原子物理學(xué)第十一講

1、9/23/2022原子物理學(xué)第十一講9/23/202213 不確定關(guān)系 粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的時(shí)間和相應(yīng)的能量。粒子在客觀上不能同時(shí)具有確定的坐標(biāo)位置和相應(yīng)的動(dòng)量。 9/23/202213 不確定關(guān)系 二、不確定關(guān)系的簡(jiǎn)單導(dǎo)出 1、由測(cè)定波長(zhǎng)的方法導(dǎo)出 9/23/202213 不確定關(guān)系 2、由電子單縫衍射現(xiàn)象導(dǎo)出dpx9/23/202213 不確定關(guān)系 必須指出：以上推導(dǎo)方法雖反映了不確定關(guān)系的本質(zhì)，但比較粗糙，更為嚴(yán)格的證明將給出如下關(guān)系: 式中 的含義為均方差，可表示為如下形式式中，x和 分別為各次測(cè)量值和x的平均值。9/23/202213 不確定關(guān)系 三、應(yīng)用舉例1、束縛粒子的

2、最小平均動(dòng)能假定粒子被束縛在線(xiàn)度為r 的范圍，即x=r，由不確定關(guān)系，粒子的動(dòng)量必定有一個(gè)不確定度px，它至少為 對(duì)于三維空間 根據(jù)px的定義，對(duì)于束縛在空間的粒子，其動(dòng)量在任何方向的平均分量必定為零（否則無(wú)法束縛），即 故9/23/202213 不確定關(guān)系 依照上述推導(dǎo)的關(guān)系即可算出束縛粒子的最小平均動(dòng)能 由此可見(jiàn)，只要粒子被束縛在空間，粒子的最小動(dòng)能就不能為零。事實(shí)上，假如粒子的動(dòng)能可以為零，則由不確定關(guān)系就要求，這樣以來(lái) ，粒子如何能被束縛？2、作加速運(yùn)動(dòng)的電子不能落入核內(nèi)隨電子離核越來(lái)越近，即越來(lái)越小，它將從原子的線(xiàn)度過(guò)渡到原子核的線(xiàn)度。依照不確定關(guān)系，電子的動(dòng)量將越來(lái)越不確定，依照上

3、述計(jì)算，電子的最小平均動(dòng)能將越來(lái)越大，其數(shù)值將從10eV量級(jí)增加到1GeV量級(jí)。電子能從那里達(dá)到如此大的能量，沒(méi)有任何這樣的能量來(lái)源。因此電子不能靠近原子核，更不要說(shuō)落在核內(nèi)。9/23/202213 不確定關(guān)系 3、譜線(xiàn)的自然寬度 實(shí)驗(yàn)證明譜線(xiàn)具有一定的寬度。為什么？下面我們從不確定關(guān)系來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題。電子要從某一能級(jí)往下躍遷，電子在該能級(jí)上必定有一定的壽命（但t 不能無(wú)限長(zhǎng)）。按照不確定關(guān)系，這條能級(jí)必定存在相應(yīng)的寬度，因此譜線(xiàn)不可能是幾何線(xiàn)，而是具有一定的寬度E，即譜線(xiàn)的自然寬度。 4、盧瑟福質(zhì)疑由上述的分析可知，電子在某能級(jí)上必定有一定的壽命t ，按照不確定關(guān)系，這條能級(jí)必定存在相應(yīng)的寬

4、度E ，因此電子躍遷的時(shí)候帶有一定的不確定性。9/23/202213 不確定關(guān)系 四、互補(bǔ)原理在海森伯提出不確定關(guān)系的同時(shí)，玻爾提出了互補(bǔ)原理 （2）古代哲學(xué)家公孫龍?jiān)缭趦汕Ф嗄昵霸谄潆x堅(jiān)白命題敘述到：視不得其所堅(jiān)，而得其所白者，無(wú)堅(jiān)也。撫不得其所白，而得其所堅(jiān)者，無(wú)白也。一些經(jīng)典概念的應(yīng)用不可避免地將排除另一些經(jīng)典概念的應(yīng)用，而“另一些經(jīng)典概念”在另一些條件下又會(huì)是描述現(xiàn)象所不可缺少的；必須而且只需將所有這些既互斥、又互補(bǔ)的概念匯集在一起，才能形成現(xiàn)象的詳盡無(wú)遺的描述?；パa(bǔ)原理：（1）玻爾的例子：銀幣的正反面都看到了。才能說(shuō)對(duì)銀幣有較完整的認(rèn)識(shí)。9/23/202213 不確定關(guān)系 9/23/

5、202214 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 稱(chēng)為粒子的概率密度波函數(shù)的物理意義：| |2表示t 時(shí)刻，粒子在空間x 處的單位體積內(nèi)出現(xiàn)的概率。根據(jù)其物理意義波函數(shù)滿(mǎn)足的條件應(yīng)該有：歸一化單值有限連續(xù)9/23/202214 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 例 一粒子被限制在兩個(gè)不可穿透的壁之間,描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù) = c x ( l x ),其中c 是待定常數(shù),求在 0 l / 3區(qū)間該粒子出現(xiàn)的概率.解: 由歸一化條件:即:設(shè)在0 l / 3 區(qū)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為P，則有:9/23/202214 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 一、波函數(shù)、自由粒子波函數(shù)經(jīng)典力學(xué)狀態(tài)參量位置和動(dòng)量等微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用什么來(lái)描述？描述微觀粒

6、子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)稱(chēng)為微觀粒子的波函數(shù)。1、波函數(shù)的定義:2、自由粒子的波函數(shù):在經(jīng)典物理中，沿 x 方向傳播的單色平面波的波函數(shù)為：9/23/202214 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 也可寫(xiě)成復(fù)數(shù)形式（平面波的波函數(shù)取其實(shí)部）:在量子力學(xué)中，設(shè)想用波函數(shù)來(lái)表示微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)， 是波函數(shù)的振幅。根據(jù)德布羅意假設(shè)，一個(gè)自由粒子對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率和波長(zhǎng)不變的平面波。若粒子的能量為E，動(dòng)量為P，則其波長(zhǎng)和頻率應(yīng)為:9/23/202214 波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋 推廣到三維情況，可得自由運(yùn)動(dòng)粒子的波函數(shù)為：將代入上式，得9/23/202215 薛定諤方程 一、薛定諤方程的建立要解決量子態(tài)如何隨時(shí)間變化就應(yīng)該在各種具體

7、情況下求出波函數(shù)。1926年，奧地利著名物理學(xué)家薛定諤建立了描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)所滿(mǎn)足的方程 薛定諤方程。有了波，就應(yīng)該有一個(gè)波動(dòng)方程。9/23/202215 薛定諤方程 二、一維自由粒子的運(yùn)動(dòng)方程：能量為E ，動(dòng)量為P，沿 x 方向運(yùn)動(dòng)的自由粒子其波函數(shù)：對(duì)t 求一階偏導(dǎo)數(shù)：將將對(duì)x 求二階偏導(dǎo):即:寫(xiě)成:可見(jiàn)： 為能量算符 。 為動(dòng)能算符。所以一維自由粒子波函數(shù)所滿(mǎn)足的微分方程為：9/23/202215 薛定諤方程 三、一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的方程：若粒子在勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，E 應(yīng)包括 和 ，即 一維含時(shí)薛定諤方程一般情況下，求解薛定諤方程會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難，作為特例，主要考慮定態(tài)問(wèn)題，即勢(shì)

8、能函數(shù)與 t 無(wú)關(guān)只于x有關(guān)，即U = U ( x ) 。把 t 和 x 分離開(kāi)來(lái)， 可寫(xiě)成如下形式一維定態(tài)薛定諤方程：9/23/202215 薛定諤方程 薛定諤方程是量子力學(xué)中的基本方程，已知 U 求解方程得到描述粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的波函數(shù)。1）薛定諤方程是根據(jù)猜想建立的。薛定諤方程不是推導(dǎo)出來(lái)的，而是一種假設(shè)。2）微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用波函數(shù)描述及波函數(shù)滿(mǎn)足薛定諤方程，應(yīng)看成量子力學(xué)的基本原理。3）在建立方程時(shí)應(yīng)用了 。4）對(duì)高速粒子是不成立的，對(duì)高速微觀粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律要由相對(duì)論量子力學(xué)或量子場(chǎng)論來(lái)解決。說(shuō)明：9/23/202215 薛定諤方程 對(duì)于處在定態(tài)的粒子，只要知道m(xù)、U ( x )，就可

9、寫(xiě)出定態(tài)薛定諤方程，結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)條件、歸一化條件，可求解此方程，從而得到粒子的波函數(shù)。1.一維無(wú)限深勢(shì)阱：金屬中的自由電子，在金屬內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)可視為在勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)。設(shè)某一粒子在外力場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng)，其勢(shì)函數(shù)粒子在勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)屬一維定態(tài)問(wèn)題，歸結(jié)為解一維定態(tài)薛定諤方程。四、應(yīng)用舉例9/23/202215 薛定諤方程 令 ， 則有其通解為：式中的A、B、k 可由波函數(shù)必須滿(mǎn)足單值、有限、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件和歸一化條件確定。根據(jù)( x ) 在x = 0 和x = a 處連續(xù)，在x 0，x a 處= 0，可得：在阱內(nèi)0 x a 范圍內(nèi)， U = 0 ，則：在x 0 和x a 的范圍內(nèi), 粒子不可能出現(xiàn) 。9/23

10、/202215 薛定諤方程 波函數(shù)由歸一化條件得：由k 的定義式可得：一維勢(shì)阱中粒子的波函數(shù)為：9/23/202215 薛定諤方程 由此可得如下結(jié)論無(wú)限深勢(shì)阱中，粒子能量是量子化的。n =1時(shí)的能量稱(chēng)為零點(diǎn)能，粒子的最小能量不為零。對(duì)于不同的n，給出不同的n( x ) 和概率密度，粒子在阱內(nèi)各處出現(xiàn)的概率不同。當(dāng)n時(shí)，相鄰能級(jí)之差比能量本身小得多，可看成能級(jí)是連續(xù)的。概率密度也可認(rèn)為是處處均勻的。經(jīng)典力學(xué)與量子力學(xué)得到了統(tǒng)一。9/23/202215 薛定諤方程 2.一維勢(shì)壘、隧道效應(yīng)若勢(shì)能分布函數(shù)為：這種勢(shì)能稱(chēng)為一維方勢(shì)壘。按經(jīng)典理論，在區(qū)域中沿x 軸運(yùn)動(dòng)的粒子，當(dāng)能量E U0 時(shí)，粒子可穿過(guò)

11、區(qū)，達(dá)到區(qū)；當(dāng)粒子能量E U0 時(shí), 粒子不可能進(jìn)入?yún)^(qū)域; 按量子力學(xué)的觀點(diǎn)，粒子可以穿過(guò)區(qū)域進(jìn)入?yún)^(qū)域。9/23/2022區(qū)域區(qū)域區(qū)域15 薛定諤方程 粒子從到的穿透概率為當(dāng)粒子能量E U0 時(shí), 按量子力學(xué)的觀點(diǎn)，粒子可以穿過(guò)區(qū)域進(jìn)入?yún)^(qū)域。9/23/202215 薛定諤方程 9/23/202215 薛定諤方程 20世紀(jì)80年代初期，IBM公司蘇黎世實(shí)驗(yàn)室的兩位科學(xué)家GBinnig和HRoher 發(fā)明了掃描隧道顯微鏡。這種新型顯微儀器的誕生，使人類(lèi)能夠?qū)崟r(shí)地觀測(cè)到原子在物質(zhì)表面的排列狀態(tài)和與表面電子行為有關(guān)的物理化學(xué)性質(zhì)，對(duì)表面科學(xué)、材料科學(xué)、生命科學(xué)以及微電子技術(shù)的研究有著重大意義和重要應(yīng)用

12、價(jià)值。為此兩位科學(xué)家與電子顯微鏡的創(chuàng)制者ERrska教授一起榮獲1986年諾貝爾物理獎(jiǎng)。掃描隧道顯微鏡( STM )9/23/202215 薛定諤方程 掃描隧道顯微鏡的原理基本原理是基于量子隧道效應(yīng)和掃描。它是用一個(gè)極細(xì)的針尖( 針尖頭部為單個(gè)原子)去接近樣品表面，當(dāng)針尖和表面靠得很近時(shí)(1Nm)，針尖頭部原子和樣品表面原子的電子云發(fā)生重迭，若在針尖和樣品之間加上一個(gè)偏壓、電子便會(huì)通過(guò)針尖和樣品構(gòu)成的勢(shì)壘而形成隧道電流。通過(guò)控制針尖與樣品表面間距的恒定并使針尖沿表面進(jìn)行精確的三維移動(dòng)，就可把表面的信息；(表面形貌和表面電子態(tài))記錄下來(lái)。掃描針尖樣品表面電子云9/23/202215 薛定諤方程

13、納米科學(xué)技術(shù)的研究工具是掃描隧道顯微鏡，它是一種新型的表面分析工具，能夠操縱原子。掃描隧道顯微鏡，實(shí)際上就是一個(gè)由電子計(jì)算機(jī)操縱控制的長(zhǎng)探針，它的一頭變得越來(lái)越細(xì)，細(xì)到尖端就只有幾個(gè)原子的厚度了。利用探針和材料平面間的電流，科學(xué)家們可以用STM調(diào)度材料平面上的原子，而且通過(guò)調(diào)節(jié)電流的大小，可逐個(gè)地把原子吸起來(lái)并放置到其他地方。 9/23/202216 平均值和算符 一、平均值量子力學(xué)的基本規(guī)律是統(tǒng)計(jì)規(guī)律，概率（波函數(shù)）概念是其核心。統(tǒng)計(jì)規(guī)律中物理量的確定值是不具有物理意義的，平均值才有意義，才能與實(shí)驗(yàn)上觀測(cè)到的量做比較。經(jīng)典物理下，任意x函數(shù)f(x)在x定義域0,L范圍內(nèi)的平均值為：P(x)是

14、f(x)在x定義域范圍內(nèi)的概率分布9/23/202216 平均值和算符 量子力學(xué)下，一個(gè)微觀粒子的量子態(tài)用波函數(shù)(x,t)來(lái)描述，當(dāng)(x,t)確定后，粒子的任何一個(gè)力學(xué)量的平均值以及它取各種可能測(cè)量值的幾率都完全確定。 力學(xué)量的平均值在量子力學(xué)中的表達(dá)式為：粒子在空間x 處的單位體積 內(nèi)出現(xiàn)的概率：9/23/202216 平均值和算符 二、算符量子力學(xué)中，物理量可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)替換薛定諤方程中：求平均值：9/23/202216 平均值和算符 9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 1. 氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中電子的電勢(shì)能U和方向無(wú)關(guān)，為中心力場(chǎng)U( r ) 球坐標(biāo)的定態(tài)薛定諤方

15、程9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 2. 能量量子化采用分離變量的方法可解得原子的能量為：主量子數(shù)主量子數(shù) n和能量有關(guān) n = 1 ，2 ，3 ，設(shè)波函數(shù)形式為：9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 3. 角動(dòng)量量子化原子中電子的軌道角動(dòng)量大小為4. 角動(dòng)量的空間量子化 解方程得出電子的軌道角動(dòng)量在Z方向的分量是磁量子數(shù)ml決定軌道角動(dòng)量在Z方向投影，對(duì)同一個(gè) l 角動(dòng)量Z方向分量可能有 2l+1個(gè)不同值角量子數(shù)l決定電子的軌道角動(dòng)量 的大小 9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 電子在（n, l, ml）態(tài)下在空間 ( ) 處出現(xiàn)的概率密度是:5. 電子的概率分

16、布主量子數(shù) n = 1 ，2 ，3 ，角量子數(shù)磁量子數(shù)9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 9/23/202217 氫原子的薛定諤方程解 6. 量子力學(xué)與波爾理論對(duì)氫原子處理的分析比較1）理論出發(fā)點(diǎn)不同波爾理論從實(shí)驗(yàn)上得到的原子的線(xiàn)狀光譜和原子的穩(wěn)定性出發(fā)量子力學(xué)則從實(shí)物粒子的波粒二象性出發(fā)2）處理問(wèn)題的方式不同波爾理論雖然由實(shí)驗(yàn)事實(shí)看出了微觀規(guī)律與宏觀規(guī)律有區(qū)別，但仍采用了經(jīng)典理論，而為了同實(shí)驗(yàn)事實(shí)一致才機(jī)械地加入了量子化條件。量子力學(xué)采用解動(dòng)力學(xué)方程的方法，用波函數(shù)描述體系的狀態(tài)。The N

17、obel Prize in Physics 1918 was awarded to Max Planck in recognition of the services he rendered to the advancement of Physics by his discovery of energy quanta.The Nobel Prize in Physics 1921 was awarded to Albert Einstein for his services to Theoretical Physics, and especially for his discovery of

18、the law of the photoelectric effect.The Nobel Prize in Physics 1922 was awarded to Niels Bohr for his services in the investigation of the structure of atoms and of the radiation emanating from them.The Nobel Prize in Physics 1929 was awarded to Louis de Broglie for his discovery of the wave nature of electrons.The Nobel Prize in Physics 1932 was awarded to Werner Heisenberg for the creation of quantum mechanics, the application of which has, inter alia, led to the di