 y Y(x) y (x)的通解,則是非齊次方程的通解.*2. 二階常系數(shù)線性齊次方程通解的求解方法：對(duì)于求解二階常系數(shù)線性齊次方程的通解Y(x)yP(x)yQ(x)y 0P(x) Q(x)中的 、 均是常數(shù),方程,可用特征方程法求解：即r q 02r,r；y py 0,在復(fù)數(shù)域內(nèi)解出兩個(gè)特征根變?yōu)?其特征方程寫(xiě)為12分三種情況：(1) 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根r,ry Ce C e ;,則通解為r x121212r ry C C x e ;,則通解為(2) 兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根11212 r iy e C xC x .其中C ,C,則通解為 (3) 一對(duì)共軛復(fù)根x1212為常數(shù).y

17、 (x)*yP(x)yQ(x)y f (x),可用待定3.對(duì)于求解二階線性非齊次方程系數(shù)法,有結(jié)論如下：的一個(gè)特解f x P x e( ) ( ) ,y (x) x Q (x)e* k x如果x 則二階常系數(shù)線性非齊次方程具有形如mmk相同次數(shù)的多項(xiàng)式,而 按 不是特征方程的根、是特征方Q xP (x)m( )是與的特解,其中m程的單根或是特征方程的重根依次取 0、1 或 2.f x e P xx P xx,則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程( ) ( ) ( 如果xlny p(x)yq(x)y f (x)的特解可設(shè)為y x e R (x)x R (x x*k xmm, m l,n R (x) R

18、 (x) mkii(或 )不是特征與是 次多項(xiàng)式,而 按其中 mm0 1方程的根、或是特征方程的單根依次取為 或 .五、(本題滿分 8 分)P Q R3(x y z ) I 222【解析】將原式表成,則.x y z以考慮用高斯公式來(lái)求解,但曲面 不是封閉的,要添加輔助面.如果本題采用投影法計(jì)算是比較復(fù)雜的,故不采用.S:z x y a )S S ,法向量朝下, 與 圍成區(qū)域 , 與 取 的外添加輔助面222法向量.在 上用高斯公式得I(x ) (y ) (z ) 3 (x y z ) 323232222.S用球坐標(biāo)變換求右端的三重積分得 2 d3 (x y z ) 3 2d da 222220

19、002163 a d 3 1 aa5 . 455500SS注意 垂直于平面與平面,將積分投影到平面上,所以左端 上的曲面積分為S00 (, a y 22SSDxy a 2dar 22(極坐標(biāo)變換)00a4a 2 dar 3a a5 .2440065Iaaa5.因此554【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.高斯公式：設(shè)空間閉區(qū)域 是由分片光滑的閉曲面 所圍成,函數(shù)P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y,z) 、在 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有P Q R , x y zP Q R ,P Q R 或x y z (x,y,z)處的法向量的這里 是 的整個(gè)邊界曲面的外側(cè),、是 在點(diǎn)方向余弦.上述兩個(gè)公式叫做高斯公式

20、.2.對(duì)于球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為：x rcos, y r,z r, ； 為從正 軸來(lái)看自 軸按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到向z0 zx其中 為向量與 軸正向的夾角,0 r0r ； 為向量的模長(zhǎng), .量在平面上投影線段的角, r d ,則三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換球面坐標(biāo)系中的體積元素為為球面坐標(biāo)的公式是：2 f(r ,r ,r r d .2f(x,y,z六、(本題滿分 7 分)【解析】證法一: 用拉格朗日中值定理來(lái)證明.x x 0,要證的不等式是 f(x x ) f(x ) f(x ) f.不妨設(shè)211221x 上用中值定理,有 f(x ) f f ( )x x；在在由1111x ,x x f(x x

21、 ) f(x ) f )x ,x x x上用中值定理,又有2121221212單調(diào)減,而x x ,所以f ( ) f ( )f(x)所以 f(x),有12f(x x ) f(x ) f(x ) f f(x ),12211f(x x ) f(x ) f(x ).即1212f(x x) f(x ) f(xx 0,構(gòu)造輔助函數(shù)證法二：用函數(shù)不等式來(lái)證明.要證11(x) f(x ) f(x) f(x x),11則f(x) f (x)(x) f (x) f (x x)f (x) f (x x (x)0.由單調(diào)減,.11x2(x) f(x ) f f(x )xx.改 為 即得證.由此,11f(x)a,b上

22、連續(xù),在開(kāi)區(qū)間【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日中值定理:如果函數(shù)滿足在閉區(qū)間 a,b a,b內(nèi)至少有一點(diǎn) (a b),使等式內(nèi)可導(dǎo),那么在fb) f(a) f ( ba)成立.七、(本題滿分 8 分) M( , , )時(shí)所作的功F【解析】(1)先求出在變力的作用下質(zhì)點(diǎn)由原點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)WOML的線段記為 ,則的表達(dá)式.點(diǎn) 到點(diǎn)W F .LLLx t,y t,z t, t 0 1(2)計(jì)算曲線積分： 的參數(shù)方程是從 到 , t 2W 1( t t t ) 31222.00 222 0, 下W的最大值與最大值點(diǎn).在條件 a b2c22 222F,) 1 用拉格朗日乘子法求解.拉格朗日函數(shù)為,a b2c22

23、則有Fa2 Fb2 Fc2 F 2221 a bc222 222 , 0( 時(shí)), ,解此方程組：對(duì)前三個(gè)方程,分別乘以得a2 b2 c21113a, b, c.代入第四個(gè)方程得3313 W 0, ,W 0得 .當(dāng)時(shí)相應(yīng)的相應(yīng)的3 391113 ( , , ) ( , ) W.時(shí) 取最大值因?yàn)閷?shí)際問(wèn)題存在最大值,所以當(dāng)3339【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】拉格朗日乘子法：在附加條件(x,y)0下的可能極值點(diǎn),可以先作拉格朗日函數(shù)z f (x,y)要找函數(shù)L(x,y) f(x,y) (x,yx y其中 為參數(shù).求其對(duì) 與 的一階偏導(dǎo)數(shù),并使之為零,然后與附加條件聯(lián)立起來(lái)：f (x,y) (x,y) xxf (x

24、,y) (x,y) yy(x,y) x,y (x,y)f(x,y)在附加條件(x,y)0下的由這方程組解出可能極值點(diǎn).及 ,這樣得到的就是函數(shù)八、(本題滿分 7 分) 線性表出.【解析】(1)能由123 線性無(wú)關(guān),又因?yàn)?線因?yàn)橐阎蛄拷M性相關(guān),故線性無(wú)關(guān),所以23423123 能由線性表出.123 (2)不能由線性表出,41232.反證法：若 k k k能由線性表出,設(shè)4123411233 2 線性表出,可設(shè)l l,那么代入上式整理得由(1)知,能由1231123 (kl k (kl k .41 1221 233即能由 線性表出,從而 線性相關(guān),這與已知矛盾.423234因此,不能由 線性表

25、出.4123k ,【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義：存在一組不全為零的數(shù)12m , , , , , ,線性無(wú)k k k 0,則稱線性相關(guān)；否則,稱使1122mm12m12m關(guān)九、(本題滿分 7 分) 2 23 3 x x x,即是求此方程組的解.【解析】(1)設(shè)1 1 ( , , , )作初等行變換,對(duì)增廣矩陣123 1 3加到第三行上,第三行自第一行乘以分別加到第二行和第三行上,再第二行乘以1乘 ,有21 1 1 11 1 1 11 1 1 1 1 2 3 11 4 9 30 1 2 00 3 8 20 1 2 00 0 1 1, 1加到第一行上,有21第三行乘以、分別加到第二行

26、和第一行上,再第二行乘以1 0 0 2 0 1 0 2增廣矩陣.0 0 1 1 .x 1 x 2 x 22 2 ,故解出321123 A A A(2) 由 為 的特征值可知,存在非零向量 使,兩端左乘 ,得 A A A(A ) A( ) A ,再一直這樣操作下去,有.22nnn是A 的特征值,且 為相應(yīng)的特征向量.按特征值定義知00因?yàn)?故n 2 2 ,有A A i ,( 1,2,3) ,據(jù)(1)結(jié)論所以有nnii iiii123 1A A 2 )2A 2A A,12323 1 A A 2 )2A 2A A 2 2 n n n于是nnnnn123231122332 2 3111 n1n 2 1 2 2 2 3 32 23 nnn 2n 1 . 149 2 2 3 n3n2A nn【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè) 是 階矩陣,若存在數(shù) 及非零的 維X XAX A是矩陣 的特征列向量 使得成立,則稱 是矩陣 的特征值,稱非零向量向量.十、填空題(本題滿分 6 分,每小題 3 分.