理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程

1、理論力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程第1頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)引 言一.研究對(duì)象：二.力學(xué)模型：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系2.質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無限個(gè)有著一定聯(lián)系 的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。 1.質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。 剛體是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無數(shù)個(gè)相互間保持距離 不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。例如： 研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星 質(zhì)點(diǎn)； 剛體作平動(dòng)時(shí),剛體 質(zhì)點(diǎn)。第2頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。 非自由質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。 質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)

2、中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。三.動(dòng)力學(xué)分類:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。四.動(dòng)力學(xué)的基本問題：大體上可分為兩類： 第一類：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力； 第二類：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。 綜合性問題：已知部分力，部分運(yùn)動(dòng)求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)。 已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束反力。第3頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四第六章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)理論力學(xué)第4頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 61 慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué) 62 非慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第六章 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)第5頁，共45頁，2022年，

3、5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)一.慣性參考系6-1 慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)二.牛頓定律1.一般工程問題：固定于地面或相對(duì)于地面作勻速直線平動(dòng)；2.人造衛(wèi)星、洲際導(dǎo)彈問題：地心為原點(diǎn)，三軸指向三個(gè)恒星；3.天體運(yùn)動(dòng)問題：太陽為中心、三軸指向三個(gè)恒星。1.第一定律（慣性定律）：2.第二定律（力與加速度之間的關(guān)系定律）：3.第三定律（作用與反作用定律）：第6頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué) 將動(dòng)力學(xué)基本方程 表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。1.矢量形式2.直角坐標(biāo)形式三.質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程第7頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四

4、動(dòng)力學(xué) 3.自然形式 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程除以上三種基本形式外,還可有極坐標(biāo)形式, 柱坐標(biāo)形式等等。 應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問題。第8頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué) 四.質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題1.已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求作用于質(zhì)點(diǎn)上的力； -求微分問題。2.已知質(zhì)點(diǎn)上所受的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 -按質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件和力的函數(shù)關(guān)系對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解，從數(shù)學(xué)角度看，是解微分方程或求積分，并確定相應(yīng)的積分常數(shù)的問題。第9頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 例1 在曲柄滑槽機(jī)構(gòu)中，活塞和滑槽的質(zhì)量共為50kg。曲柄OA長

5、r=0.3m，繞軸O作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)速n=120r/min。求滑塊作用在滑槽上的水平力（各處摩擦不計(jì)）。第10頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四質(zhì)心ClxyFAF2GF1解：（1）取活塞為研究對(duì)象； （2）受力分析，畫受力圖； （3）運(yùn)動(dòng)分析，寫出運(yùn)動(dòng)方程；第11頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四FAF2GF1求加速度由得第12頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 例2： 離心式轉(zhuǎn)速計(jì)工作原理如圖所示。彈性細(xì)繩ACD系住的小球質(zhì)量為m。彈性細(xì)繩的原長(未受力時(shí)的長度)為CD，彈簧常數(shù)為k。設(shè)AB=CB=l，試求轉(zhuǎn)速計(jì)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),其轉(zhuǎn)

6、動(dòng)軸的角速度與偏角的關(guān)系以及桿AB所受的力。OABlCyxSmgFaAO第13頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 解：取小球A為研究對(duì)象，分析受力。 細(xì)繩的彈性力F沿AC線，大小為 列出小球A的運(yùn)動(dòng)微分方程 ABlCyxSmgFaAO求小球的加速度。 第14頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四如果sin0，則由第一式可解得故桿AB所受的力的大小為，方向與S相反。 再將S的值代入第二式，注意到三角關(guān)系，可解得系統(tǒng)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的最小角速度為 即第15頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)第一類問題解題步驟和要點(diǎn)： 正確選擇研究對(duì)象（一

7、般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。 正確進(jìn)行受力分析,畫出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。 正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。 選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。 求解未知量。第16頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)解：選重物(抽象為質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象 受力分析如圖所示運(yùn)動(dòng)分析，沿以O(shè)為圓心, L為半徑的圓弧擺動(dòng)。課堂練習(xí). 橋式起重機(jī)跑車吊掛一重為G的重物，沿水平橫梁作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為 ，重物中心至懸掛點(diǎn)距離為L。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點(diǎn)O向前擺動(dòng)，求鋼絲繩的最大拉力。第17頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力

8、學(xué)列出自然形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微方程求解未知量注減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。 拉力Tmax由兩部分組成, 一部分等于物體重量,稱為靜拉力一部分由加速度引起，稱為附加動(dòng)拉力。全部拉力稱為動(dòng)拉力。第18頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)2.第二類：已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)（積分問題） 已知的作用力可能是常力, 也可能是變力。變力可能是時(shí)間、位置、速度或者同時(shí)是上述幾種變量的函數(shù)。 如力是常量或是時(shí)間及速度函數(shù)時(shí)， 可直接分離變量 。 如力是位置的函數(shù)，需進(jìn)行變量置換第19頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)列直角坐標(biāo)形式

9、的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程并對(duì)其積分運(yùn)算微分方程 積分一次 再積分一次 解：屬于已知力為常量的第二類問題。 選擇填充材料M為研究對(duì)象，受力如圖所示，M作斜拋運(yùn)動(dòng)。例3 煤礦用填充機(jī)進(jìn)行填充, 為保證充填材料拋到距離為S=5米,H=1.5米的頂板A處。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 與水平的夾角a0？ 第20頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)初始條件：第21頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)代入最高點(diǎn)A處值，得： 即將到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的時(shí)間t, x=S, y=H 代入運(yùn)動(dòng)方程，得發(fā)射初速度大小與初發(fā)射角 為約束條件：第22頁，共4

10、5頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 例4：求質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M在粘性介質(zhì)中自由下落的運(yùn)動(dòng)方程。設(shè)質(zhì)點(diǎn)受到的阻尼力Fr=-cv，c稱為粘度系數(shù)，簡稱粘度。初始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在介質(zhì)表面上被無初速度釋放。第23頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四解：取質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象，作用其上的力有重力和介質(zhì)阻尼力，均為已知，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，屬于動(dòng)力學(xué)第二類問題。在任意位置上，有本題中力是速度的函數(shù)，采用變量分離法，考慮運(yùn)動(dòng)初始條件：t=0，x0=0，v0=0，對(duì)上式積分一次 或第24頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四于是有即分離變量，再積分一次質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 第25頁，

11、共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 質(zhì)點(diǎn)開始做加速運(yùn)動(dòng)，速度增大，隨著時(shí)間的增加，質(zhì)點(diǎn)其與速度方向相同的加速度逐漸減小。當(dāng)t時(shí)，速度圖形趨于一漸近線，即質(zhì)點(diǎn)的速度趨于常數(shù)。 此速度為質(zhì)點(diǎn)在阻尼介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)的極限速度。跳傘運(yùn)動(dòng)員著地時(shí)的速度即可由該式求出。第26頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)例5 發(fā)射火箭，求脫離地球引力的最小速度。解：屬于已知力是位置的函數(shù)的第二類問題。 取火箭(質(zhì)點(diǎn))為研究對(duì)象, 建立坐標(biāo)如圖示。火箭在任意位置x 處受地球引力F 的作用。 則在任意位置時(shí)的速度 即：第27頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)

12、力學(xué)可見，v 隨著 x 的增加而減小。若則在某一位置x=R+H 時(shí)速度將減小到零，火箭回落。若時(shí)，無論x多大（甚至為）, 火箭也不會(huì)回落。因此脫離地球引力而一去不返 時(shí)（）的最小初速度（第二宇宙速度）第28頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)第二類問題解題步驟如下：正確選擇研究對(duì)象。正確進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。 判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析， 對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。 除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定 出其運(yùn)動(dòng)初始條件。第29頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。 如力是

13、常量或是時(shí)間及速度函數(shù)時(shí)， 可直接分離變量 。 求解未知量。應(yīng)根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。如力是位置的函數(shù)，需進(jìn)行變量置換第30頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四動(dòng)力學(xué)一.基本方程6-2 非慣性參考系中的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)對(duì)于動(dòng)參考系Oxyz 將上式代入牛頓第二定律F=ma=m(ar+ae+aC)或表示為 mar=F-maemaC 第31頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四令：FIe=-mae，F(xiàn)IC=-maC，分別稱為牽連慣性力和科氏慣性力。質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 質(zhì)點(diǎn)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。 第32頁，共45頁，2022

14、年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四當(dāng)非慣性參考系作平動(dòng)時(shí)， 當(dāng)非慣性參考系作勻速直線平動(dòng)時(shí)， 即質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程與絕對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程完全相同。古典力學(xué)的相對(duì)性原理：在一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)部所做的任何力學(xué)試驗(yàn)，都不能確定這一系統(tǒng)是靜止的還是在作勻速直線平動(dòng)。也稱為伽利略、牛頓相對(duì)性原理。第33頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)， 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系靜止不動(dòng)時(shí)， 第34頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四 例6 固定在鉛垂桿CD上的直管AB繞軸線以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，直管軸線與轉(zhuǎn)動(dòng)軸成45角，管內(nèi)有一小球由相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)開始運(yùn)動(dòng)

15、。設(shè)小球的起始位置到O點(diǎn)的距離為a。忽略摩擦，求小球沿直管的運(yùn)動(dòng)方程。第35頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四解：取小球?yàn)檠芯繉?duì)象 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程在x方向的投影式為第36頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四該微分方程的解可表示為其中x1為（a）式的齊次方程 的解x2為（a）式的非齊次方程的特解于是 第37頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四根據(jù)初始條件t=0, 得 解得 故 第38頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四二.質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng) 例7 北京位于地球表面北緯=40處，在北京的上空h=100m處有

16、一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自由下落，求由于地球自轉(zhuǎn)的影響，落體到達(dá)地面時(shí)對(duì)于鉛垂線的偏離量。（落體偏東現(xiàn)象）第39頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四解：選取固結(jié)于地球的非慣性參考系為Oxyz，其中z軸近似通過地球中心，鉛直向上，x軸水平向東，y軸水平向北。質(zhì)點(diǎn)的受力有：地球引力F；分析質(zhì)點(diǎn)相對(duì)地球的運(yùn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)再加上牽連慣性力FIe和科氏慣性力FIC。其中地球引力F和牽連慣性力FIe之和，就是物體在地球表面表現(xiàn)出的重力P，即第40頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四科氏慣性力 質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程 投影形式為第41頁，共45頁，2022年，5月20日，17點(diǎn)8分，星期四采用逐次近似法解上述微分方程。初始條件為， 時(shí)由于地球自轉(zhuǎn)的角速度很小，在最初的計(jì)算中，可取則式(1)的零次近似方