數(shù)列通項公式的求法總結(jié)結(jié)版

1、 S ,(nS a an1S S ,(nnnnn1 Sa11S nS n例a S 3 2nnnn,a S 3 2 1S 3 22n有nS3n11n11nn12 3 a 1,a S S 1n1nnn11(n 1a 23(n 2) nn1 2a 1,n 1例a S Sna nnnnnn2當(dāng) S 2a 1a 1S 2a 1,a1111n1n1a S S (2a 1)(2a 1),得a 2annn1nn1nn1a 為首項2為公比的等比數(shù)列,a 2n1nn例nS2 S a.*nnnnn2 S +1得4S 22nnnnn得4a a ) a知2222nnnnnnnna-a 2 aa2nn1111n a f

2、(n)an1nn a f (n),(n an1n 11a a a 例3.，aa 。nn2n1 2n1nn1111a a n n n(n n n1n1n2n,(n(n (a a )(a a )(a a )(a a )213243nn111 1 )( )( )(2 3 3 41 111 )n1 n211211 3 1a 1 n 2 na 1a a，nn2n113 1na 3 a (n 2)a例4.aan1n1nn1n2a 3 ,n ,(n (n an1nn13 1 3 1.n3n2a (a a )(a a ) (a a )a =3 .n1n1n1n22112nn1a a a 2n，a 1例，求數(shù)列

3、a nnn1n1則 a 2n1 a a 2n1a得n1nn1na (a a )(a a ) (a a )(a a )annn1n1n2322112(n1)12(n2)1 (221)(211)1n1)(n2) 21(n1)1(nn2(n1)1(nn1)1n22 f (n)aan1na f(n)n ,(n n1an 2例6.a a ，n1 3a n1aa 。nn1nnan n ,(n (n n1an1na aa1 2 3n1 a1232 2 3 4na 1a ， 又2a a3nanannn12n11a pa q(其中p,是常數(shù),pq(p1) 0)n1na t p(a t)a pa t(1 p)n1

4、nn1nqq t(1p)q，t a t a ，bb 是以q1 p1 pnnnn b a na . n1 a 2a 3例7.a a ，n1n1nna2a 3a t 2(a t) a 2a t t 3即n1nn1nn1na 332(a b a 3b a 34bn1b2.an1a 3n1nnn11 nn , 4 2b b b 4 2n 1n 11nna 2 3.n1 n a a a 2a 1 nN.例求數(shù)列 a n1n1nna 1a 1 2a 2 2(a 2n1 2a 1a，又a 1n1nnn1nna 12 1a 122 2 a 2 1。則 a 22n 1nn1nnn1a a a na例9、數(shù)列a

5、滿足 =1， = +1（2），求數(shù)列 的通項公式。12nnn1n111a a naaa解：由 = +1（ 2）得 2= （ 2），而 2=12=1，2n12n11nn111aaa 2是 為公比1為首項的等比數(shù)列 2=（ ） ， =2（ ）n1n1222nnn 1a a 2練習(xí)2、已知數(shù)列a 滿足a ，且，求 a1n1nn nt a t)a 3a 2t t 1 a 13(a a 1， 是解：設(shè)a，則n1nn1nn1nn以(a 為首項,以3為公比的等比數(shù)列1 a 1(a 3 23 a23 1n1n1n1n1n類型5：分式型遞歸數(shù)列a解決辦法；nn1 rnr 1 q11，apann1nn rq r1

6、r11為等差數(shù)列；當(dāng) 時,轉(zhuǎn)化nn1pnp pnapn為類型4中問題.a,a 1例a求 ann13a 1n1n1a 1 11 313。 n1aaaa nnn1n1111 (n3 a 1 (n 32n naan13例a 的首項a ，aa n1，n，。求a 的通項nn2a 15n1na12 111 1123a n1， ，3 a111解：，又，n2a 1aaan13 ann1nnn12112 12n11 a 是以 為首項 為公比的等比數(shù)列3an3 n13n3 2nan3n六、（構(gòu)造法2）遞推公式為a（其中p，q均為常數(shù)，nn1n(pq(p(q ），（或a ）數(shù)列通項公式的求法nn1naqp a1q

7、，得：n1 解法1：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以n1n1nq qqn aqp1），得：b b 再應(yīng)用類型四的構(gòu)造法引入輔助數(shù)列b （其中bnnnnn1qnq1 q ( )pn1 pn p paa解法2：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：n1n1npn1 a1 qb b ( )p p引入輔助數(shù)列 b （其中b），得：再應(yīng)用累加法npnn1nnnq q a q ,解法 3：設(shè)an 1nnn1nn1nrq) r ，(p，pqr a q a qbbbp的nnpqnnnnn a n 5111 6a a ( )例 11. 已知數(shù)列 a 中，a,，求a 。nn1nn13n2112 a ( )22

8、 a (2 a )1解：在a兩邊乘以得：n1n1n1nn13n2n13n22 ab b 1,應(yīng)用類型四（例7、例 8）的解法得：令b，則nn13nnn2bn2n11b 3 ) ,所以a ) )nnn323nn113 a ( )3n1法 2：在a兩邊乘以得： a3n1 a ) ( )令n1n1nn13n2n12n3b 3 a ， 則b b ( ) ,應(yīng)用累加法的解法得從而可求annn1bnnnn1n2 a 2a 32 ，求a例 12：數(shù)列 a 滿足an1n1n1nnan12n1aa 2a 32 ,各項同除以2 得 3解：n1n1nn1n2na aaa332n1 2n又 構(gòu)成了一首項這 ，公差為3的等差數(shù)列n1nn12 22 2na33