現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)

1、現(xiàn)代控制理論基礎(chǔ)1.4 由傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式 根據(jù)前面介紹的微分方程與狀態(tài)空間表達(dá)式之間的變換關(guān)系，若已知傳遞函數(shù)，可首先把傳遞函數(shù)變成微分方程，然后由微分方程與狀態(tài)空間表達(dá)式的變換關(guān)系。求出狀態(tài)空間表達(dá)式。一、傳遞函數(shù)中沒有零點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的微分方程為：則根據(jù)上節(jié)公式，可直接寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。即：1.4.1 與微分方程形式直接對(duì)應(yīng)的變換法傳遞函數(shù)也可分解成下圖所示的結(jié)構(gòu)。 選狀態(tài)變量為： 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為： 其中A陣和B陣為規(guī)范形式，這是能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。它的模擬電路圖如下圖所示： 能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)的模擬圖 二、傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)時(shí)的變換傳遞函數(shù)為：微分方程為：則根據(jù)上節(jié)

2、公式，可直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形。即： 從傳遞函數(shù)的角度分析，這實(shí)際上是一種分子與分母直接分離分解法。設(shè)中間變量，可得：式中 分解式第一部分是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)決定的。當(dāng)選中間變量z及z的各階導(dǎo)數(shù)為一組變量時(shí),得到的狀態(tài)方程是能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)。即式中的A和B陣。顯然這是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)相對(duì)應(yīng)的一種規(guī)范形實(shí)現(xiàn)。 分解式第二部分表示狀態(tài)變量與輸出的關(guān)系，輸出y等于各狀態(tài)變量與輸入的線性組合，即式中的C和D陣。若傳遞函數(shù)等效為：式中此時(shí)，式中的C陣和D陣可直接寫成： 由此畫出的系統(tǒng)計(jì)算機(jī)模擬圖如圖所示。 能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)模擬圖例: 已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)： 試按能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。解：由公式寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形為：若將傳

3、遞函數(shù)化成嚴(yán)格真有理分式，則 按簡(jiǎn)化公式可得： ， 一般情況下，系統(tǒng)輸出的階次高于輸入的階次，則 b0=0, 傳遞函數(shù)為嚴(yán)格真有理分式形式，即，式中 是任意常系數(shù)。同樣按以上方法C陣可以寫成此時(shí)，輸出僅是狀態(tài)變量的線性組合，與輸入無直接關(guān)系。試按能控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。 解：將傳遞函數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)形式 按上式寫出能控標(biāo)準(zhǔn)為：例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.4.3 由傳遞函數(shù)部分分式法求狀態(tài)空間表達(dá)式 本節(jié)主要介紹如何由傳遞函數(shù)的分解構(gòu)造狀態(tài)空間表達(dá)式的方法。這種方法稱為部分分式法。下面根據(jù)傳遞函數(shù)極點(diǎn)的兩種不同情況分別加以討論。 1.傳遞函數(shù)無重極點(diǎn)的情況：其中：對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)形各狀態(tài)積分器是并

4、聯(lián)的。這種方法又稱并聯(lián)分解。 注意：若對(duì)于m=n時(shí)的一般真有理分式。需要將T-F化為嚴(yán)格真有理分式的形式后再進(jìn)行變換。 即：例：已知 ，求S-E。解： 先化為真有理式 c1 = 1， c2 = 42.傳遞函數(shù)有重極點(diǎn)時(shí) 設(shè)n階系統(tǒng)只有一個(gè)獨(dú)立的n重極點(diǎn)s1.則G(s)由部分分式法展開為：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形3.對(duì)于即有單根，又有重根的情況： 例：解： k11 = 2， k12 = 3， k3 = 1 可根據(jù)以上兩種情況將G(s)展開成部分分式，然后對(duì)每一項(xiàng)分別選取合適的狀態(tài)變量，最后將兩部分合起來寫出狀態(tài)空間表達(dá)式。 若已知閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，如何由結(jié)構(gòu)圖直接建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式？ 例：已知某系統(tǒng)的結(jié)

5、構(gòu)圖如下：試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。1.5 由結(jié)構(gòu)圖建立狀態(tài)空間表達(dá)式：Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 利用結(jié)構(gòu)圖的分解設(shè)置狀態(tài)變量,實(shí)質(zhì)上就是將開環(huán)結(jié)構(gòu)中的每個(gè)環(huán)節(jié)，分解成一階環(huán)節(jié)的形式，這樣 n階系統(tǒng)的n個(gè)狀態(tài)變量就可以從n個(gè)一階環(huán)節(jié)中直接選取?；经h(huán)節(jié)的狀態(tài)變量圖： 狀態(tài)變量圖：將結(jié)構(gòu)圖中每個(gè)積分器（或一階環(huán)節(jié)）的輸出選為狀態(tài)變量，來描述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中各狀態(tài)變量關(guān)系的圖。它可以直接用作狀態(tài)模擬。一、基本環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)圖分解1、一階環(huán)節(jié) Y(s)U(s)s + zs + p yudtpY(s)U(s)1s + p2、二階環(huán)節(jié) U(s)Y(s)n2s 2+2ns + n2U(s)Y(s)n2 s (s + 2n )1)U(s)Y(s)1s 2+2ns + n22)U(s)Y(s)s+zs 2+2ns + n23)根據(jù)分子分母分離法： U(s)Y(s)s 2+211s + 12 s 2+2ns + n24)例：已知某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下：試建立系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。Y(s)U(s)s + zs + pks( s + a ) 解：（1）首先將結(jié)構(gòu)圖中每個(gè)方框分解為單環(huán)節(jié)的組合。即僅由慣性環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)單形式組合：（2）將每一個(gè)基本環(huán)節(jié)的輸出設(shè)為狀態(tài)變量Y(s)U(s)z ps + pks1s + ax1x2x3（3）寫狀態(tài)空間表達(dá)式。Y(s)U