2023屆高考數(shù)學(xué)練習(xí)（湖南專版）-考點(diǎn)14 復(fù)數(shù)壓軸題匯總（解析版）

1、考點(diǎn)14 復(fù)數(shù)壓軸題匯總一、單選題（共10小題） 1.若ai+i2+i3+i4+in，則a可能為（）A0Bi，1+iCi，1+i，1Di，1+i，1，0【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得ai+i2+i3+i4+in，對(duì)n分類討論：當(dāng)n4k時(shí)，當(dāng)n4k+1時(shí)，當(dāng)n4k+2時(shí)，當(dāng)n4k+3時(shí)【解答】解：ai+i2+i3+i4+in，當(dāng)n4k時(shí)，i4k1，a0當(dāng)n4k+1時(shí)，i4k+1i，ai當(dāng)n4k+2時(shí)，i4k+21，ai1當(dāng)n4k+3時(shí)，i4k+3i，a1綜上可得：a0，i，i1，1故選：D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算 2.設(shè)A，B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則復(fù)數(shù)z（ctgBtanA）+（

2、tanBcotA）i對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于復(fù)平面的（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】B【分析】先求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再對(duì)實(shí)部和虛部分別“切化弦”，進(jìn)行通分后利用兩角和（差）余弦公式進(jìn)行化簡，根據(jù)銳角三角函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，再判斷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限【解答】解：復(fù)數(shù)z（cotBtanA）+（tanBcotA）i對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（cotBtanA，tanBcotA）cotBtanAA，B是銳角，sinB0，cosA0，cos（A+B）0，則cotBtanA0tanBcotAA，B是銳角，sinA0，cosB0，cos（A+B）0，則tanBcotA0所以復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限，故選：B【

3、知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 3.若z是復(fù)數(shù)，|z+22i|2，則|z+1i|+|z|的最大值是（）AB5C2+2D3+4【答案】D【分析】設(shè)zx+yi（x，yR），由|z+22i|2知，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡可看作以C（2，2）為圓心，2為半徑的圓，|z+1i|+|z|可看作點(diǎn)P到A（1，1）和O（0，0）的距離之和，可知當(dāng)|z+1i|+|z|取得最大值時(shí)P、A、O共線【解答】解：設(shè)zx+yi（x，yR），由|z+22i|2知，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡可看作以C（2，2）為圓心，2為半徑的圓，|z+1i|+|z|可看作點(diǎn)P到A（1，1）和O（0，0）的距離之和，而|CO|2，|CA|，

4、當(dāng)|z+1i|+|z|取得最大值時(shí)P、A、O共線，最大值為|PA|+|PO|（|CA|+2）+（|CO|+2）3+4，故選：D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模 4.設(shè)zC，且|z|1，當(dāng)|（z1）（zi）|最大時(shí)，z（）A1BiCiD+i【答案】C【分析】可設(shè)出復(fù)數(shù)的三角函數(shù)形式，再結(jié)合的三角函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解特別注意：令sin+cost，則sincos【解答】解：|z|1，設(shè)zcos+isin，則|（z1）（zi）|2令sin+cost，則sincossincos+1當(dāng)t即時(shí)，|（z1）（zi）|取最大值，此時(shí)，zi【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 5.若復(fù)數(shù)z的虛部不為零，且z3+z+10，則（）A

5、|z|1B|z|1C1|z|D|z|【答案】C【分析】設(shè)za+bi，（a，b為實(shí)數(shù)），由z的虛部不為零，可知b0，代入z3+z+10，化簡得a33ab2+a+10，3a2bb3+b0，兩邊除以b得：3a2b2+10，即b23a2+1，由a2+b24a2+11，得|z|1，代入到，化簡得8a32a+10，進(jìn)一步得到|z|22，則答案可求【解答】解：設(shè)za+bi，（a，b為實(shí)數(shù)），由z的虛部不為零，可知b0，可得：（a+bi）3+（a+bi）+10，展開得：（a3+3a2bi3ab2b3i）+a+bi+10，得a33ab2+a+10，3a2bb3+b0，兩邊除以b得：3a2b2+10，即b23a2

6、+1，由a2+b24a2+11，得|z|1，代入到，得a33a（3a2+1）+a+10，化簡得8a32a+10，變形：（2a）2+（2a）+10，得（2a），由（2a）20，1+（2a）21，得2a1，a2+b24a2+12，|z|221|z|故選：C【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模 6.已知|z|1且zC，則|z22i|（i為虛數(shù)單位）的最小值是（）ABCD【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)|z|1的幾何意義即可求得|z22i|（i為虛數(shù)單位）的最小值【解答】解：|z|1且zC，作圖如圖：|z22i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P（2，2）的距離，|z22i|的最小值為：|OP|121故選

7、：D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模 7.已知zx+yi，x，yR，i是虛數(shù)單位若復(fù)數(shù)+i是實(shí)數(shù)，則|z|的最小值為（）A0BC5D【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件可得xy+2，再利用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：復(fù)數(shù)+i是實(shí)數(shù)，0，得到xy+2|z|，當(dāng)且僅當(dāng)y1，x1取等號(hào)|z|的最小值為故選：D【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模 8.已知x、y均為實(shí)數(shù)，記maxx，y，minx，y若i表示虛數(shù)單位，且ax1+y1i，bx2+y2i，x1，y1，x2，y2R，則（）Amin|a+b|，|ab|min|a|，|b|Bmax|a+b|，|ab|max|a|，|b|Cmin|

8、a+b|2，|ab|2|a|2+|b|2Dmax|a+b|2，|ab|2|a|2+|b|2【答案】D【分析】通過轉(zhuǎn)化為向量加法與減法的幾何意義，結(jié)合題目中的取最大與最小值，對(duì)選項(xiàng)中的問題進(jìn)行分析判斷，對(duì)錯(cuò)誤選項(xiàng)進(jìn)行排除即可【解答】解：ax1+y1i，bx2+y2i，x1，y1，x2，y2R，可記（x1，y1），（x2，y2），則|a|，|b|，|2|2+|22|，max|a+b|2，|ab|2|a|2+|b|2成立，D正確；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，易知不等式不成立，C不正確；對(duì)于B，當(dāng)且均不為零向量時(shí)，易知不等式不成立，B不正確；對(duì)于C，當(dāng)且均不為零向量時(shí)，易知不等式不成立，C不正確；故選：D【知識(shí)點(diǎn)】

9、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的運(yùn)算 9.已知+3i（i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)），則復(fù)數(shù)z3在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、幾何意義即可得出【解答】解：設(shè)za+3i，（a0），則a，解得a，于是z3（3）+3i，所以復(fù)數(shù)z3所在的復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，故選：B【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算 10.給出下列命題（1）實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù)；（2）滿足|zi|+|z+i|2的復(fù)數(shù)z的軌跡是橢圓；（3）若mZ，i21，則im+im+1+im+2+im+30；（4）若“a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)”，則（ab）2+（bc）2+（ca

10、）20；（5）若“a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)”，ab，bc，ca不能同時(shí)成立其中正確命題的序號(hào)是（）A（1）（2）（3）B（1）（3）（4）C（2）（3）（5）D（3）（4）（5）【答案】B【分析】（1）利用共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷出正誤；（2）滿足|zi|+|z+i|2的復(fù)數(shù)z的軌跡是線段，即可判斷出結(jié)論；（3）利用復(fù)數(shù)的周期性即可判斷出結(jié)論；（4）若“a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)”，ab，bc，ca必有一個(gè)不等于0，即可判斷出結(jié)論；（5）若“a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)”，ab，bc，ca可能同時(shí)成立，即可判斷出結(jié)論【解答】解：（1）實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)一定是實(shí)數(shù)，正確；（2）滿足|zi|+|z+i|

11、2的復(fù)數(shù)z的軌跡是線段，因此不正確；（3）若mZ，i21，則im+im+1+im+2+im+30，正確；（4）若“a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)”，ab，bc，ca必有一個(gè)不等于0，則（ab）2+（bc）2+（ca）20，正確；（5）若“a，b，c是不全相等的實(shí)數(shù)”，ab，bc，ca可能同時(shí)成立，不正確其中正確命題的序號(hào)是（1）（3）（4）故選：B【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 二、填空題（共8小題） 11.不等式m2（m23m）i（m24m+3）i+10成立的實(shí)數(shù)m的取值集合是【答案】3【分析】根據(jù)兩個(gè)復(fù)數(shù)如果能比較大小，則這兩個(gè)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可得，由此求得m的值【解答】解：由不等式m2（m23m）i

12、（m24m+3）i+10，可得，解得 m3，故答案為 3【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 12.已知2i3是關(guān)于x的方程2x2+px+q0的一個(gè)根，則p q【答案】【第1空】12【第2空】-23【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)實(shí)系數(shù)方程根的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【解答】解：2i3是關(guān)于x的方程2x2+px+q0的一個(gè)根，2i3也是方程2x2+px+q0的一個(gè)根，則2i3+（2i3），即6，則P12，（2i3）（2i3）4913，即q23，故答案為：12，23【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 13.已知zC，且|z22i|1，（i為虛數(shù)單位），則|z+2i|的最大值為【分析】|z22i|1，表示以C（2，2）為圓心，1為半徑的圓

13、，則圓心C到點(diǎn)M（2，1）的距離d，則|z+2i|的最大值為d+r【解答】解：|z22i|1，表示以C（2，2）為圓心，1為半徑的圓，則圓心C到點(diǎn)M（2，1）的距離d，則|z+2i|的最大值為d+r故答案為：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模 14.下列命題，是真命題的有兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小；若x，yC，x+yi1+i的充要條件是xy1；若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對(duì)應(yīng)；實(shí)數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集【答案】【分析】舉例說明錯(cuò)誤；由兩復(fù)數(shù)相等的充要條件說明錯(cuò)誤；由集合間的關(guān)系說明正確【解答】解：對(duì)于，若兩個(gè)復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則能比較大小，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)且僅當(dāng)x，yR，x+yi1+i的充要條件是xy1

14、，故錯(cuò)誤；對(duì)于，當(dāng)a0時(shí)，0i0不是純虛數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，實(shí)數(shù)集相對(duì)復(fù)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集，故正確故答案為：【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 15.若復(fù)數(shù)z滿足|z2i|1（i為虛數(shù)單位），則|z|的最小值為【答案】1【分析】設(shè)zx+yi，（x，yR），根據(jù)|z2i|1，可得x21（y2）2（y1，3）代入|z|，即可得出【解答】解：設(shè)zx+yi，（x，yR），|z2i|1，|x+（y2）i|1，1，x21（y2）2（y1，3）則|z|1當(dāng)y1時(shí)取等號(hào)故答案為：1【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模 16.i表示虛數(shù)單位，則1+i+i2+i2005【答案】1+i【分析】由i+i2+i3+i40，再結(jié)合其周期性，解出即可

15、【解答】解：i+i2+i3+i4i1i+10，復(fù)數(shù)z1+i+i2+i3+i20051+i，故答案是：1+i【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 17.已知互異復(fù)數(shù)mn0，集合m，nm2，n2，則m+n【答案】-1【分析】互異復(fù)數(shù)mn0，集合m，nm2，n2，可得：mm2，nn2；nm2，mn2，mn0，mn解出即可得出【解答】解：互異復(fù)數(shù)mn0，集合m，nm2，n2，mm2，nn2，或nm2，mn2，mn0，mn由mm2，nn2，mn0，mn，無解由nm2，mn2，mn0，mn可得nmm2n2，解得m+n1故答案為：1【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 18.若復(fù)數(shù)z滿足|z1|1，則|z+2+3i|的最小值為

16、【分析】設(shè)zx+yi（x，yR）復(fù)數(shù)z滿足|z1|1，可得（x1）2+y21令x1+cos，ysin0，2）代入|z+2+3i|，化簡整理利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】解：設(shè)zx+yi（x，yR）復(fù)數(shù)z滿足|z1|1，（x1）2+y21令x1+cos，ysin0，2）則|z+2+3i|31cos1時(shí)取等號(hào)因此最小值為31故答案為：31【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 三、解答題（共8小題） 19.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=，z2的虛部為2，且z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)滿足|1|，求在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形的面積【分析】（1）設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用已知列出方程組

17、，求解可得復(fù)數(shù)z；（2）把復(fù)數(shù)z=1+i代入，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算|，由復(fù)數(shù)滿足|1|，由復(fù)數(shù)的幾何意義得出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形是什么，從而計(jì)算出對(duì)應(yīng)面積【解答】解：（1）設(shè)z=x+yi（x，yR），則z2=x2y2+2xyi，由|z|=，z2的虛部為2，且z所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，得，解得：，z=1+i；（2）由（1）知：復(fù)數(shù)z=1+i，=，|=，復(fù)數(shù)滿足|1|，由復(fù)數(shù)的幾何意義得：在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合構(gòu)成圖形是以（1，0）為圓心，為半徑的圓面，其面積為【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算 20.已知z=1+i，a，b為實(shí)數(shù)（1）若，求|；（2）若，求a，b的值【

18、分析】（1）直接把z=1+i代入化簡，再由復(fù)數(shù)求模公式計(jì)算得答案；（2）直接把z=1+i代入化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件計(jì)算即可求出a，b的值【解答】解：（1）z=1+i，=（1+i）2+3（1i）4=1i|=；（2）z=1+i，=2+a（a+b）i=1i，解得a，b的值為：1，2【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算 21.已知復(fù)數(shù)z+（m22m15）i，mR（1）m取何值時(shí)，z為實(shí)數(shù)？（2）m取何值時(shí)，z為虛數(shù)？（3）m取何值時(shí)，z為純虛數(shù)？【分析】（1）由z為實(shí)數(shù)可得虛部等于0且分式的分母不等于0，聯(lián)立求解即可；（2）由z為虛數(shù)可得虛部不等于0且分式的分母不等于0，聯(lián)立求解即可；（3）由z為純虛數(shù)可得實(shí)部等于

19、0，虛部不等于0且分式的分母不等于0，聯(lián)立求解即可【解答】解：（1）z為實(shí)數(shù)，解得m5當(dāng)m5時(shí)，z是實(shí)數(shù)；（2）z為虛數(shù)，解得m5且m3；當(dāng)m5且m3時(shí)，z是虛數(shù)；（3）z為純虛數(shù)，解得m3或2當(dāng)m3或2時(shí)，z是純虛數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】虛數(shù)單位i、復(fù)數(shù) 22.已知復(fù)數(shù)x+ai（aR），zx|x|+（1i）（1）若z為純虛數(shù)，求a的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求a的取值范圍【分析】由x+ai得|x|a+1|，再根據(jù)2a+10，可得a+1，得到|x|a+1，求出z（a）+（a1）i，（1）若z為純虛數(shù)，則，求解即可得a的值；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，求解即可得a的取值范圍

20、【解答】解：由x+ai得|x|a+1|2a+10，a，a+1|x|a+1z+ai（a+1）+（1i）（a）+（a1）i（1）若z為純虛數(shù)，則，解得a1+；（2）若z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，解得a1+【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 23.已知z是復(fù)數(shù)，z+2i、均為實(shí)數(shù)（i為虛數(shù)單位），（1）若復(fù)數(shù)（z+ai）2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍（2）若復(fù)數(shù)z1cos+isin（0），求復(fù)數(shù)|zz1|的取值范圍【分析】利用已知條件求出復(fù)數(shù)z，（1）列出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿足的不等式，求出范圍即可（2）利用復(fù)數(shù)模求解三角函數(shù)的最值即可【解答】解：z是復(fù)數(shù)，z+2i、均

21、為實(shí)數(shù)，設(shè)zx2i，則，x4z42x（1）復(fù)數(shù)（z+ai）2（42i+ai）216（2a）28（2a）i復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，解得2a6（2）復(fù)數(shù)z1cos+isin（0），復(fù)數(shù)|zz1|42icosisin|tan2，復(fù)數(shù)|zz1|的取值范圍：【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算 24.設(shè)i為虛數(shù)單位，n為正整數(shù)，0，2）（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：（cos+isin）ncosn+isinn；（2）已知z+i，試?yán)茫?）的結(jié)論計(jì)算z10；（3）設(shè)復(fù)數(shù)za+bi（a，bR，a2+b20），求證：|zn|z|n（nN*）【分析】（1）利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明，注意和差公式的應(yīng)用（2）利用（1）的結(jié)論即可得出（3）由于，可，利用（1）的結(jié)論【解答】（1）證明：1當(dāng)n1時(shí)，左邊右邊cos+isin，所以命題成立；2假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，命題成立，即（cos+isin）kcosk+isink，則當(dāng)nk+1時(shí)，（cosx+isin）k+1（cos+isin）k（cos+isin）當(dāng)nk+1時(shí)，命題成立；綜上，由1和2可得，（cos+isin）ncosn+isinn（