原子物理學-第三章量子力學初步

1、第三章 量子力學初步玻爾理論的困難，迫使新一代物理學家努力尋找更完整、更準確、應(yīng)用面更為廣泛的原子理論。一門描述原子的嶄新理論量子力學在1924-1928年誕生了！本章將簡要介紹：一些不同于經(jīng)典物理的一些新思想、新概念及簡單應(yīng)用。介紹只能“言猶未盡”。3.1 波粒二象性及實驗驗證1、經(jīng)典物理中的波和粒子波和粒子是兩種僅有的、又完全不同的能量傳播方式。在經(jīng)典物理中，無法同時用波和粒子這兩個概念去描述同一現(xiàn)象。粒子可視為質(zhì)點，具有完全的定域性，其位置、動量可精確測定。波具有空間擴展性，其特征量為波長和頻率，也可精確測定。2.光的波粒二象性 1923年，康普頓散射，再一次體現(xiàn)了光在傳播中顯示波動性，

2、在能量轉(zhuǎn)移時顯示粒子性的二象性特征。3.德布羅意波粒二象性假設(shè) “整個世紀以來，在輻射理論上，比起關(guān)注波動的研究方法來，是過于忽略了粒子的研究方法； 在實物粒子理論上，是否發(fā)生了相反的錯誤呢 ？ 是不是我們關(guān)于粒子的圖象想得太多 ，而過分地忽略了波的圖象呢？” 1672年，牛頓，光的微粒說 1678年，惠更斯，光的波動說 19世紀末，麥克斯韋，光是一種電磁波 1905年，愛因斯坦，光量子 -光的波粒二象性 法國物理學家德布羅意（Louis Victor de Broglie 1892 1987 ) 德布羅意指出任何物體都伴隨以波，不可能將物體的運動和波的傳播分拆開來。這種波稱德布羅意物質(zhì)波。德

3、布羅意還給出了動量的為P的粒子所伴隨波的波長 與P 的關(guān)系式，另外自由粒子的能量和所伴隨的波的頻率之間的關(guān)系為。著名的德布羅意關(guān)系式。（1924年） 例 在一束電子中，電子的動能為 ，求此電子的德布羅意波長 ？解此波長的數(shù)量級與 X 射線波長的數(shù)量級相當.1）關(guān)于實驗方法和觀察條件：利用波的干涉和衍射等特征儀器特征線度（障礙物和孔、縫的尺度）靜質(zhì)量愈小，波長愈大，容易滿足條件。晶體原子間距同數(shù)量級4.德布羅意假設(shè)的實驗驗證波動性隱匿波動性顯現(xiàn)1924年de Broglie提出用晶體作光柵觀察電子束衍射 電子束在晶體表面散射實驗時，觀察到了和X射線在晶體表面衍射相類似的衍射現(xiàn)象，從而證實了電子具

4、有波動性。KDUM鎳單晶BG2）戴維孫革末實驗（1927年）衍射相長條件電子的物質(zhì)波經(jīng)各晶體原子散射后發(fā)生衍射參考課本圖3.2動量p為的自由粒子，當速度較小時,E=p2/2m由U 伏電勢差加速的電子，其動能E=eU,徳布羅意波長為:代入布拉格公式得出： 極大值出現(xiàn)在 的方向，與實驗符合的很好，這表明電子具有波動性，而且德布羅意波長公式是正確的。 對鎳來說， 。 值代入上式得：5102015250U3）湯姆孫實驗（1927年）多晶金屬箔電子束衍射圖樣與X光多晶衍射圖樣相同1961年Jnsson實驗觀察到電子的多縫干涉中子、質(zhì)子、原子和分子的波動性相繼被驗證X射線例：m = 0.01kg v =

5、300m/s 的子彈h 太小了使得宏觀物體的波長小得難以測量，宏觀物體只表現(xiàn)出粒子性波粒二象性是普遍的結(jié)論:宏觀粒子也具有波動性 m 大 0量子物理過渡到經(jīng)典物理for his discovery of the wave nature of electronsThe Nobel Prize in Physics 1929L. de Broglie (1892-1987)for their experimental discovery of the diffraction of electrons by crystalsThe Nobel Prize in Physics 1937C. Davi

6、sson (1881-1958)G. P. Thomson (1892-1975) 在經(jīng)典力學中，質(zhì)點（宏觀物體或粒子）在任何時刻都有完全確定的位置、動量、能量等。由于微觀粒子具有明顯的波動性，以致于它的某些成對物理量（如位置坐標和動量、時間和能量等）不可能同時具有確定的量值。1、位置與動量的不確定性關(guān)系下面以電子單縫衍射為例討論這個問題3.2 測不準關(guān)系 電子可在縫寬 范圍的任意一點通過狹縫，電子坐標不確定量就是縫寬 ，電子在 x方向的動量不確定量:若考慮次級衍射:只考慮一級衍射:一般有:x入射電子束狹縫照相底版PPx狹縫對電子束起了兩種作用：一是將它的坐標限制在縫寬d的范圍內(nèi)；一是使電子在

7、坐標方向上的動量發(fā)生了變化。這兩種作用是相伴出現(xiàn)的，不可能既限制了電子的坐標，又能避免動量發(fā)生變化。如果縫愈窄，即坐標愈確定，則在坐標方向上的動量就愈不確定。因此，微觀粒子的坐標和動量不能同時有確定的值。嚴格的理論給出的不確定性關(guān)系為：它的物理意義是，微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量。粒子位置的不確定量 越小，動量的不確定量 就越大，反之亦然。因此不可能用某一時刻的位置和動量描述其運動狀態(tài)。軌道的概念已失去意義，經(jīng)典力學規(guī)律也不再適用。首先由海森堡給出(1927) 海森堡不確定性關(guān)系 (海森堡測不準關(guān)系)-微觀粒子的“波粒二象” 性的具體體現(xiàn) 原子線度為10-10m , 計算原子中電子速

8、度的不確定度。解： P = m V，例按經(jīng)典力學計算，氫原子中電子的軌道速度 V 106 ms-1 。物理量與其不確定度一樣數(shù)量級，物理量沒有意義了！在微觀領(lǐng)域內(nèi)，粒子的軌道概念不適用！ 由于 根據(jù)不確定性關(guān)系得 解 ： 槍口直徑可以當作子彈射出槍口時位置的不確定 量 。 和子彈飛行速度每秒幾百米相比 ,這速度的不確定性是微不足道的,所以子彈的運動速度是確定的。 例 設(shè)子彈的質(zhì)量為0.01,槍口的直徑為0.5。 試求子彈射出槍口時的橫向速度的不確定量。 2、對于微觀粒子的能量E 及它在能態(tài)上停留的平均時間t 之間也有下面的測不準關(guān)系： 原子處于激發(fā)態(tài)的平均壽命一般為于是激發(fā)態(tài)能級的寬度為： 這

9、說明原子光譜有一定寬度，實驗已經(jīng)證實這一點。 對于大量原子，在同一激發(fā)態(tài)能級上，有的停留時間長，有的停留時間短，其平均停留時間叫激發(fā)態(tài)的平均壽命。越長，E越小。反之，E越大。 原子在有些能級上的壽命可長達1ms，這種能級叫亞穩(wěn)態(tài)能級，在激光技術(shù)上有重要應(yīng)用。1901-1976，海森伯-量子力學創(chuàng)立者之一，1932年諾貝爾物理學獎 對于微觀粒子，牛頓方程已不適用。1、一維自由粒子波函數(shù) 一個沿 x 軸正向傳播的頻率為 的平面簡諧波:用指數(shù)形式表示：波的強度取復數(shù)實部微觀粒子的運動狀態(tài) 描述微觀粒子運動基本方程波函數(shù) 薛定諤方程3.3 波函數(shù)及其物理意義 對于動量為P 、能量為 E 的一維自由微觀

10、粒子，根據(jù)德布羅意假設(shè)，其物質(zhì)波的波函數(shù)相當于單色平面波，類比可寫成：這里的和 一般都為復數(shù)。量子力學中一維自由粒子波函數(shù)的一般形式波不是基本的，粒子不能看成波包的活動表現(xiàn)；粒子不是基本的，波也不是大量粒子分布密度的變化。量子力學中三維自由粒子波函數(shù)的一般形式單電子雙縫實驗現(xiàn)代實驗技術(shù)可以做到一次一個電子通過縫7個電子在觀察屏上的圖像100個電子在屏上的圖像屏上出現(xiàn)的電子說明電子的粒子性30002000070000隨電子數(shù)目增多,在屏上逐漸形成了衍射圖樣說明 “一個電子”就具有的波動性2、波函數(shù)的統(tǒng)計意義亮波強電子到達多暗波弱電子到達少電子雙縫衍射波的強度-振幅的平方電子數(shù) N=7電子數(shù) N=

11、100電子數(shù) N=3000電子數(shù) N=20000電子數(shù) N=70000單個粒子在哪一處出現(xiàn)是偶然事件；大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計規(guī)律。出現(xiàn)概率小出現(xiàn)概率大電子雙縫干涉圖樣dV=dx dy dz單位體積內(nèi)粒子出現(xiàn)的概率玻恩（M.Born)的波函數(shù)統(tǒng)計解釋: 出現(xiàn)在 dV 內(nèi)概率：概率密度： 波函數(shù)本身無直觀物理意義，只有模的平方反映粒子出現(xiàn)的概率，在這一點上不同于機械波，電磁波。 t 時刻粒子出現(xiàn)在空間某點 r 附近體積元 dV 中的概率，與波函數(shù)平方及 dV 成正比。 波函數(shù)振幅的平方 就表示t時刻，粒子在空間r 處的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度.即波函數(shù)的物理意義： t 時刻，粒子在

12、空間 r 處的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱為概率密度 1926年玻恩指出物質(zhì)波是一種概率波，它描述了粒子在各處出現(xiàn)的概率。3、波函數(shù)需要滿足的條件1). 波函數(shù)的單值、有限性、連續(xù)以上要求稱為波函數(shù)的標準化條件因為，粒子的幾率在任何地方 只能有一個值； 不可能無限大； 不可能在某處發(fā)生突變。 根據(jù)波函數(shù)統(tǒng)計解釋，在空間任何有限體積元中找到粒子的幾率必須為單值、有限、連續(xù)的2). 波函數(shù)的歸一性若歸一化因子The Nobel Prize in Physics 1954 (shared with W. Bothe)for his fundamental research in quantum mec

13、hanics, especially for his statistical interpretation of the wavefunctionM. Born (1882-1970) 1、薛定諤方程的引入一維自由粒子的波函數(shù)為：又因為，代入上兩式得到：顯然1933諾貝爾物理學獎奧地利物理學家3.4 薛定諤方程 一維自由粒子的含時薛定諤方程有勢力場中粒子的總能量為：將 和 代入上式得 和勢場中一維運動粒子的薛定諤方程在勢場中，作三維運動粒子薛定諤方程為：(拉普拉斯算符)(哈密頓算符)或記成其中除了位置和動量以外，其中一類以坐標為函數(shù) 的力學量，其量子力學所對應(yīng)的算符形式不變。 如勢能 和作用力

14、 。經(jīng)驗告訴我們，與經(jīng)典力學量對應(yīng)的量子力學 中的算符形式：另一類經(jīng)典力學量是與動量有關(guān)，其量子力學 所對應(yīng)的算符可用動量的對應(yīng)關(guān)系得出，例如 動能算符的表達式：2、代表力學量的算符 經(jīng)典的力學量，變?yōu)榱孔恿W的力學量表示（即量子化），即算符時，應(yīng)注意 和 對經(jīng)典是一樣的， 但對量子力學而言是不同的 。 _3、定態(tài)薛定諤方程 如勢函數(shù)不是時間的函數(shù)，即代入薛定諤方程得：用分離變量法將波函數(shù)寫為：則和這就是定態(tài)薛定諤方程定態(tài): 能量取確定值的狀態(tài)與時間無關(guān)定態(tài)波函數(shù)對自由粒子波函數(shù)，則Ux 一維無限深勢阱 （potential well）例1 一維無限深勢阱中運動粒子的能量和波函數(shù)在勢阱內(nèi):受力

15、為零,自由運動,勢能為零在勢阱外:勢能為無窮大a定態(tài)薛定諤方程：阱外：阱內(nèi)：根據(jù)波函數(shù)有限的條件：(為了方便將波函數(shù)腳標去掉)，令：通解：在勢阱外(x0,xa)由于勢壁無限高，從物理上考慮，粒子是不會出現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)的。按照波函數(shù)的標準條件(連續(xù)性條件)，阱壁上和阱外的波函數(shù)應(yīng)為零。式中A和B為待定常數(shù)。，( ？)表明幾率處處恒為0，即不存在粒子，這是不可能的。根據(jù)波函數(shù)的標準條件，波函數(shù)應(yīng)連續(xù)， 時，當波函數(shù)的歸一化： 能量是量子化的 22hEanKmp=最低能量不為零n 趨于無窮時 能量趨于連續(xù)一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和幾率密度oaaoa/2-a/2一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和幾率

16、密度oa/2a/2o-a/2-a/2有一粒子，其質(zhì)量為m，在一個三維勢箱中運動。勢箱的長a、寬b、高c；在勢箱外，勢能 ；在勢箱內(nèi)，勢能 。 三維勢箱中粒子的波函數(shù)相當于三個一維箱中粒子的波函數(shù)之積。粒子的能量相當于三個一維箱中粒子的能量之和。 例2、 隧道效應(yīng)及勢壘貫穿勢壘0 aU0 區(qū) U ( x ) = 0 x a區(qū) U ( x ) = 0 x 0區(qū) U ( x ) = U0 0 x aE 經(jīng)典：粒子動能 E U0 , 即粒子總能量大于勢壘高度，入射粒子也并非全部透射進入 III 區(qū),仍有一定概率被反射回 I 區(qū)。 0 a U0 E(2) E U0 , T0, 即粒子總能量小于勢壘高度，

17、入射粒子仍可能穿過勢壘進入 III 區(qū) 隧道效應(yīng)，它是粒子波動性的表現(xiàn)。隧道效應(yīng)的應(yīng)用：掃描隧道顯微鏡（STM）（Scanning Tunneling Microscopy）1986年榮獲諾貝爾獎的掃描隧穿顯微鏡利用了隧道效應(yīng)。電子利用隧穿本領(lǐng)從探針越過勢壘到達待測材料表面，形成隧道電流，記錄這種電流可以獲得表面狀態(tài)的信息。隧道電流id探針樣品ABUSTM 結(jié)構(gòu)原理示意圖隧道電流I與樣品和針尖間的距離d關(guān)系敏感: A常量，U樣品與針尖間的微小電壓， 樣品表面平均勢壘高度1993年5月IBM的科學家M.Crommie 等在液氮溫度用電子束將單層的Fe原子 蒸發(fā)到Cu(111)表面，然后用STM針

18、尖 將48個鐵原子排成圓圈， 鐵原子間距：9.5 圓圈平均半徑：71.3 圓圈由分立的鐵原子組成而不連續(xù)，卻能圍住圈內(nèi)處于銅表面的電子，故稱作量子圍欄(quantum corral) 勢函數(shù) m 振子質(zhì)量， 固有頻率，x 位移薛定諤方程： n = 0, 1, 2, 例3 一維諧振子 解為： 能量量子化普朗克量子化假設(shè) En=nhv E0= 0量子力學結(jié)果 En=(n+1/2)hv E0= hv/2 零點能討論宏觀振子的能量相應(yīng)的 n1025 E10-33J 能量取連續(xù)值！對應(yīng)原理能量間隔：線性諧振子波函數(shù)線性諧振子位置幾率密度1. 氫原子的定態(tài)薛定諤方程氫原子中電子的電勢能：U和方向無關(guān)，為中心力場U( r ) 。3.5 氫原子的量子力學處理球坐標的定態(tài)薛定諤方程：2. 能量量子化采用分離變量的方法可解得原子的能量為主量子數(shù)主量子數(shù) n和能量有關(guān) n = 1 ，2 ，3 ，設(shè)波函數(shù)形式為3. 角動量量子化原子中電子的軌道角動量大小為4. 角動量的空間量子化 解方程得出電子的軌道角動量在Z方向的分量是磁量子數(shù)ml 決定軌道角動量在Z方向投影對同一個 l 角動量Z方向分量可能有 2l+1個不同值角量子數(shù)l決定電子的軌道角動量 的