2020年云南省高考數(shù)學試卷(理科)(新課標Ⅲ)

1、 PAGE 21 21 頁2020 年云南省高考數(shù)學試卷（理科）（新課標）一、選擇題：本題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中， 只有一項是符合題目要求的。1. (, )|, , ，(, )| + 中元素的個數(shù)為（）A.2B.3C.4【答案】C【考點】交集及其運算【解析】利用交集定義求出 (7, 1), (6, 2), (3, 5), (4, 4)由此能求出 中元素的個數(shù)【解答】(, )|, , ，(, )| (, )| , (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4) + = 8, 42. 復 數(shù) 1的虛部是（）133 1 10110310【

2、答案】D【考點】 【解析】直接利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案【解答】113=1+3 (13)(1+3)= 1 + 310，復數(shù) 1的虛部是 3 1310=13.在一組樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻率分別1，2，3，4，41，=1則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是（）A.140.1，230.4 B.140.4，230.1 C.140.2，230.3 D.140.3，230.2【答案】B【考點】極差、方差與標準差【解析】根據(jù)題意，求出各組數(shù)據(jù)的方差，方差大的對應(yīng)的標準差也大【解答】選項: ()1 0.1 + 2 0.4 + 3 0.4 + 4 0.12.5，所以()(1 2.5)2 0.1

3、+ (2 2.5)2 0.4 + (3 2.5)2 0.4 + (4 2.5)2 0.10.65；: ()2.5，()1.85； : ()2.5，()1.05；: ()2.5，()1.45；4. 模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)域有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù)()（的單位：天）的模型：() = 1+0.23(53)，其中為最大確診病例數(shù)當( )0.95時，標志著已初步遏制疫情，則約為( )(ln19 3)A.60CB.63C.66根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【解析】根據(jù)所給材料的公式列出方程= 0.95，解出即可【解答】由已知可得1+0.23(53)= 0.950.

4、23（53） = 1 ，1+0.23(53)19兩邊取對數(shù)有0.23( 53)ln19， 解得 66，5.2: 22( 0)， ， 則的焦點坐標為（）A.(1 , 0)4B.(1 , 2C.(1, 0) 0)【答案】B ，可得 （，代入拋物線方程 2，可得 4，p1，【考點】直線與拋物線的位置關(guān)系【解析】法一：利用已知條件轉(zhuǎn)化求解、坐標，通過 1，求解拋物線方程，即可得到拋物線的焦點坐標法二：畫出圖形，求出的坐標，代入拋物線方程，然后求解即可法一：將法一：將2代入拋物線22，可得2， ，可得 1，即2 2 = 1，解得1，22所以拋物線方程為：22，它的焦點坐標(1 , 0)2故選：法二：易知

5、，45，可得(2, 2)，代入拋物線方程22，可得44，解得1，故選：，滿足. 已知向，滿足， = s = ( )A.31B.19C.1735353535【答案】D【考點】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算【解析】 + ，然后利用向量的數(shù)量積求解即可【解答】向， = ，滿足 + | = 2+ +2 = 5 2+ 6 = ， 2 cos ， + (+= + = 256 = 19 | | + |57357. = 2，4，3cos（）3A.1B.1C.19323【答案】A【解析】先根據(jù)余弦定理求出，再代入余弦定理求出結(jié)論【解答】在 中，cos = 2，4，3， 3由余弦定理可得22 + 2 2 cos42

6、 + 32 2 4 3 2 = 9；3故3； cos = 2+22 = 32+3242 = 1，223398. 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）A.6+42B.4+42C.6+8. 如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（）【答案】C【考點】由三視圖求體積【解析】先由三視圖畫出幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)，利用三棱錐的表面積公式計算即可【解答】由三視圖可知，幾何體的直觀圖是正方體的一個角，如圖：2，、兩兩垂直， 故22，幾何體的表面積為：3 1 2 2 + 3 (22)2 = 6 + 23，249. tan()7tan（）4A.2【答案】DB.1C.1【考點】兩角和與

7、差的三角函數(shù)【解析】利用兩角和差的正切公式進行展開化簡，結(jié)合一元二次方程的解法進行求解即可【解答】由2tantan()72tantan+1= 7，4即 2tan 2tan2 tan 17 7tan， 得2tan2 8tan + 80，即 tan2 4tan + 40， 即(tan 2)20，則tan2，10. = 2 + 2 = 1的方程為（）5A.2+1B.2 +C. = 1 + 1D. = 1 + 12222【答案】D【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】2 + 2 = 1相切，利用選項到圓心的距離等于半徑，在將直線與曲線5 = 求一解可得答案；【解答】直線與圓2 + 2 = 1相

8、切，那么圓心(0, 0)到直線的距離等于半徑5，55四個選項中，只有，滿足題意；對于選項：2 + 1與 = 聯(lián)立，可得2 + 10，此時無解；對于選項： = 1 + 1與 = 聯(lián)立，可得1 + 1 = 0，此時解得1；2222 直線與曲線 = 和圓2 + 2 = 1都相切，方程為 = 1 + 1，52211. 設(shè)雙曲線: 2 21(0, 0)，離心率為52212是 ）A.1【答案】A【考點】雙曲線的離心率【解析】B.2C.4利用雙曲線的定義，三角形的面積以及雙曲線的離心率，轉(zhuǎn)化求解即可【解答】由題意，設(shè)2，1，可得 2，1 = 4，2 + 242， = =25，可得4216 + 42，可得52

9、4 + 2， 解得112. 已知55 84，134 85設(shè)log53，log85，log138，則（）A. 【答案】A【考點】對數(shù)值大小的比較【解析】B. C. 根據(jù)，可得 ，然后由log5 0.8，得到 ，再確定，的大小關(guān)系【解答】813= 5 3 = log3 log8 (5 3+5 8)2 = (5 24)2 ；85554255 84，5 5 0.8； 85，4 5log138，5log138 0.8，8 ，二、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。 + 0,，滿足約束條件2 0, 3 + 2的最大值 1,【答案】7【考點】簡單線性規(guī)劃【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，

10、再利用幾何意義求最值，3 + 2表示直線在軸上的截距的一半，只需求出可行域內(nèi)直線在軸上的截距最大值即可【解答】先根據(jù)約束條件畫出可行域，由 = 1 2 = 解得(1, 2)，如圖，當直線3 + 2過點(1, 2)時，目標函數(shù)在軸上的截距取得最大值時，此時取得最大值，即當1，2時，max3 1 + 2 272 + 2)6的展開式中常數(shù)項 （用數(shù)字作答【答案】240【考點】二項式定理及相關(guān)概念【解析】先求出二項式展開式的通項公式，再令的冪指數(shù)等于0，求得的值，即可求得展開式中的常數(shù)項的值【解答】(2 + 2)6的展開式的通項公式為= 2 123 ，66令12求4，故常數(shù)項的值等于4 24240，6

11、已知圓錐的底面半徑母線長則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積【答案】2 3【考點】球的表面積和體積【解析】易知圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)為圓錐的內(nèi)切球，作圖，求得出該內(nèi)切球的半徑即可求出球的體積【解答】因為圓錐內(nèi)半徑最大的球應(yīng)該為該圓錐的內(nèi)切球， 如圖，圓錐母線3，底面半徑1，則其 = 22 = 22，不妨設(shè)該內(nèi)切球與母線切于點，令= ，即 = 1，解 = 2，2232 = 4 3 = 2 ，33關(guān)于函數(shù)()sin +1sin有如下四個命題：()的圖象關(guān)于軸對稱()的圖象關(guān)于原點對稱()的圖象關(guān)于直線 = 對稱2()的最小值為2其中所有真命題的序號【答案】【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的

12、定義，對稱性的判定，對稱軸的求法，逐一判斷即可【解答】對于，由sin 0可得函數(shù)的定義域為| , ，故定義域關(guān)于原點對稱，由()sin()+1sin()= sin 1sin= ()；所以該函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱，所以錯對；對于，由( )sin( ) + = 對稱，對； 21sin()= sin +1sin= ()，所以該函數(shù)()關(guān)于對于，令sin，則 1, 0) (0, 1，由雙勾函數(shù)() + 1的性質(zhì)，可知，() + 1 (, 2 2, +) ，所以()無最小值，錯；三、解答題：共 70 分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個試題考生都必須作答。第 22

13、、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答（一60設(shè)數(shù)列滿足13，+13 4（1）計算2，3，猜想的通項公式并加以證明；（2）求數(shù)列2的前項和【答案】13，+13 則231 45，332 42()時，21(+)成立，當 + 1時，+1 3 43(2 + 1) 42 + 32( + 1) + 1，故 + 1時成立，由()()知，22法二：數(shù)列滿足13，+13 4，則231 45，332 42證明：設(shè)+1 + ( + 1) + 3( + + )，可得+13 + 2 + 2 ， 2 = ，解得 = 2 ，2 = 0 = 1+1 2( + 1) （ 2 1是等比數(shù)列）13，1212(212 + 1恒成立所以

14、2 + 1令2(2 + 1) 2，則數(shù)列2的前項和3 21 + 5 22+. +(2 + 1)2，兩邊同乘2得，23 22 + 5 23+. +(2 + 1)2+1，-得，3 2 + 2 22+. +2 2 (2 + 1)2+16 + 8(12 1 )12(2+ 1)2+1，所以(2 1)2+1 + 2【考點】 數(shù)列的求和【解析】2，3納法證明即可法二：利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，轉(zhuǎn)化求解即可【解答】 則 231 45，332 4 2+ ()時，21(+)成立，當+時，+1343(2+1)42+1)+ +1時成立，由()()知，2+ 1，猜想成立， 所以的通項公式2+ 1法二：數(shù)滿則23145，33

15、24 猜的通項公式2+證明：設(shè)+1 + ( + 1) + 3( + + )，可+13 + 2+ 2， 2 = ，解得 = 2，2 =0 = 1+12(+1)（2是等比數(shù)列）13，1212(21)2+ 1恒成立所以2+ 1令2(2+ 1) 2，則數(shù)列2的前項和3 21 + 5 22+. +(2+ 1)2，兩邊同乘2得，23 22 + 5 23+. +(2+ 1)2+1，-得32+222+. +2(2+6 + 8(12 1 )12(2+ 1)2+1，所+ 人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天：鍛煉人次鍛煉人次空氣質(zhì)量等級0, 200(200, 400(400, 6001（優(yōu)）216252（良）5101

16、23（輕度污染）6784（中度污染）720的概率；求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（值為代表；或2”為4“”2 列聯(lián)表，并根據(jù)95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì) 量有關(guān)？人次人次 400人次 400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：2=() 2()()()()(2 )0.0500.0100.001【答案】3.8416.63510.828= 43 100= 27 100該市一天的空氣質(zhì)量等級為3的概率為：678100該市一天的空氣質(zhì)量等級為4的概率為：720100= 21 ； 100=9 ；100300 0.35500 0.45350；根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2 2列聯(lián)表，

17、= 100 0.20人次人次 400人次 400總計空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計5545100由表中數(shù)據(jù)可得：2=() ()()()()= 100(3383722)70305545 5.820 3.841，所以有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)【考點】 古典概型及其概率計算公式【解析】用頻率估計概率，從而得到估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為 1，2，3，4的概率；采用頻率分布直方圖估計樣本平均值的方法可得得答案；2【解答】=() ()()()()計算的值，從而查表即可，= 43 100= 27 100該市一天的空氣質(zhì)量等級為3的概率為：67810

18、0該市一天的空氣質(zhì)量等級為4的概率為：720100= 21 ； 100=9 ；100300 0.35500 0.45350；根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得下面的2 2列聯(lián)表，= 100 0.20人次 400人次 400總計空氣質(zhì)量好333770空氣質(zhì)量不好22830總計5545100由表中數(shù)據(jù)可得：2 =() 2()()()()= 100(3383722)70305545 5.820 3.841，所以有95%的把握認為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)如圖，在長方中，分別在1，1上，21，21（1）證明：點1在平面內(nèi)；（2）若2，1，13，求二面角 1的正弦值【答案】證明：在1上取點，使得1

19、2，連接，1，1，1，在長方體 1111中，有1 / 1 / 1，且111又21，12，21，11和四邊形都是平行四邊形 /1，且1， / ，且又在長方體 1111中，有 / 11，且11，1/，則四邊形1為平行四邊形，1/1，又/1，1，/1，1，則四邊形1為平行四邊形，1在平面內(nèi)；在長方體 1111中，以1為坐標原點，分別以11，11，1所在直線為，軸建立空間直角坐標系2，1，13，21，21，(2, 1, 3)，(2, 0, 2)，(0, 1, 1(2, 1, 0)，則 = (2,1, 1)， = (0, 1, 1)， = (0, 1,2)= , 1, = 1+ 11 = 111則 11

20、111 = 1112 1 = 02，取1= (1,1, 1)；設(shè)平面1= (2, , 2)則 = + = 0 = (1,4,2)22 = +2= 022222122s =12=3 21721|21 | 1為，則sin = 11 = 77 17平面的基本性質(zhì)及推論二面角的平面角及求法【解析】1/11， / ，且 / 且11 / 11 / 11，則四邊形1為平行四邊形，從而得到點1在平面內(nèi)；（2）在長方體 1111中，以1為坐標原點，分別以11，11，1所在直線為，軸建立空間直角坐標系分別求出平面的一個法向量與平面1的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角 1的余弦值，再由同角三角函數(shù)基本

21、關(guān)系式求得二面角 1的正弦值【解答】證明：在1上取點，使得12，連接，1，1，1，在長方體 1111中，有1 / 1 / 1，且111又21，12，21，11和四邊形都是平行四邊形 /1，且1， / ，且又在長方體 1111中，有 / 11，且11，1/，則四邊形1為平行四邊形，1/1，又/1，1，/1，1，則四邊形1為平行四邊形，1在平面內(nèi)；在長方體 1111中，以1為坐標原點，分別以11，11，1所在直線為，軸建立空間直角坐標系2，1，13，21，21，(2, 1, 3)，E(2, 0, 2)，(0, 1, 1)，1(2, 1, 0)，則 = (2,1, 1)，E = (0, 1, 1)，

22、E = (0, 1,2)EE= , 1, = 1+ 11 = 111則 11111 = 1112 1 = 02= (1,1, 1)；設(shè)平面1E= (2, , 2)則 = + = 0 = (1,4,2)22 = +2= 022222122s =12=213 21721| | 設(shè)二面角 E 1為，則sin = 1 1 = 42E177的正弦值為427已知橢圓: 2 + 2 = 1(0 0的情況，此時5 5，0 0的情況，此時5 5，0 5，4|，( +22 +又 ， 5 +0，又2 + 16 2 = 1，2525 = 3 =3聯(lián)得 = 1 或 = 1， = 2 = 8 = 3當 = 1 時，則(3

23、, 1)，(6, 2)，而(5, 0)， = 2則（法一）= (8, 1)， = (11, 2)，= 1 2 2( )2 = 1 |8 2 11 1| = 5，222 = 3同理可得當 = 1時 = 5， = 82綜上， 的面積是52法二：(3, 1)，(6,30，30而| = 10，5 ，10= 1 10 2510= 5 2數(shù)形結(jié)合方法：如圖示：點軸左側(cè)時，點 ，直6軸交(6, 0)點， 易 ，1，故1時，2 + 1= 1舍，252516故(3, 1)，易得8，8，2故 = 1 (11 8 10 1 (1 + 65) 1 8) =25，22當點在軸右側(cè)時，同理可得3，即(3, 1)，2，2，

24、 故 = 5，2綜上， 的面積是52設(shè)函數(shù)()3 + + ，曲線()在點（1 , (1)）處的切線與軸垂直22（1）求；()的零點，證明：()1【答案】由()3 + + ，得()32 + ，(1)31)2 = 0 = 3；2244證明：設(shè)0為()的一個零點，根據(jù)題意，(0) = 03 3 0 + = 0，且|0| 1，44則 = 03 + 3 0，由|0| 1，4令 () = 3 + 3 (1 1)，4() = 32 + 3 = 3( + 1)( 1)，422當 (1, 1) (1 , 1)時，() 02222可知()在(1, 1)，(1 , 1)上單調(diào)遞減，在( 1 , 1)上單調(diào)遞增222

25、2又(1) = 1，(1) = 1，( 1) = 1，(1) = 1，4 1 42424444設(shè)1 為()的零點，則必有(1) = 13 3 1 + = 0，4即 1 = 13 + 3 1 1，444413 1 = ( 1)2 01 1，413 + 1 = + 1)2 01即|1| 1()1【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系【解析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由題意可得(1)3 (1)2 + = 0，由此求得值；2244（2）設(shè)0為()的一個零點，根據(jù)題意，(0) = 03 3 0 + = 0，且|0| 1，得到 = 03 + 3 0，由|0| 1，對()求導數(shù)，可得

26、()在1, 1上的單調(diào)性，得到44 1 1設(shè)1 為()的零點，則必有(1) = 13 3 1 + = 0，可得 1 =444413 + 3 1 1，由此求得1的范圍得答案44【解答】由()3 + + ，得()32 + ，(1)31)2 = 0 = 3；2244證明：設(shè)0為()的一個零點，根據(jù)題意，(0) = 03 3 0 + = 0，且|0| 1，44則 = 03 + 3 0，由|0| 1，4令 () = 3 + 3 (1 1)，4() = 32 + 3 = 3( + 1)( 1)，422當 (1, 1) (1 , 1)時，() 02222可知()在(1, 1)，(1 , 1)上單調(diào)遞減，在( 1 , 1)上單調(diào)遞增2222又(1) = 1，(1) = 1，( 1) = 1，(1) = 1，4 1 44424244設(shè)1 為()的零點，則必有(1) = 13 3 1 + = 0，4即 1 = 13 + 3 1 1，444413 1 = ( 1)2 01 1，413 + 1 = + 1)2 01即|1| 1()1（二）選考題：共 10 分。請考生在第 22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程（10 分）在直角坐標系中