向量共線定理解析課件

1、1.向量加法的三角形法則作法:在平面中任取一點(diǎn)O,o回顧舊知:過O作OA= a過A作AB= b則OB= a+b.a+bbaA如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾連第1頁(yè)/共38頁(yè)2.向量加法的平行四邊形法則作法:在平面中任取一點(diǎn)O,o以O(shè)A,OB為邊作平行四邊形C如圖,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB過O作OA= a過O作OB= ba+b則對(duì)角線OC= a+b共起點(diǎn)第2頁(yè)/共38頁(yè)3.向量的減法(三角形法則）如圖,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一點(diǎn)o,過O作OA= a過O作OB= boaAbB則BA= a-ba-b共起點(diǎn)第3頁(yè)/共3

2、8頁(yè)實(shí)際背景第4頁(yè)/共38頁(yè)探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量 a （如圖）a試作出： a+a+a 和 (-a)+(-a)+(-a)根據(jù)向量加法的法則可得 思考:相同向量相加以后，和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？第5頁(yè)/共38頁(yè)OABC 由圖可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我們把a(bǔ)+a+a記作3 a，即OC=3a. 顯然，3a的方向與a的方向相同，3a 的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，即|3a | = 3 |a |.第6頁(yè)/共38頁(yè)P(yáng)QMN由圖可知， PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)記作-3 a，即PN= - 3a顯然，-

3、3a的方向與a的方向相反，-3a的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的3倍，即|-3a | =3 | a | 。第7頁(yè)/共38頁(yè)（1） 一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量 的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作 ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（2）當(dāng) 時(shí)， 的方向與 的方向相同； 當(dāng) 時(shí)， 的方向與 的方向相反。特別的， 當(dāng) 時(shí)，思考:向量數(shù)乘和實(shí)數(shù)乘法有那些相同點(diǎn)?那些不同點(diǎn)? a 是一個(gè)向量； a 的長(zhǎng)度等于的絕對(duì)值與向量a的長(zhǎng)度的乘積。1、實(shí)數(shù)與向量積的定義第8頁(yè)/共38頁(yè)=2、實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律根據(jù)定義，求作向量3(2a)和(6a) (a為非零向量)，并進(jìn)行比較。第9頁(yè)/共38頁(yè)2、實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律第10

4、頁(yè)/共38頁(yè)2、實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律ABCDEADE第11頁(yè)/共38頁(yè)2、實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律結(jié)合律分配律分配律逆運(yùn)算第12頁(yè)/共38頁(yè)設(shè) 為實(shí)數(shù)，那么特別的，我們有 向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.對(duì)于任意向量 ，以及任意實(shí)數(shù) ，恒有第13頁(yè)/共38頁(yè)例1.計(jì)算：注：向量與實(shí)數(shù)之間可以像多項(xiàng)式一樣進(jìn)行運(yùn)算.第14頁(yè)/共38頁(yè)第15頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)第16頁(yè)/共38頁(yè)解：DC= AB= a BC=BD+DC =(AD-AB)+DC =b-a+ a=b- a MN=DN-DM= a-b- a= a-bDANMCB例1: 梯形ABCD，且|AB|=2|DC|M、N分別為DC、AB中點(diǎn)。A

5、B=a AD=b 用a，b表示DC、BC、MN。第17頁(yè)/共38頁(yè)鞏固練習(xí):設(shè)D、E、F分別是 ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn),且AF=(1/2)AB,BD=(1/3)BC,CE=(1/4)CA.若記AB=m,CA=n.試用m,n表示DE、EF、FDABCDEF第18頁(yè)/共38頁(yè)思考:問題2：如果 向量a與b共線 那么，b=a ？問題1：如果 b=a , 那么，向量a與b是否共線？對(duì)于向量 a (a0), b ，以及實(shí)數(shù),第19頁(yè)/共38頁(yè)3.向量共線定理 反過來，已知向量a與b共線， a 0 ，且向量b的長(zhǎng)度是向量a的倍，即| b | a |= ，那么當(dāng)向量a與b同向時(shí)，有b = a ，

6、當(dāng)向量a與b反向時(shí)，有b = - a . 也就是說：如果a與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù) ，使b = a . 對(duì)于向量a （ a 0 ）、 b ，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)，使 b = a ，那么由實(shí)數(shù)與向量的積的定義知， a與b共線.第20頁(yè)/共38頁(yè)思考：若則結(jié)論如何？第21頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)、已知向量試判斷，是否共線。ABDEC第22頁(yè)/共38頁(yè)ABDEC 與 共線 解：第23頁(yè)/共38頁(yè)ABCO第24頁(yè)/共38頁(yè)例7:如圖，在平行四邊形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD上的一點(diǎn)， ，求證M、N、C三點(diǎn)共線.AMBCDN提示：設(shè)AB = a BC = b則MN= = a + b MC= = a+

7、b 所以M.N.C三點(diǎn)共線第25頁(yè)/共38頁(yè)一、a 的定義及運(yùn)算律 向量共線定理 (a0) b=a 向量a與b共線 二、定理的應(yīng)用： 1. 證明 向量共線 2. 證明 三點(diǎn)共線: AB=BC A,B,C三點(diǎn)共線 3. 證明 兩直線平行: AB=CD ABCD AB與CD不在同一直線上直線AB直線CD第26頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)1 設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共線則k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k =-1 k=-1第27頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)2: e1、e2不共

8、線, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a與b是否共線。解：假設(shè),a與b共線則 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 這樣不存在。 a與b不共線。第28頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)3:設(shè)兩非零向量a和b不共線，如果ABab，CD3（ab），BC=2a+8b求證：A、B、D三點(diǎn)共線。第29頁(yè)/共38頁(yè)例2:（2003 遼寧）已知四邊形ABCD是菱形，P點(diǎn)在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則AP等于 ( )A、 B、C、 D、A第30頁(yè)/共38頁(yè) 變形1:（2003 全國(guó)）O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 則P的軌跡一定通過ABC的( )A外

9、心B內(nèi)心C重心D垂心B第31頁(yè)/共38頁(yè)變形2:OA、OB不共線，AP=tAB，用OA、OB表示OP所以：OABP因?yàn)镺P=OA+AP=OA+tAB=OA+t(OB-OA)=(1-t)OA+tOB思考:若上式成立,則A、B、P有什么關(guān)系?反之?第32頁(yè)/共38頁(yè)結(jié)論：已知OA、OB不共線，若P、A、B三點(diǎn)共線則則P、A、B三點(diǎn)共線.若O是平面上任意一點(diǎn),且若O是平面上任意一點(diǎn),且其中, 則P、A、B三點(diǎn)共線等價(jià)命題：OA、OB不共線，若P、A、B三點(diǎn)共線,則 其中 第33頁(yè)/共38頁(yè)鞏固練習(xí):如圖 OAB中,C為直線 AB上一點(diǎn),AC=CB(-1),ABOC第34頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)1 設(shè)a，b是兩個(gè)不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共線則k=_(kR)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1第35頁(yè)/共38頁(yè)練習(xí)2: e1、e2不共線, a=e1+e2 , b=3e1-3e2. a與b是