111正弦定理(一)學案（人教A版必修5）

1、第4頁 共4頁 第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理11.1正弦定理(一)課時目標1熟記正弦定理的內(nèi)容；2能夠初步運用正弦定理解斜三角形1在ABC中，ABC，eq f(A,2)eq f(B,2)eq f(C,2)eq f(,2).2在RtABC中，Ceq f(,2)，則eq f(a,c)sin_A，eq f(b,c)sin_B.3一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形4正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，這個比

2、值是三角形外接圓的直徑2R.一、選擇題1在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ABC123，則abc等于()A123 B234C345 D1eq r(3)2答案D2若ABC中，a4，A45，B60，則邊b的值為()A.eq r(3)1 B2eq r(3)1C2eq r(6) D22eq r(3)答案C解析由正弦定理eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)，得eq f(4,sin 45)eq f(b,sin 60)，b2eq r(6).3在ABC中，sin2Asin2Bsin2C，則ABCA直角三角形 B等腰直角三角形C等邊三角形 D等腰三角形答案A解析sin2Asin2

3、Bsin2C(2R)2sin2A(2R)2sin2B(2R)2sin2C，即a2b2c2，由勾股定理的逆定理得4在ABC中，若sin Asin B，則角A與角B的大小關(guān)系為()AAB BAsin B2Rsin A2Rsin BabAB.5在ABC中，A60，aeq r(3)，beq r(2)，則B等于()A45或135 B60C45 D135答案C解析由eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)得sin Beq f(bsin A,a)eq f(r(2)sin 60,r(3)eq f(r(2),2).ab，AB，B60B45.6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果ce

4、q r(3)a，B30，那么角C等于()A120 B105 C90 D75答案A解析ceq r(3)a，sin Ceq r(3)sin Aeq r(3)sin(18030C)eq r(3)sin(30C)eq r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)sin Cf(1,2)cos C)，即sin Ceq r(3)cos C.tan Ceq r(3).又C(0，180)，C120.二、填空題7在ABC中，ACeq r(6)，BC2，B60，則C_.答案75解析由正弦定理得eq f(2,sin A)eq f(r(6),sin 60)，sin Aeq f(r(2),2).B

5、C2ACeq r(6)，A為銳角A45.C75.8在ABC中，若tan Aeq f(1,3)，C150，BC1，則AB_.答案eq f(r(10),2)解析tan Aeq f(1,3)，A(0，180)，sin Aeq f(r(10),10).由正弦定理知eq f(BC,sin A)eq f(AB,sin C)，ABeq f(BCsin C,sin A)eq f(1sin 150,f(r(10),10)eq f(r(10),2).9在ABC中，b1，ceq r(3)，Ceq f(2,3)，則a_.答案1解析由正弦定理，得eq f(r(3),sinf(2,3)eq f(1,sin B)，sin

6、Beq f(1,2).C為鈍角，B必為銳角，Beq f(,6)，Aeq f(,6).ab1.10在ABC中，已知a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若b2a，BA60，則A答案30解析b2asin B2sin A，又BAsin(A60)2sin A即sin Acos 60cos Asin 602sin A，化簡得：sin Aeq f(r(3),3)cos A，tan Aeq f(r(3),3)，A30.三、解答題11在ABC中，已知a2eq r(2)，A30，B45，解三角形解eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)，beq f(asin B,sin A

7、)eq f(2r(2)sin 45,sin 30)eq f(2r(2)f(r(2),2),f(1,2)4.C180(AB)180(3045)105，ceq f(asin C,sin A)eq f(2r(2)sin 105,sin 30)eq f(2r(2)sin 75,f(1,2)22eq r(3).12在ABC中，已知a2eq r(3)，b6，A30，解三角形解a2eq r(3)，b6，ab，A30bsin A，所以本題有兩解，由正弦定理得：sin Beq f(bsin A,a)eq f(6sin 30,2r(3)eq f(r(3),2)，故B60或120.當B60時，C90，ceq r(a

8、2b2)4eq r(3)；當B120時，C30，ca2eq r(3).所以B60，C90，c4eq r(3)或B120，C30，c2eq r(3).能力提升13在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若aeq r(2)，b2，sin Bcos Beq r(2)，則角A的大小為_答案eq f(,6)解析sin Bcos Beq r(2)sin(eq f(,4)B)eq r(2).sin(eq f(,4)B)1.又0B，Beq f(,4).由正弦定理，得sin Aeq f(asin B,b)eq f(r(2)f(r(2),2),2)eq f(1,2).又ab，AB，Aeq f(,6).14在銳角三角形ABC中，A2B，a，b，c所對的角分別為A，B，C，求eq f(a,b)的取值范圍解在銳角三角形ABC中，A，B，C90，即eq blcrc (avs4alco1(B90，,2B90，,1803B90，)30B45.由正弦定理知：eq f(a,b)eq f(sin A,sin B)eq f(sin 2B,sin B)2cos B(eq r(2)，eq r(3)，故eq f(a,b)的取值范圍是(eq r(2)，eq r(3)1利用正弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：(1)已知兩角和任一邊，求其