福建省廈門市第二中學(xué)2021-2022學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

1、2021-2022高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1某錐體的正視圖和側(cè)視圖均為如圖所示的等腰三角形，則該幾何體的體積最小值為（ ）ABC1D22某班級(jí)要從四名男生、兩名女生中選派四人參加某次社區(qū)服務(wù)，則所選的四人中至少有一名女生的選法為（ ）ABCD3已知是離散型隨機(jī)變量，則（ ）AB

2、CD4若曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，則實(shí)數(shù)的值為（）ABCD5已知，則（）AB3CD6將點(diǎn)的直角坐標(biāo)(2，2)化成極坐標(biāo)得( )A(4，)B(4，)C(4，)D(4，)7將1000名學(xué)生的編號(hào)如下：0001，0002，0003，1000，若從中抽取50個(gè)學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣的方法從第一部分0001，0002，0020中抽取的號(hào)碼為0015時(shí)，抽取的第40個(gè)號(hào)碼為（ ）A0795B0780C0810D08158如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（ ）A在上是增函數(shù)B在上是減函數(shù)C在上是增函數(shù)D在時(shí)，取極大值9二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為( )AB和C和D10已知

3、中，則B等于（）AB或CD或11如圖，梯形中，將沿對(duì)角線折起，設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，使二面角為直二面角，給出下面四個(gè)命題： ；三棱錐的體積為；平面；平面平面；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A1B2C3D412 “數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相間，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從大到小排列的，則不同的填法種數(shù)為（ ）A72B108C144D196二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知復(fù)數(shù)z滿

4、足，則_.14參數(shù)方程所表示的曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_15已知，則_16設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）某校從參加高二年級(jí)期末考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取了名學(xué)生，已知這名學(xué)生的物理成績均不低于60分（滿分為100分）現(xiàn)將這名學(xué)生的物理成績分為四組：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，其中物理成績?cè)趦?nèi)的有28名學(xué)生，將物理成績?cè)趦?nèi)定義為“優(yōu)秀”，在內(nèi)定義為“良好”男生女生合計(jì)優(yōu)秀良好20合計(jì)60（1）求實(shí)數(shù)的值及樣本容量；（2）根據(jù)物理成績是否優(yōu)秀，利用分層抽樣的方法從這名學(xué)生中抽取10名，再從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，求這3名學(xué)生的物理

5、成績至少有2名是優(yōu)秀的概率；（3）請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為物理成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？參考公式及數(shù)據(jù)：（其中）. 0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19（12分）假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限(年)和所支出的年平均維修費(fèi)用(萬元)(即維修費(fèi)用之和除以使用年限),有如下的統(tǒng)計(jì)資料：(1)求關(guān)于的線性回歸方程； (2)估計(jì)使用年限為10年時(shí)所支出的年平均維修費(fèi)用是多少?參考公式：20（12分

6、）如圖，在四邊形中，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.21（12分）從1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字中任意取出無重復(fù)的3個(gè)數(shù)字.（I）可以組成多少個(gè)三位數(shù)？（II）可以組成多少個(gè)比300大的偶數(shù)？（III）從所組成的三位數(shù)中任取一個(gè)，求該數(shù)字是大于300的奇數(shù)的概率.22（10分）某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生細(xì)心程度的關(guān)系，在本校隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生進(jìn)行研究.研究結(jié)果表明：在數(shù)學(xué)成績及格的60名學(xué)生中有45人比較細(xì)心，另外15人比較粗心；在數(shù)學(xué)成績不及格的40名學(xué)生中有10人比較細(xì)心，

7、另外30人比較粗心.（I）試根據(jù)上述數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表：（II）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與細(xì)心程度有關(guān)系？0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參考公式：，其中.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】錐體高一定，底面積最小時(shí)體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小，計(jì)算得到答案.【詳解】錐體高一定，底面積最小時(shí)體積最小，底面圖形可以是圓，等腰直角

8、三角形，正方形，等腰直角三角形是面積最小 故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了錐體的體積，判斷底面是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】所選的四人中至少有一名女生的選法為本題選擇A選項(xiàng).3、B【解析】根據(jù)題意，由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可得則只有兩個(gè)變量，進(jìn)而可得，解得，又由方差公式可得的值，又由方差的性質(zhì)計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，則則只有兩個(gè)變量，則，得，即，則，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)、數(shù)學(xué)期望以及方差與方差性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】分析：設(shè)公共點(diǎn)，求導(dǎo)數(shù)，利用曲線與曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，建立方程組，即可求出a的值.詳解：設(shè)公共點(diǎn)，曲線與

9、曲線在它們的公共點(diǎn)處具有公共切線，解得.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵.5、D【解析】根據(jù)正弦的倍角公式和三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化為齊次式，即可求解，得到答案【詳解】由題意，可得，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式的化簡、求值，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】由條件求得、的值，可得的值，從而可得極坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)的直角坐標(biāo)，可取直角坐標(biāo)化成極坐標(biāo)為故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查把點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的方法，屬于基礎(chǔ)題注意運(yùn)用、(由所在象限確定).7、A【解析】分析：先確定間距，再根據(jù)

10、等差數(shù)列通項(xiàng)公式求結(jié)果.詳解：因?yàn)橄到y(tǒng)抽樣的方法抽簽，所以間距為所以抽取的第40個(gè)數(shù)為選A.點(diǎn)睛：本題考查系統(tǒng)抽樣概念，考查基本求解能力.8、C【解析】分析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，判斷導(dǎo)數(shù)值的符號(hào)從而可得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可得結(jié)果.詳解：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知，在上先減后增，錯(cuò)；在上先增后減，錯(cuò)；在上是增函數(shù)，對(duì)；在時(shí)，取極小值，錯(cuò)，故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，意在考查對(duì)基本性質(zhì)掌握的熟練程度以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.9、C【解析】先由二項(xiàng)式，確定其展開式各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，進(jìn)而可確定其最大值.【詳解】因?yàn)槎?xiàng)式展開式的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，易知當(dāng)或時(shí)，最大，即二項(xiàng)展開式中

11、，二項(xiàng)式系數(shù)最大的為第三項(xiàng)和第四項(xiàng).故第三項(xiàng)為；第四項(xiàng)為.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.10、D【解析】根據(jù)題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關(guān)系、內(nèi)角的范圍、特殊角的三角函數(shù)值求出B【詳解】由題意得，ABC中，a1，A30，由得，sinB，又ba，0B180，則B60或B120，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，以及邊角關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題11、C【解析】取BD中點(diǎn)O，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)定理、面面垂直判定定理證得平面以及平面平面；利用錐體體積公式求三棱錐的體積，最后根據(jù)反證法說明不成立.

12、【詳解】因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，因?yàn)?，所?從而為等腰直角三角形，取BD中點(diǎn)O，連接，如圖，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵云矫嫫矫?，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以平面平?平面,因此平面，所以三棱錐的體積為,正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?平面，所以平面；即正確;因?yàn)槠矫?，平面；所以；由已知條件得,平面,因此平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面；即正確；如果，而由平面，平面，所以，因?yàn)?平面，所以平面；因?yàn)槠矫妫患?與矛盾,所以不正確;故選：C【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直性質(zhì)與判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.12、C【解析】分步完成，5的上方和左邊只

13、能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取【詳解】按題意5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取因此填法總數(shù)為故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分步計(jì)數(shù)原理解題關(guān)鍵是確定完成這件事的方法二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3-i【解析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出【詳解】解：（z2）i1+i，則（z2）i（i）i（1+i），可得z2i+13i故答案為：3i【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】根據(jù)消參,將化為直角坐標(biāo)系下曲線方程,即可求軸的交點(diǎn)

14、坐標(biāo).【詳解】 可化為 可得: 當(dāng)時(shí),曲線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化,消去參數(shù)方程中的參數(shù),就可把參數(shù)方程化為普通方程,消去參數(shù)的常用方法有:代入消元法;加減消元法;乘除消元法;三角恒等式消元法.本題采用了三角恒等式消元法.15、【解析】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式可求得，結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可化簡求值.【詳解】根據(jù)排列數(shù)計(jì)算公式可得，所以，化簡可解得，則由組合數(shù)性質(zhì)可得，故答案為：462.【點(diǎn)睛】本題考查了排列數(shù)公式的簡單應(yīng)用，組合數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、4【解析】由已知條件可判斷出數(shù)列為等比數(shù)列，再由可求出首項(xiàng)，再令即可求出的值.【詳解

15、】，且，即，則數(shù)列為等比數(shù)列且公比為，在中令得：故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了已知的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)，以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）100；（2）；（3）見解析【解析】（1）由題可得，即可得到的值，結(jié)合物理成績?cè)趦?nèi)的有名學(xué)生，可求出樣本容量；（2）先求出這名學(xué)生中物理成績良好的人數(shù)，結(jié)合分層抽樣的特點(diǎn)，可分別求出這名學(xué)生中物理成績良好和優(yōu)秀的人數(shù)，然后列出式子求概率即可；（3）先完善列聯(lián)表，然后求出的觀測(cè)值，從而可得到答案.【詳解】（1）由題可得，解得，又物理成績?cè)趦?nèi)的有名學(xué)生，所以，解得 （2

16、）由題可得，這名學(xué)生中物理成績良好的有名，所以抽取的名學(xué)生中物理成績良好的有名，物理成績優(yōu)秀的有名，故從這10名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，這3名學(xué)生的物理成績至少有2名是優(yōu)秀的概率為 （3）補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下表所示：男生女生合計(jì)優(yōu)秀204060良好202040合計(jì)4060100則的觀測(cè)值， 所以沒有的把握認(rèn)為物理成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān).【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖、分層抽樣及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】根據(jù)公式 解出即可寫出，再分組求和【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上.（2）由（1）知【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法及分組求法求前n項(xiàng)和屬于基礎(chǔ)題

17、19、（1）；（2）萬元【解析】（1）先求出樣本中心點(diǎn)及代入公式求得，再將代入回歸直線求得的值，可得線性回歸方程；（2）在（1）中求得的線性回歸方程中，取x10，求得y值得答案【詳解】（1）由題表數(shù)據(jù)可得，由公式可得，即回歸方程是.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，；即，使用年限為10年時(shí)所支出的年平均維修費(fèi)用是萬元.【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題20、（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（）在梯形中，設(shè)，題意求得,再由余弦定理求得,滿足,得則.再由平面得，由線面垂直的判定可.進(jìn)一步得到丄平面;（）分別以直線為:軸，軸軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ,令得到的坐標(biāo)，求出平面

18、的一法向量.由題意可得平面的一個(gè)法向量，求出兩法向量所成角的余弦值，可得當(dāng)時(shí)，有最小值為,此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合.試題解析：（）證明：在梯形中，,設(shè)，又,.則.平面,平面，,而,平面.,平面.（）解：分別以直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，令，則，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由得，取，則，是平面的一個(gè)法向量，當(dāng)時(shí)，有最小值為，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，平面與平面所成二面角最大，此時(shí)二面角的余弦值為.21、 (1) .（2）比三百大的數(shù)字有15個(gè).(3) .【解析】分析：（1）根據(jù)乘法計(jì)數(shù)原理可知可組成個(gè) 個(gè)；（2）第一類：以2結(jié)尾百位有3種選擇，十位有3種選擇，則有9個(gè)，第二類：以4結(jié)尾，百位有2種選擇，十位有3種選擇，則共有6個(gè)；（3）比300大的數(shù)字，百位上有3種選擇，十位上有4種選擇，個(gè)位上有3種選擇，則共有36個(gè)數(shù)字，則奇數(shù)共有21個(gè)，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式得到