偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第五節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用Application of Partial Derivative教學(xué)目的： 會(huì)利用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線在某點(diǎn)的切線方程和法平面方程,會(huì)利用偏導(dǎo)數(shù)求曲面 在某點(diǎn)的切平面方程和法線方程；理解二元函數(shù)極值的概念,熟練掌握二元函數(shù) 極值與最大值、最小值的求法,會(huì)利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。課題： 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用; 多元函數(shù)極值；條件極值。教學(xué)重點(diǎn)： 二元函數(shù)的極值與多元函數(shù)的條件極值教學(xué)難點(diǎn): 二元函數(shù)的極值教學(xué)方法： 精講：多元函數(shù)極值及拉格朗日乘數(shù)法；多練:二元函數(shù)求極值教學(xué)內(nèi)容：一、偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用空間曲線的切線和法平面設(shè)空間曲線L的參數(shù)方程為x = x(t) y = y(

2、t)z = z (t)假定x(t),y(t),z(t)均可導(dǎo),X(t ),y (t ),z (t )不同時(shí)為零,曲線上對(duì)應(yīng)于t二t及t二t +At 0 0 0 0 0的點(diǎn)分別為M (x , y , z )和M (x +Ax, y +Ay, z +Az).割線MM的方程為0 0 0 0 0 0 0 0 x - x y - y z - zo = o = oAxAyAz當(dāng)M沿著曲線L趨于M時(shí)，割線的極限位置MT是L在M處的切線。上式分母同 0 0 0除以At得x-xAxAtAtAt當(dāng)At T 0 (即M T M0)時(shí)，對(duì)上式取極限，即得曲線在M0點(diǎn)的切線方程x-x y- yz-z0 = 0 = 0

3、x (t ) y(t ) z (t )0 0 0向量T二x(t ), y (t ), z(t )是切線MT的方向向量，稱為切線向量。切線向量的方 0 0 0 0向余弦即為切線的方向余弦。通過點(diǎn)Mo與切線垂直的平面稱為曲線在Mo點(diǎn)的法平面。它是通過點(diǎn)Mo(xo, yo,zo)， 以切線向量T為法向量的平面因此，法平面方程為x(t )(x- x ) + y(t )(y - y ) + z(t )(z - z )二 00 0 0 0 0 0【例1】求螺旋線x = cost,y = sint,z = t在點(diǎn)(1,0,0)的切線及法平面方程.解 點(diǎn)(1,0,0)對(duì)應(yīng)的參數(shù) t 二 0。因?yàn)?x(t)二s

4、int,y(t)二 cost,z(t)二 1，所以切線向量T二x(0), y(0), z(0)二0,1,1,因此，曲線在點(diǎn)(1,0,0)處的切線方程為 x -1 y - 0 z - 0 _ T _ T在點(diǎn)(1,0,0)處的法平面方程為0 x ( x -1) +1 x ( y - 0) + lx ( Z - 0) = 0y + z = 0 x (【例2】求曲線y = sinx,z =上點(diǎn)0,=處的切線和法平面方程。解 把x看作參數(shù)，此時(shí)曲線方程為x=x y = sin xx=1,yx x=1,yx =兀X =K=cos x= -1, zx =兀X =K=12在點(diǎn)兀,0,處的切線方程為冗x兀Fy

5、- 0 =z x兀F-1 = 12法平面方程為1兀（x兀）-（y - 0） + 2（ z - ）= 04 x - 4 y + 2 z = 5兀2。曲面的切平面與法線設(shè)曲面S的方程為F(x,y,z) = 0,M (x ,y ,z )是曲面上的一點(diǎn)，假定函數(shù)F(x,y,z) 0 0 0 0的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零，設(shè)L是曲面S上過點(diǎn)M的任意一條曲線，L的方程為 0 x = x(t),y = y(t),z = z(t),與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t則曲線L在M處的切線向量為0 0 0T = x(t ), y(t ),z(t )。因 L在 S 上，故有0 0 0Fx(t),y(t),z(t)=0此恒等

6、式左端為復(fù)合函數(shù)，在t = t0時(shí)的全導(dǎo)數(shù)為dF | =F(x ,y ,z )x(t ) + F(x ,y ,z )y(t ) + F(x ,y ,z )z(t ) = 0dt t=tx 0 0 00y 00 00z 0 0 00記n = F(x ,y ,z ),F(x ,y ,z ),F(x ,y ,z )，則T-n = 0，即n與T互相垂直。由于 x 00 0 y 00 0 z 00 0曲線L是曲面上過M0的任意一條曲線，所以在曲面S上所有過M0點(diǎn)的曲線的切線都與同 一向量n垂直，故這些切線位于同一個(gè)平面上.這個(gè)平面稱為曲面在M處的切平面.向量n是 0切平面的法向量，稱為曲面在M0處的法向

7、量.切平面方程為F(x ,y ,z )(x-x ) + F(x ,y ,z )(y-y ) + F(x ,y ,z )(z-z ) = 0 x 00 00 y 00 00 z 00 00過點(diǎn)M與切平面垂直的直線，稱為曲面S在點(diǎn)M處的法線，其方程為 00 x-x y- y z-z0=0=eF(x ,y z )F(x , y z )F(x , y z )x 00 0 y 00 0 z 00 0若曲面方程由z = f (x, y)給出,則可令F(x,y,z)= f(x,y,z)-z=0于是F= f, F= f, F =-1x x y y z這時(shí)曲面在M (x ,y ,z )處的切平面方程為0 0 0

8、 0 TOC o 1-5 h z f(x ,y )(x-x ) + f(x ,y )(y-y )-(z-z ) = 0 x 000 y 0000法線方程為x-x y- y z-z0 = 0 = 0f(x ,y ) f(x ,y )-1x 00 y 00【例3】求橢球面x2 + 3y2 + 2z2二6在點(diǎn)(1,1,1)處的切平面和法線方程.解 設(shè) F (x, y, z) = x2 + 3 y2 + 2z2 - 6F(x,y,z)二 2x,F(x,y,z)二 6y,F(x,y,z)二 4z xyzF (1,1,1= 2, F (1,1,1)= 6, F (1,1,1)= 4 xyz故在點(diǎn) (1,1

9、,1)處橢球面的切平面方程為2( x -1) + 6( y -1) + 4( z -1) = 0即x + 3 y + 2 z - 6 = 0法線方程為x -1y -1z -1132-【例4】求旋轉(zhuǎn)拋物面z = x2 + y2在點(diǎn)(1,-1,2)處的切平面方程和法線方程。 解由z = x2 + y2得= - 2(1,-1)1) = - 2(1,-1)1) = 2 x(1,-1)=2,fy(1,-1)=2yxz z 2 = 2( x 1) 2( y +1)2x-2y-z=2即法線方程為x -1 y +1 z - 22-2-T二、多元函數(shù)極值二元函數(shù)的極彳【例5】曲面z =卜+ y2在點(diǎn)(0,0)有

10、極小值z(mì) = 0.【例6】曲面z = 4-4x2 -y2在點(diǎn)(0,0)有極大值z(mì) = 4.與一元函數(shù)極值類似,多元函數(shù)的極值也是相對(duì)某個(gè)鄰域而言的，是一個(gè)局部概念。定義1設(shè)函數(shù)z = f (x,y)在點(diǎn)(x , y )的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,若對(duì)改鄰域內(nèi)任一點(diǎn) 00(x, y)都有f (x, y) f (x , y )0 0 0 0則稱函數(shù)z = f (x, y)在點(diǎn)(x , y )有極大值(或極小值)f (x , y ) 而稱點(diǎn)(x , y )為函數(shù)0 0 0 0 0 0z = f(x, y) 的極大(或極小)值點(diǎn).極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn).2。極值的檢驗(yàn)法一階偏檢驗(yàn)定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)

11、z = f (x, y)在點(diǎn)(x, y)處有極大值,且在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則必有 f(x , y )=0, f(x , y ) =0。x 00y 00證明 不妨設(shè)z=/(x,y)在點(diǎn)(x0,y。)處有極大值，根據(jù)極值定義，對(duì)(x0,y。)的某一 鄰域內(nèi)的任一點(diǎn) (x, y) ,有f (x, y) f (x , y )00在點(diǎn)(x , y )的鄰域內(nèi)，也有f (x, y ) f (x , y )，這表明一元函數(shù)f (x, y )在x二x處取得 0 0 0 0 0 0 0 極大值。因此,有fx(x0, y0)二同理可證f(x , y ) = 0y00與一元函數(shù)類似,使一階偏導(dǎo)數(shù)f(x , y )

12、= 0, f(x , y ) = 0的點(diǎn)(x, y)稱為函數(shù) x 00y 00z = f (x, y)的駐點(diǎn)。由定理1及例5、例6可以看出:二元函數(shù)的極值點(diǎn)必然是駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。二階偏檢驗(yàn)定理2(充分條件)設(shè)函數(shù)z = f (x, y)在定義域內(nèi)的一點(diǎn)(x0, y0)處有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且f(x ,y ) = 0,f(x ,y ) = 0.記f (x ,y ) = A,f”(x ,y ) = B,f” (x ,y ) = C，則x 00y 00 xx 00 xy 00yy 00當(dāng)B2 - AC 0時(shí)，函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x , y )處有極小值f (x , y )；0 0 0

13、 0當(dāng)B2 - AC 0且A 0時(shí)，函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x , y )處無極值；00(3)當(dāng)B2 - AC = 0時(shí)，函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x , y )處可能有極值，也可能無極值。00綜上可得，具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z = f (x, y)，其極值求法如下：(1)先求出偏導(dǎo)數(shù)f(1)先求出偏導(dǎo)數(shù)f,f,f”，f” ;(2) 解方程組xf(x, y) = 0 xf(x, y) = 0yy xx yy，求出定義域內(nèi)全部駐點(diǎn);(3)求出駐點(diǎn)處的二階偏導(dǎo)數(shù)值:A f,B f,C f，確定A = B2 AC的符xxxyyy號(hào)，并判斷f (x)是否有極值，如果有,求出其極值.【例7】求函數(shù)f

14、 (x, y)二x3 + y3 - 3xy的極值.解 先求偏導(dǎo)數(shù)f(x, y)二 3x2 -3y,f(x, y)二 3y2 -3x xyf二 6x, f = 3,f” 二 6yxxxyyy3x 2 3 y = 0解方程組仁J八,求得駐點(diǎn)為(0,0),(1,1)。3y2 - 3x = 0在駐點(diǎn)(0,0)處,a = f (0,0) = 0,B = f (0,0) =-3,C = f (0,0) = 0，B2 - AC =xxyyyy9 0,于是(0,0) 不是函數(shù)的極值點(diǎn)。在駐點(diǎn)(1,1)處,A = f (1,1) = 6, B = f (1,1) = -3,C = f (1,1) = 6, B

15、2 - AC = -27xxxyyy0,且A = 6 0,所以點(diǎn)(1,1)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(1,1)= -1為函數(shù)的極小值。3。最大值與最小值如果函數(shù)z = f (x, y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則函數(shù)在D上一定取得最大值和最小值。 如果函數(shù)的最大值或最小值在區(qū)域D的內(nèi)部取得，則最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)必為駐點(diǎn)。因此， 求處駐點(diǎn)的函數(shù)值及邊界上函數(shù)的最大值和最小值，其中最大值便是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最 大值，最小值便是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最小值具體問題中，常常通過分析可知函數(shù)的最大值 或最小值存在,且在定義域內(nèi)部取得，又知在定義域內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，于是可以肯定駐點(diǎn)處 的函數(shù)值便是函數(shù)的最大值或最小值.

16、【例8】求函數(shù)f (x, y) = 4- x2 - y2在D : x2 + y2 1上的最大值. 解在 D 內(nèi)(x2 + y2 1),由-x4 - -x4 - x2 - y2=0, fy-y4- x2 - y2解得駐點(diǎn)為(0,0), f (0,0) = 2.在D的邊界上(x2 + y2二1)f (x, y) = Q 4 - x2 - y2=y/3 0, y 0Sx由Sx由Sy2ax 22ay2=0，求得駐點(diǎn)為(32a ,32a).=0由于D為開區(qū)域,且該問題必有最小值存在，于是(3；石,五必為S的最小值點(diǎn)，此時(shí)z = = 3a/4，即長方體長、寬、高分別為32a, 32a，3a/4時(shí)，容器所需

17、鐵皮最少，其 xy表面積為 S(3a /2, 3 a /2, 3 a /4) = 334a2 .【例10】某公司每周生產(chǎn)x單位A產(chǎn)品和y單位B產(chǎn)品，其成本為C(x, y) = x2 +2xy+2y2 +1000產(chǎn)品A,B的單位售價(jià)分別為200元和300元假設(shè)兩種產(chǎn)品均很暢銷，試求使公司獲得最大 利潤的這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)水平及相應(yīng)的最大利潤。解 依題意,公司的收益函數(shù)為R(x, y) = 200 x +300y因此,公司的利潤函數(shù)為P(x,y) = R(x,y)-C(x, y)=200 x+300y-x2 -2xy-2y2 -1000，得駐點(diǎn) (50,50) 。P(x,y)=200-2x-2y=0

18、，得駐點(diǎn) (50,50) 。xP(x,y)=300-2x-4y=0y利用二階偏檢法,求二階偏導(dǎo)數(shù)P(x,y) = -2,P(x,y) = -2, P(x,y) = -4，顯然二階xxxyyy偏導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)(50,50)的值為 A = -2, B = -2, C = -4, B2 - AC = -4 0, A = -2 0 .由此 可見,當(dāng)產(chǎn)品A,B的周產(chǎn)量均為50個(gè)單位時(shí)，公司可獲得最大利潤,其最大利潤為P(50,50) =11500(元)三、條件極值如果函數(shù)的自變量除了限制在定義域內(nèi)以外，再?zèng)]有其他限制，這種極值問題稱為無條 件極值。但在實(shí)際問題中，自變量經(jīng)常會(huì)受到某些條件的約束，這種對(duì)自變量

19、有約束條件的 極值問題稱為條件極值.條件極值問題的解法有兩種，一是將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值,如例 9 就是求S = xy + 2 xz + 2 yz在自變量滿足約束條件xyz二a時(shí)的條件極值.當(dāng)我們從約束條件中解出 a2 a 2 az = 代入S中，得S = xy +，就成了無條件極值，于是可以求解。但實(shí)際問題中xyy x的許多條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值時(shí)，時(shí)很復(fù)雜甚至是不可能的.下面介紹條件極值的另外一 種更一般的方法拉格朗日乘數(shù)法.設(shè)(x, y)是函數(shù)z = f (x, y)在約束條件9 (x, y) = 0下的條件極值問題的極值點(diǎn)，如果函數(shù)f (x,y)，9 (x,y)在點(diǎn)(x, y)的

20、鄰域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)(不妨設(shè)9 (x,y)豐0)，貝y元 y dz函數(shù)z = f (x, y(x) = z(x)在點(diǎn)x的導(dǎo)數(shù)=0 .由復(fù)合函數(shù)微分法，有dxf(x, y) + f(x, y)dy = 0 xy dxdy _ 9 (x, y)xdx9 (x, y)yfdy _ 9 (x, y)xdx9 (x, y)yf(x, y) + f(x, y) xyf(x, y) +9(x, y)xx9(x, y)_ o9(x, y)丿yf(x,y) 09(x, y)丿ydy代入上式,消去孑，得dx即人 f(x,y)、屮士 令_T =九，則有9 (x, y)yf(x, y ) + 九9( x, y) 0 x

21、x(*) f(x,y) + 九9 (x,y) 0yy(*)9 (x, y) 0稱滿足方程組(*)的點(diǎn)(x, y)為可能的極值點(diǎn).我們構(gòu)造一個(gè)函數(shù)L( x, y,九)f (x, y) + 九9( x, y)貝( *)等價(jià)于L (x,y,九)f(x,y) +九9(x,y) 0 xxx L (x, y,九)f(x, y) +九9 (x, y) 0 yyyLJ x, y,九)9 (x, y) 0 于是，用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題可歸納為以下步驟： (1)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,九)f (x,y) +九9(x,y)，九稱為拉格朗日乘數(shù);(2) 解方程組L (x,y,九)=f(x,y) + M(x,y) = 0 xxx L (x, y,九)=f(x, y) + M (x, y) = 0yyyLJ x, y,九)=申(x, y) = 0得點(diǎn)(x, y),為可能極值點(diǎn)；根據(jù)實(shí)際問題的性質(zhì),在可能極值點(diǎn)處求極值.【例11】求