備戰(zhàn)中考 二次函數(shù)背景下的圖形面積的探究（教師版）

1、 PAGE PAGE 55 【方法綜述】面積問題中，以三角形的面積的情況居多，通常三角形的面積探究方法如下：方法一：應(yīng)用相似三角形性質(zhì)，面積比等于相似比平方處理面積；方法二： 同底等高類的三角形面積：當兩個三角形同底（高）等高（底）時，兩個三角形的面積相等，同底（高）且高（底）不等的兩個三角形面積之比等于高（底）之比方法三：割補法，一些情況下，三角形和四邊形的面積可以采用割補法解決；PP坐標系中的三角形面積可以采用平行線相切法例如：求拋物線在直線AC上方一點，使得PAC面積最大，當把直線AC向上平移時，與拋物線的切點即為滿足條件的P點，因此，若直線AC斜率為k，則可以設(shè)一條直線解析式為y=kx

2、+b，該直線與拋物線聯(lián)立的方程有兩個相等實數(shù)根時，可求得b，進而求得P點坐標。另外，用鉛垂高法解決面積最值問題基本模型如下：SPABeq f(1,2)PQeq blc|rc|(avs4alco1(xBxA).根據(jù)二次函數(shù)解析式設(shè)出點P的坐標，結(jié)合一次函數(shù)解析式從而得到點Q的坐標，從而轉(zhuǎn)化為S與點P橫坐標之間的二次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)增減性求最值.一般情況下，當鉛垂線段PQ最大時，SPAB取得最大值，此時點Q為線段AB的中點.【典例示范】類型一 實際問題的面積探究例1：用一段長32m的籬笆和長8m的墻，圍成一個矩形的菜園（1）如圖1，如果矩形菜園的一邊靠墻AB，另三邊由籬笆CDEF圍成設(shè)D

3、E等于xm，直接寫出菜園面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；菜園的面積能不能等于110m2？若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由；（2）如圖2，如果矩形菜園的一邊由墻AB和一節(jié)籬笆BF構(gòu)成，另三邊由籬笆ADEF圍成，求菜園面積的最大值【答案】（1）yx2+16x（0 x8） 不能 0 x8 （2）100 (2)設(shè)DE等于xm，則菜園面積為：yx(32+82x)-x2+20 x -(x10)2+100，當x10時，函數(shù)有最大值100答：當DE長為10m時，菜園的面積最大，最大值為100m2故答案為：(1)yx2+16x(0 x8), 不能;（2）100.針對訓練1.如圖，用一

4、段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的長方形菜園ABCD，設(shè)與墻平行的籬笆AB的長為xm，菜園的面積為ym2（1）試寫出y與x之間的關(guān)系式；（2）當AB的長為10m，菜園的面積是多少？【答案】（1）y=-x2+30 x；(2) 當AB的長為10m，菜園的面積是250m22.問題情境:有一堵長為的墻，利用這堵墻和長為的籬笆圍成一個矩形養(yǎng)雞場，怎樣圍面積最大？最大面積是多少？題意理解:根據(jù)題意，有兩種設(shè)計方案：一邊靠墻（如圖）和一邊“包含”墻（如圖）特例分析:（1）當時，若按圖的方案設(shè)計，則該方案中養(yǎng)雞場的最大面積是 ；若按圖的方案設(shè)計，則該方案中養(yǎng)雞場的最大面積是 （2）當時，解決

5、“問題情境”中的問題解決問題:（3）直接寫出“問題情境”中的問題的答案【答案】（1）288，324；（2）當時，該養(yǎng)雞場圍成一個邊長為的正方形時面積最大，最大面積是；（3）當時，當矩形的長為，寬為時，養(yǎng)雞場最大面積為（2）如圖，設(shè)，則所以根據(jù)題意，得因為，所以當時，隨的增大而減小即當時，有最大值，最大值是400（m2）. 如圖，設(shè)，則所以根據(jù)題意，得因為，所以當時，有最大值，最大值是. 綜上，當時，該養(yǎng)雞場圍成一個邊長為的正方形時面積最大，最大面積是3晨光中學課外活動小組準備圍建一個矩形生物苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長為30米的籬笆圍成已知墻長為18米（如圖所示），設(shè)這個苗圃園垂直于墻的

6、一邊的長為x米(1)若平行于墻的一邊長為y米，直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式及其自變量x的取值范圍；(2)設(shè)這個苗圃園的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系【答案】（1）y302x，（6x15）；（2）S2（x7.5）2+112.5【解析】解：（1）y302x，（6x15）；（2）設(shè)矩形苗圃的面積為SSxyx（302x）2（x7.5）2+112.54.2018年，汶上縣縣委、縣政府啟動創(chuàng)建全國衛(wèi)生縣城和全國文明縣城工作，各單位都積極投身創(chuàng)城工作某單位為進一步美化我縣環(huán)境，在臨街的圍墻外靠墻擺設(shè)一長方形花圃景觀，花圃一邊靠墻，墻長18m，外圍用40m的柵欄圍成，如圖所示，若設(shè)花圃的BC邊長為x(m)，花

7、圃的面積為y(m2)(1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)利用所學知識試著求出花圃的最大面積【答案】(1)y2x2+40 x，(11x20)；(2)花圃的面積最大為198m2 (2)由(1)得：y2x2+40 x，(11x20)，當x10時，二次函數(shù)y2x2+40 x有最大值，但11x20，所以當x11時，二次函數(shù)有最大值為y2112+4011198，即當BC11m時，花圃的面積最大為198m25某小區(qū)業(yè)主委員會決定把一塊長50m，寬30m的矩形空地建成健身廣場，設(shè)計方案如圖所示，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周的4個出口寬度相同

8、，其寬度不小于14m，不大于26m，設(shè)綠化區(qū)較長邊為xm，活動區(qū)的面積為ym2（1）直接寫出：用x的式子表示出口的寬度為 ；y與x的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍 ；（2）求活動區(qū)的面積y的最大面積；（3）預計活動區(qū)造價為50元/m2，綠化區(qū)造價為40元/m2，如果業(yè)主委員會投資不得超過72000元來參與建造，當x為整數(shù)時，共有幾種建造方案？【答案】（1）502x，y4x2+40 x+1500（12x18）；（2）1404m2；（3）共有4種建造方案（2）y4x2+40 x+15004（x5）2+1600，a40，拋物線的開口向下，對稱軸為x5，當12x18時，y隨x的增大而減小，當x12時，y最大

9、1404，答：活動區(qū)的面積y的最大面積為1404m2；（3）設(shè)費用為w，由題意得，w50（4x2+40 x+1500）+404x（x10）40（x5）2+76000，當w72000時，解得：x15，x215，a400，當x5或x15時，w72000，12x18，15x18，且x為整數(shù)，共有4種建造方案類型二 面積計算例2已知直線l：ykx1與拋物線yx24x.(1)求證：直線l與該拋物線總有兩個交點；(2)設(shè)直線l與該拋物線的兩交點為A，B，O為原點，當k2時，求OAB的面積【答案】(1)見解析(2) （2）當k=-2時，y=-2x+1，過點A作AFx軸于F，過點B作BEx軸于E，聯(lián)立，解得：

10、或，A（1-，2-1），B（1+，-1-2），AF=2-1，BE=1+2，易求得：直線y=-2x+1與x軸的交點C為（，0），OC=，SAOB=SAOC+SBOC=OCAF+OCBE=OC（AF+BE）=（2-1+1+2）=針對訓練1.如圖，直線與軸交于點，與軸交于點,拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線的解析式，(2)已知點是拋物線上的一個動點，并且點在第二象限內(nèi)，過動點作軸于點，交線段于點.如圖1，過作軸于點，交拋物線于兩點(點位于點的左側(cè))，連接，當線段的長度最短時，求點的坐標，如圖2，連接，若以為頂點的三角形與相似，求的面積.【答案】(1) ；(2) 點的坐標為，點的坐標為，點的坐標為；點的坐

11、標為，將代入得，點的坐標為，將代入得，解得，點的坐標為，點的坐標為當時(如圖2)，則、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，的坐標為，點的坐標為，當時(如圖3)，則是等腰直角三角形，過點作于點，設(shè)點的坐標為，解得，.2.如圖，已知拋物線與軸、軸分別相交于點A（1，0）和B（0，3），其頂點為D （1）求這條拋物線的解析式； （2）若拋物線與軸的另一個交點為E，求ODE的面積；（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P使得PAB的周長最短若存在請求出點P的坐標，若不存在說明理由【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）SODE=6；（3）點P坐標（1，2）.【解析】（1）解：根據(jù)題意得，解得 ， 拋物線解析式為y=x2

12、+2x+3 （3）連接BE交直線x=1于點P，如圖，由對稱性知PA=PE，PA+PB=PE+PB=BE，此時PA+PB的值最小，求得直線BE的解析式為 y=x+3當x=1時，y=x+3=3，點P坐標（1，2）.3.如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線W的函數(shù)表達式為y=x2+x+4拋物線W與x軸交于A，B兩點（點B在點A的右側(cè)，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點D，直線l經(jīng)過C、D兩點(1)求A、B兩點的坐標及直線l的函數(shù)表達式(2)將拋物線W沿x軸向右平移得到拋物線W，設(shè)拋物線W的對稱軸與直線l交于點F，當ACF為直角三角形時，求點F的坐標，并直接寫出此時拋物線W的函數(shù)表達式(3)如

13、圖2，連接AC，CB，將ACD沿x軸向右平移m個單位（0m5），得到ACD設(shè)AC交直線l于點M，CD交CB于點N，連接CC，MN求四邊形CMNC的面積（用含m的代數(shù)式表示）【答案】（1）點A坐標為（3，0），點B的坐標為（7，0），y=2x+4；(2) 點F的坐標為（5，6），y=x2+x；(3) 四邊形CMNC的面積為m2.設(shè)直線l的表達式為ykxb，解得直線l的解析式為y2x4；(2)拋物線w向右平移，只有一種情況符合要求，即FAC90，如圖.此時拋物線w的對稱軸與x軸的交點為G，12902390，13，tan1tan3，=設(shè)點F的坐標為（xF，2xF4）， ，解得xF5，2xF46，點F

14、的坐標為（5，6），此時拋物線w的函數(shù)表達式為yx2x；分別解方程組和 解得和點M的坐標為（m，m4），點N的坐標為（m， m4），yMyNMNx軸，CCx軸，CCMNCDCD，四邊形CMNC是平行四邊形，Sm4（m4）m24.拋物線經(jīng)過點A(3,0) 和點B（0,3）,且這個拋物線的對稱軸為直線l，頂點為C.（1）求拋物線的解析式；（2）連接AB、AC、BC，求ABC的面積.【答案】（1）；（2）.（2）由（1）拋物線對稱軸為直線把代入，得則點坐標為，設(shè)線段所在直線為：解得解析式為：線段所在直線經(jīng)過點、拋物線的對稱軸于直線交于點設(shè)點的坐標為將點代入，解得點坐標為，過點作于點5.如圖1，拋物線

15、的頂點A的坐標為（1，4），拋物線與x軸相交于B、C兩點，與y軸交于點E（0，3）（1）求拋物線的表達式；（2）已知點F（0，3），在拋物線的對稱軸上是否存在一點G，使得EG+FG最小，如果存在，求出點G的坐標；如果不存在，請說明理由（3）如圖2，連接AB，若點P是線段OE上的一動點，過點P作線段AB的垂線，分別與線段AB、拋物線相交于點M、N（點M、N都在拋物線對稱軸的右側(cè)），當MN最大時，求PON的面積【答案】（1）yx2+2x+3；（2）存在，G（1，0）；（3）2 (2)存在，如圖1，作E關(guān)于對稱軸的對稱點E，連接EF交對稱軸于G，此時EG+FG的值最小E(0，3)，E(2，3)，設(shè)E

16、F的解析式為y=kx+b，把F(0，3)，E(2，3)分別代入，得，解得，所以EF的解析式為：y3x3，當x1時，y3130，G(1，0)；(3)如圖2設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A(1，4)，B(3，0)分別代入，得，解得，所以AB的解析式為：y2x+6，過N作NHx軸于H，交AB于Q，設(shè)N(m，m2+2m+3)，則Q(m，2m+6)，(1m3)，NQ(m2+2m+3)(2m+6)m2+4m3，ADNH，DABNQM，ADBQMN90，QMNADB，MN(m2)20，當m2時，MN有最大值；過N作NGy軸于G，GPNABD，NGPADB90，NGPADB，PGNGm，OPOGPGm2+2

17、m+3mm2m+3，SPONOPGN(m2m+3)m，當m2時，SPON2(4+3+3)26已知：m，n是方程x26x+50的兩個實數(shù)根，且mn，拋物線yx2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0），B（0，n）（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C，D的坐標和BCD的面積【答案】（1）yx24x+5；（2）15.（2）解方程x24x+50，解得：x15，x21則C的坐標是（5，0）yx24x+5（x2+4x+4）+9（x+2）2+9則D的坐標是（2，9）作DEy軸于點E，則E坐標是（0，9）則S梯形OCDE（OC+DE）OE（2+5）

18、9，SDEBBEDE424，SOBCOCOB55，則SBCDS梯形OCDESDEBSOBC4157.已知二次函數(shù)yx2+bx+c（b，c均為常數(shù)）的圖象經(jīng)過兩點A（2，0），B（0，6）（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）若點C（m，0）（m2）在這個二次函數(shù)的圖象上，連接AB，BC，求ABC的面積【答案】（1）yx2+5x6；（2）3（2）由（1）得二次函數(shù)的解析式為：yx2+5x6，令y0，即0 x2+5x6，解得：x12，x23m2，C（3，0），AC1，SABCACOB163，ABC的面積39.如圖，二次函數(shù)與一次函數(shù)交于頂點和點兩點，一次函數(shù)與軸交于點.（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解

19、析式；（2）軸上存在點使的面積為9，求點的坐標.【答案】（1）；（2）或.（2）、，點P在軸上.點A、B到x軸的距離分別是4、2，的面積=SPCA-SPBC=PC（4-2）=9解得PC=9，一次函數(shù)解析式為y=2x+7與x軸交于點CC(0，7)，OC=7，又PC=9OP=7+9=16或OP=9-7=2或P（0,16）類型三 三角形面積的最值問題例3如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90得到平行四邊形ABOC拋物線yx2+2x+3經(jīng)過點A、C、A三點（1）求A、A、C三點的坐標；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形ABOC重疊部分COD的面積；

20、（3）點M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，問點M在何處時，AMA的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時M的坐標【答案】（1）C（1，0），A（3，0），A（0，3）；（2）；（3）SAMA（m）2+，當m時，SAMA的值最大，最大值為，此時M點坐標為（，）（2）四邊形ABOC為平行四邊形，ABOC，ABOC，而C（1，0），A（0，3），B（1，3），OB，SAOB31，又平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90得平行四邊形ABOC，ACOOCD，OCOC1，又ACOABO，ABOOCD又CODAOB，CODBOA，()2（）2 ，SCOD；當m時，SAMA的值最大，最大值為，此時M點坐標為（，）針對訓練1.

21、如圖，已知拋物線yx2+bx+c與一直線相交于A（1，0）、C（2，3）兩點，與y軸交于點N，其頂點為D（1）求拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；（2）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求APC的面積的最大值及此時點P的坐標；（3）在對稱軸上是否存在一點M，使ANM的周長最小若存在，請求出M點的坐標和ANM周長的最小值；若不存在，請說明理由【答案】（1）yx22x+3；yx+1；（2）當x時，APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（，）；（3）在對稱軸上存在一點M（1，2），使ANM的周長最小，ANM周長的最小值為3（2）過點P作PEy軸交x軸于點E，交直線AC于點F，過點C作C

22、Qy軸交x軸于點Q，如圖1所示設(shè)點P的坐標為（x，x22x+3）（2x1），則點E的坐標為（x，0），點F的坐標為（x，x+1），PEx22x+3，EFx+1，EFPEEFx22x+3（x+1）x2x+2點C的坐標為（2，3），點Q的坐標為（2，0），AQ1（2）3，SAPCAQPFx2x+3（x+）2+ 0，當x時，APC的面積取最大值，最大值為，此時點P的坐標為（， ）（3）當x0時，yx22x+33，點N的坐標為（0，3）yx22x+3（x+1）2+4，拋物線的對稱軸為直線x1點C的坐標為（2，3），點C，N關(guān)于拋物線的對稱軸對稱令直線AC與拋物線的對稱軸的交點為點M，如圖2所示點C，N

23、關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，MNCM，AM+MNAM+MCAC，此時ANM周長取最小值當x1時，yx+12，此時點M的坐標為（1，2）點A的坐標為（1，0），點C的坐標為（2，3），點N的坐標為（0，3），AC 3，AN ，CANMAM+MN+ANAC+AN3+在對稱軸上存在一點M（1，2），使ANM的周長最小，ANM周長的最小值為3+2.如圖1，已知拋物線y=ax2+bx+c（a0）與x軸交于A（-1，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點P是拋物線上的一個動點，過點P作PQx軸，垂足為Q，交直線BC于點D（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四

24、邊形，求點Q的坐標；（3）如圖2，當點P位于直線BC上方的拋物線上時，過點P作PEBC于點E，設(shè)PDE的面積為S，求當S取得最大值時點P的坐標，并求S的最大值【答案】（1）y=-x2+x+2；（2）Q點坐標為（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；（3）當P為（2，3）時，S有最大值，最大值為=（2）設(shè)直線BC解析式為y=kx+b，B（4，0），C（0，2），代入可得，解得，直線BC解析式為y=-x+2，設(shè)Q坐標為（m，0），則可知D點坐標為（m，-m+2），又P點在拋物線上，P點坐標為（m，-m2+m+2），當P、D、O、C為頂點的四邊形為平行四邊形時，則有PD=OC=2，即|-m2+m

25、+2-（-m+2）|=2，即|-m2+2m|=2，當-m2+2m=2時，解得m=2，則Q坐標為（2，0），當-m2+2m=-2時，解得m=22，則Q坐標為（2+，0）或（2-，0），綜上可知Q點坐標為（2，0）或（2+2，0）或（2-2，0）；，即，解得BD=，PEBC，PQQB，PED=BQD=90，且PDE=BDQ，PEDBQD，即，解得PE=，DE=，S=PEDE=（-n2+4n）2，令t=-n2+4n=-（n-2）2+4，P在直線BC上方，0n4，0t4，且當n=2時，t有最大值4，此時P點坐標為（2，3），當t=4時，Smax=42=，綜上可知當P為（2，3）時，S有最大值，最大值為

26、=3.已知：拋物線yax2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線yx+3經(jīng)過B、C兩點（1）填空：b （用含有a的代數(shù)式表示）；（2）若a1點P為拋物線上一動點，過點P作PMy軸交直線yx+3于點M，當點P在第一象限內(nèi)時，是否存在一點P，使PCB面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由當mxm+3時，y的取值范圍是2my4，求m的值【答案】（1）3a1；（2）P（ ，）；m的值為0或解得：b3a1，故答案為3a1（2）若a1，則拋物線的解析式為yx2+2x+3；假設(shè)存在點P（x，x2+2x+3）使得PCB的面積最大，M（x，x+3），PMx2+2

27、x+3（x+3）x2+3x，SABPSPMC+SPMBPMOB（x2+3x）3（x23x）（x）2+，當點P（，）在第一象限，此時PBC的面積最大，故存在點P的坐標為：P（ ，），PBC的面積最大當m1時，2m（m+3）2+2（m+3）+3，解得m10，m26（不合題意舍去），當2m時，m2+2m+32m，m（舍）或m故m的值為0或4如圖，直線AB和拋物線的交點是A(0，3)，B(5，9)，已知拋物線的頂點D的橫坐標是2(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)在x軸上是否存在一點C，與A，B組成等腰三角形？若存在，求出點C的坐標，若不在，請說明理由；(3)在直線AB的下方拋物線上找一點P，連接

28、PA，PB使得PAB的面積最大，并求出這個最大值【答案】（1），頂點D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）（2）A（0，3），B（5，9），則AB=13，設(shè)點C坐標（m，0），分三種情況討論：當AB=AC時，則：（m）2+（3）2=132，解得：m=4，即點C坐標為：（4，0）或（4，0）；當AB=BC時，則：（5m）2+92=132，解得：m=5，即：點C坐標為（5，0）或（52，0）；當AC=BC時，則：5m）2+92=（m）2+（3）2，解得：m=，則點C坐標為（，0）綜上所述：存在，點C的坐標為：（4，0）或（5，0）或（，0）；5.如圖，已知，二次函數(shù)的圖像交軸正半

29、軸于點，頂點為，一次函數(shù)的圖像交軸于點，交軸于點，的正切值為.（1）求二次函數(shù)的解析式與頂點坐標；（2）將二次函數(shù)圖像向下平移個單位，設(shè)平移后拋物線頂點為，若，求的值.【答案】（1）二次函數(shù)解析式為yx22x，頂點P的坐標是（1，1）；（2）m.（2）如圖所示，其中l(wèi)為拋物線的對稱軸，D為l與x軸的交點，當y0時，x30，解得x6，B點坐標為（6,0），AB624，在RtBOC中，BC，P是將二次函數(shù)圖像向下平移個單位后得到的拋物線的頂點，P的坐標為（1，1m），DP1mSABPABDP4（1m）22m，當P在直線yx3的左側(cè)時，SBCPSBOC（S梯形ODPCSBDP）3m，SABPSBCP

30、，22m3m，解得m，當P在直線yx3的右側(cè)時，SBCP（S梯形ODPCSBDP）SBOC3m，SABPSBCP，22mm，解得m， 綜上，m或.6.如圖， 已知拋物線的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側(cè)）與y軸交于C點 （1）求拋物線的解析式和A、B兩點的坐標；（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使PBC的面積最大若存在，請求出PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標 【答案】（1），點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(

31、8，0)；（2）存在點P，使PBC的面積最大，最大面積是16，理由見解析；（3）點M的坐標為(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)（2） 當時，點的坐標為設(shè)直線的解析式為將、代入，解得：，直線的解析式為假設(shè)存在， 設(shè)點的坐標為，過點作軸， 交直線于點，則點的坐標為，如圖所示 ，當時，的面積最大， 最大面積是 16 ，存在點，使的面積最大， 最大面積是 16 當或時， 有，解得：，點的坐標為，或，綜上所述：點的坐標為，、或，7.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）(1)求拋物線的表達式；(2)如圖1，P為線段BC上一

32、點，過點P作y軸平行線，交拋物線于點D，當BCD的面積最大時，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為E，EFx軸于F點，N是線段EF上一動點，M（m，0）是x軸上一動點，若MNC=90，直接寫出實數(shù)m的取值范圍 【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）P（，）；（3）（2）令，.即設(shè)直線的表達式為，故直線的表達式為，設(shè)，則 當時，的面積最大，此時（3）的取值范圍是：8.已知拋物線yx22mx+m23（m是常數(shù)）（1）證明：無論m取什么實數(shù)，該拋物線與x軸都有兩個交點；（2）設(shè)拋物線的頂點為A，與x軸兩個交點分別為B，D，B在D的右側(cè)，與y軸的交點為C求證：當m取不同值時，ABD都是等邊三角

33、形；當|m|，m0時，ABC的面積是否有最大值，如果有，請求出最大值，如果沒有，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（2）解：y=x2-2mx+m2-3=（x-m）2-3，頂點A的坐標為（m，-3），設(shè)拋物線對稱軸與x軸的交點為E，則點E的坐標為（m，0）；當x=0時，y=x2-2mx+m2-3=m2-3，點C的坐標為（0，m2-3）；當y=0時，x2-2mx+m2-3=0，即（x-m）2=3，解得：x1=m-，x2=m+，點D的坐標為（m-，0），點B的坐標為（m+，0）分兩種情況考慮：（i）當0m時，如圖2所示SABC=S梯形OCAE+SABE-SOCB，=OE（OC+A

34、E）+AEBE-OCOB，=m（3-m2+3）+3（m+-m）-（3-m2）（m+），=m2+m=（m+）2-，0，當0m時，SABC隨m的增大而增大， 當m=時，SABC取得最大值，最大值為3；（ii）當-m0時，如圖3所示SABC=S梯形EACO+SOCB-SABE，=OE（OC+AE）+OCOB-AEBE，=-m（3-m2+3）+（3-m2）（m+）-（m+-m）（3-m2）=-m，-0，當-m0時，SABC隨m的增大而減小，當m=-時，SABC取得最大值，最大值為3，當m=時，ABC的面積取得最大值，最大值為39.如圖，拋物線 與x軸交與A(1,0),B(- 3，0)兩點.求該拋物線的

35、解析式；設(shè)中的拋物線交y軸與C點，在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使得QAC的周長最??？若存在，求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由.在拋物線上BC段是否存在點P，使得PBC面積最大，若存在，求P點坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q(1，2)；（3）存在， （2）存在理由如下：由題知A、B兩點關(guān)于拋物線的對稱軸x=-1對稱，直線BC與x=-1的交點即為Q點，此時AQC周長最小，y=-x2-2x+3，C的坐標為：（0，3），直線BC解析式為：y=x+3，Q點坐標即為，解得，Q（-1，2）；（3）存在理由如下：設(shè)P點（x，-x2-2x+3）（-3x0），SBPC=S四邊形B

36、PCO-SBOC=S四邊形BPCO-，若S四邊形BPCO有最大值，則SBPC就最大，S四邊形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC，=BEPE+OE（PE+OC）=（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3）= (x+)2+，當x=-時，S四邊形BPCO最大值=+，SBPC最大=+，當x=-時，-x2-2x+3=， 點P坐標為（-，）10.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax2bx3與x軸交于A(4，0)、B(1，0)兩點，與y軸交于點C，點D是第三象限的拋物線上一動點(1)求拋物線的表達式；(2)設(shè)點D的橫坐標為m，ACD的面積為S，求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并確定m為何

37、值時S有最大值，最大值是多少？【答案】（1）yx2x3；（2）m2時，S有最大值是6.故拋物線的函數(shù)解析式為y=x2+x+3；（2）令x=0，則y=3，C（0，3），設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，代入A（-4，0）、C（0，3）得，解得AC的解析式為y=x+3；過D作DEy軸，交AC于點E，11如圖，已知拋物線過點A（4，0），B（2，0），C（0，4）（1）求拋物線的解析式；（2）如圖，點M是拋物線AC段上的一個動點，當圖中陰影部分的面積最小值時，求點M的坐標【答案】（1）yx2x4（2）當x2時，ACM的面積最大，圖中陰影部分的面積最小值，此時M點坐標為（2，4）（2）連接AC，則AC

38、與拋物線所圍成的圖形的面積為定值，當ACM的面積最大時，圖中陰影部分的面積最小值，作MNy軸交AC于N，如圖甲，設(shè)M（x， x2x4），由A（4，0），C（0，4）知線段AC所在直線解析式為yx4，則N（x，x4），MNx4（x2x4）x2+2x，SACMSMNC+SMNA4MNx2+4x（x2）2+4，當x2時，ACM的面積最大，圖中陰影部分的面積最小值，此時M點坐標為（2，4）類型四 以面積為條件的問題計算例4：如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線yax2+bx+3與直線yx3交于點A（3，0）和點B（2，n），與y軸交于點C（1）求出拋物線的函數(shù)表達式；（2）在圖1中，平移線段AC，點A、

39、C的對應(yīng)點分別為M、N，當N點落在線段AB上時，M點也恰好在拋物線上，求此時點M的坐標；（3）如圖2，在（2）的條件下，在拋物線上是否存在點P（不與點A重合），使PMC的面積與AMC的面積相等？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）yx2+2x+3；（2）M點坐標為（4，2）；（3）P點坐標為（，）或（，）或（，）（2）當y0時，x2+2x+30，解得x11，x23，則A（3，0），當x0時，yx2+2x+33，則C（0，3）設(shè)N（t，t3），AC平移得到MN，ACMN，ACMN，而點C先向下平移3個單位，再向右平移3個單位得到點A，當點N先向下平移3個單位，再向右平移

40、3個單位得到點M，則M（t+3，t6），把M（t+3，t6）代入yx2+2x+3得t6（t+3）2+2（t+3）+3，解得t11，t26，M點的坐標為（4，5），（3，12）（舍去）當點N先向上平移3個單位，再向左平移3個單位得到點M，則M（t3，t），把M（t3，t）代入yx2+2x+3得t（t3）2+2（t3）+3，解得t13（舍去），t24，M點的坐標為（1，4）（舍去），綜上所述，M點坐標為（4，2）；解方程組得或，此時P點坐標為（，）；直線AP的解析式為yx+與y軸的交點坐標為（0，），3，把直線CM向下平移個單位得到y(tǒng)x+，解方程得或，此時P點坐標為（），（），綜上所述，P點坐標為

41、（，）或（）或（）針對訓練1.如圖，拋物線與軸交于點、點，與軸交于點，頂點為，求：拋物線的解析式；若拋物線上有一點，使得直線將的面積分成相等的兩部分，求點的坐標【答案】 ； 的坐標為或設(shè)的中點為，設(shè)直線的解析式為，解得，直線的解析式為，解得或的坐標為或2.如圖，在直角坐標系中，O是坐標原點，直線AB交x軸于點A（4，0），交y軸于點B，拋物線y=ax2+2ax+3（a0）經(jīng)過A，B兩點P是線段AO上的一動點，過點P作PCx軸交直線AB于點C，交拋物線于點D（1）求a及AB的長（2）連結(jié)PB，若tanABP=，求點P的坐標（3）連結(jié)BD，以BD為邊作正方形BDEF，是否存在點P使點E恰好落在拋物

42、線的對稱軸上？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由（4）連結(jié)OC，若SBDC：SOBC=1：2，將線段BD繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得到DB則在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點A，B到直線DB的距離和最大時，請直接寫出點B的坐標【答案】（1）a=，AB的長為5；（2）點P的坐標（1.5，0）；（3）E恰好落在拋物線的對稱軸上情況存在，點P的坐標為（，0）或（4，0）；（4）當點A，B到直線DB的距離和最大時點B的坐標為（）（2）如圖，連接BP，作AHPB于H在RtABH中，AB=5，tanABP，可得：AH，BH=2，設(shè)點P的坐標為（x，0），則OP=x，AP=4+x，BP=APH=BPO，AHP=

43、POB=90，APHBPO，整理得：4x2+72x+99=0，（2x+3）（2x+33）=0，解得：x=1.5，或x=16.5（舍去），點P的坐標為（1.5，0）（3）如圖所示，正方形DBFE的E點在拋物線的對稱軸上，從E點作ENPD，作DHy軸，則RtBHDRtEND（AAS），EN=BH，設(shè)P點坐標為（a，0），則D、E點的坐標分別為（a，a2a+3）、（1，y），BH=3（a2a+3）=EN=1a，解得：x，x=4答：E恰好落在拋物線的對稱軸上情況存在，點P的坐標為（，0）或（4，0）（4）當BD旋轉(zhuǎn)到如圖DB的位置時，點A，B到直線DB的距離和最大，此時ABBD，過點B向PD和x軸作垂

44、線，即BMDP，BNx軸，由A、B兩點坐標可得AB的直線方程為：yx+3，則tanBAO，設(shè)P點坐標為（m，0），則C（m，m+3）BDC和OBC是等高不等底的兩個三角形，而1：2若SBDC：SOBC=1：2，CDOB，則D點y坐標=C點y坐標，即：D（m，），把點D的坐標（m，）代入二次函數(shù)方程yx2x+3，解得：m=2，把m值代入，即D點坐標為：D（2，3），P（2，0）B（0，3）則BDx軸，BDDCBDDC，ABBD，DPAP，BDP=BAO，tanBDP=tanBAO在RtBMD中，BD=BD=2，tanBDP，則：BM，DM，則：B的橫坐標為=xPBM=2，B的縱坐標為=yDDM=

45、3答：當點A，B到直線DB的距離和最大時點B的坐標為（）3.如圖，對稱軸為直線x1的拋物線yax2+bx+c（a0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（3，0）（1）求點B的坐標；（2）已知a1，C為拋物線與y軸的交點，若點P在拋物線上，且SPOC4SBOC求點P的坐標【答案】（1）（1，0）（2）（4，21）或（4，5）（2）a1時，拋物線yx2+bx+c的對稱軸為直線x1，1，解得b2將B（1，0）代入yx2+2x+c，得1+2+c0，解得c3則二次函數(shù)的解析式為yx2+2x3，拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，3），OC3設(shè)P點坐標為（x，x2+2x3），SPOC4SBOC，3|x

46、|431，|x|4，x4當x4時，x2+2x316+8321；當x4時，x2+2x316835點P的坐標為（4，21）或（4，5）4在平面直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），與y軸交于點D(0，3)，過頂點C作CHx軸于點H.（1）求拋物線的解析式和頂點C的坐標；（2）連結(jié)AD、CD，若點E為拋物線上一動點（點E與頂點C不重合），當ADE與ACD面積相等時，求點E的坐標；（3）若點P為拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），過點P向CD所在的直線作垂線，垂足為點Q，以P、C、Q為頂點的三角形與ACH相似時，求點P的坐標. 【答案】（1），（-1,4） （2）(-2，3)， （3）(-4，-5)，(，)，解得，a=-1，b=-2，c=3