隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)

1、 平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析 平穩(wěn)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析 多個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和通過(guò)線性系統(tǒng) 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的概率分布第五章 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 1第五章 隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng) 確定信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)。 確知信號(hào)x(t), 線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h(t)。 時(shí)域： 確定信號(hào)通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)。 確知信號(hào)x(t), 線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)h(t)。2問(wèn)題：隨機(jī)信號(hào)通過(guò)線性系統(tǒng)情況如何呢？其輸入、輸出以及與系統(tǒng)函數(shù)間的關(guān)系如何？ 若 物理可實(shí)現(xiàn)，且x(t)有界，則有 頻域：所以對(duì)于確定信號(hào)，總可以用數(shù)學(xué)式或列表形式給定其時(shí)域的描述，或用變換的方式給

2、出其“頻域”的表述.即:3設(shè) 隨機(jī)信號(hào) 若每一樣本函數(shù) 都是有界的,即有:時(shí)域表示：則對(duì)照可得系統(tǒng)輸出隨機(jī)信號(hào)的時(shí)域形式：4當(dāng)隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)時(shí),輸出過(guò)程的頻域特性可用功率譜來(lái)描述。問(wèn)題的提出：用統(tǒng)計(jì)的方法如何來(lái)具體地表征隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的行為，從中我們能獲得什么結(jié)論？時(shí)域的統(tǒng)計(jì)特征?頻域的統(tǒng)計(jì)特征?頻域表示55.1 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析輸出過(guò)程的均值=輸入過(guò)程的均值H(0)常數(shù)。1系統(tǒng)輸出Y(t)的均值:h(t)62系統(tǒng)輸出Y(t) 的自相關(guān)函數(shù): 輸出過(guò)程 RY() 只與時(shí)間差 有關(guān)，而與時(shí)間 起點(diǎn) t 無(wú)關(guān)。7 常數(shù) t 的函數(shù) 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)

3、的輸出過(guò)程也是平穩(wěn)的。且有：8同理可證，3系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù):9h(t)h(-t)h(-t)h(t)10當(dāng)X(t)為白噪聲，即 時(shí)，則即有 該式說(shuō)明：通過(guò)互相關(guān)函數(shù)測(cè)量設(shè)備測(cè)得 則可用功率譜密度為 的白噪聲激勵(lì)線性系統(tǒng)來(lái)估計(jì)線性系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)。例: 線性系統(tǒng)沖擊響應(yīng)的檢測(cè)114物理可實(shí)現(xiàn)(因果)系統(tǒng)的響應(yīng) 物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件： 因果性 將該條件代入上述關(guān)系式，可得 注意：卷積關(guān)系不再成立。12平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域分析小結(jié)：X(t)：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程h(t)：線性時(shí)不變系統(tǒng)的沖擊響應(yīng) 注意：物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的條件。13通過(guò)表5.1中第一欄的系統(tǒng). 求輸出Y(t)的自相關(guān)函

4、數(shù) :例5.1 設(shè)白噪聲的功率譜密度 ， 14由時(shí)域求取相關(guān)函數(shù)需要進(jìn)行卷積運(yùn)算時(shí)域的卷積頻域的相乘15令： 則5.2 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析1系統(tǒng)輸出Y(t)的功率譜密度令 ，則 ，系統(tǒng)的輸出功率=系統(tǒng)的輸入功率 |H()| 2 |H()|2 稱為系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)。16系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率系統(tǒng)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)172. 系統(tǒng)輸入與輸出之間的互譜密度 由付氏變換性質(zhì)可得:例: 當(dāng)輸入為白噪聲，即GX()=N0/2時(shí)，則: 如果能設(shè)法測(cè)得GXY() 或GYX() ， 則可估計(jì)線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù) H() 。18平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻域分析小結(jié)：GX()

5、 ：輸入平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)的功率譜密度;H() ： 線性時(shí)不變系統(tǒng)的傳輸函數(shù);|H()|2 ：線性時(shí)不變系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù);GY() ：輸出平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y(t)的功率譜密度；GXY() ：輸入X(t)與輸出平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程Y(t)的互譜密度。19假設(shè)一個(gè)零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程加到?jīng)_激響應(yīng)為 （t.=0）的線形濾波器中，證明證明：例題：20 假設(shè)一個(gè)零均值平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，加到?jīng)_激響應(yīng)為 的線性濾波器中，證明輸出功率譜密度為。證明：所以，例題：21通過(guò)表5.1中第一欄的系統(tǒng). 求輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù) :例5.1 設(shè)白噪聲的功率譜密度 ， 22頻域：系統(tǒng)的輸出的均方值或平均功率系統(tǒng)輸出Y(t)的自相關(guān)函

6、數(shù)23例: 5.11如圖所示的線性電路,輸入電壓為：X(t)=X0+cos(2pt+F），式中，X0為0，1上均勻分布的隨機(jī)變量。 X0, F統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，F(xiàn) 在0，2p上均勻分布。兩者相互獨(dú)立。求輸出的自相關(guān)函數(shù)。 解：輸入過(guò)程相關(guān)函數(shù)為：24輸入過(guò)程功率譜密度系統(tǒng)函數(shù)： 輸出過(guò)程功率譜密度257設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為 。 通過(guò)如下圖所示的積分電路。求的功率譜密度。解： ， ； 267設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為 。 通過(guò)如下圖所示的積分電路。求的功率譜密度。解： ； 275.19 假設(shè)某積分電路輸入與輸出之間的關(guān)系滿足：，式中T為積分時(shí)間，設(shè)輸入輸出都是平穩(wěn)過(guò)程，求證輸出功率譜密度為：2

7、85.3 多個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和通過(guò)線性系統(tǒng)設(shè) X1(t) 和 X2(t)單獨(dú)平穩(wěn)，且聯(lián)合平穩(wěn)，則線性系統(tǒng)的輸出Y(t)的特性為：(1)輸出Y(t)的均值h(t)29(2)輸出Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度 推論： 若X1(t) 和 X2(t)互不相關(guān)，則30 若X1(t) 和 X2(t)互不相關(guān)，且均值為零，則(3) 輸入X(t) 與輸出Y(t) 的互相關(guān)函數(shù)和互譜密度31則系統(tǒng)輸出 的功率譜密度為:5.4 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng) 設(shè)白噪聲的功率譜密度 ， 雙邊功率譜密度， 單邊功率譜密度 : 系統(tǒng)輸出功率譜密度不再是均勻的，其形狀 完全取決于系統(tǒng)的頻率特性H()。系統(tǒng)輸出Y(t)也不再是白噪聲。

8、H(w)32 GY()、 RY()的求解都需要知道|H()|，因此 |H()|越復(fù)雜， GY()和 RY()的計(jì)算就越困難。系統(tǒng)輸出Y(t) 的平均功率為:332022/9/26343 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)等效噪聲帶寬 在一般的線性系統(tǒng)中，通常用3dB帶寬來(lái)表示系統(tǒng)對(duì)輸入確定信號(hào)頻譜的選擇性； 等效噪聲帶寬則用來(lái)描述系統(tǒng)對(duì)輸入白噪聲功率譜的選擇性。 它們都僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)決定。 34 當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時(shí)，計(jì)算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計(jì)特性是困難的。在實(shí)際中為了計(jì)算方便，常常用一個(gè)幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實(shí)際系統(tǒng)，在等效時(shí)要用到一個(gè)非常重要的概念等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。 若在保持平

9、均功率 不變的條件下，把實(shí)際系統(tǒng)輸出功率譜密度等效成一定帶寬內(nèi)為均勻的功率譜密度。若等效的功率譜密度的高度為 則這個(gè)帶寬就定義為等效噪聲帶寬2022/9/26353 白噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)等效噪聲帶寬 等效原則：平均功率相等 等效系統(tǒng)的功率譜密度35計(jì)算實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵(lì) 消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為 理想線性系統(tǒng)對(duì)同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為 等效噪聲帶寬36實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為 對(duì)于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在0處，即對(duì)于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路) 的最大值出現(xiàn)在處，即375.4

10、.1 等效噪聲帶寬 當(dāng)輸入相同的白噪聲時(shí)，用輸出噪聲平均功率相等的方法，尋求一個(gè)在頻帶中心的功率傳輸函數(shù)值與實(shí)際系統(tǒng)相等，且具有矩形傳輸函數(shù)特性的理想系統(tǒng)。以簡(jiǎn)化系統(tǒng)分析中的運(yùn)算。 則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬 定義為 理想低通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為38設(shè)理想帶通線性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)為其中， 為帶通線性系統(tǒng)的中心頻率，則實(shí)際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為表示：系統(tǒng)對(duì)噪聲功率譜的選擇性。39 都取決于系統(tǒng)的傳輸函數(shù) .線性系統(tǒng)通頻帶寬(3dB帶寬)： 系統(tǒng)頻率特性曲線半功率點(diǎn)的通頻帶寬.窄帶單調(diào)諧電路系統(tǒng)：雙調(diào)諧電路系統(tǒng)： 高斯頻率特性的電路系統(tǒng)： 級(jí)聯(lián)調(diào)諧電路越多的電路系統(tǒng)，兩者越接近。(2) 線性系統(tǒng)

11、的通頻帶寬與等效噪聲帶寬的關(guān)系不同結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)中, 兩者關(guān)系如下：-DweDwe405.29 某個(gè)放大器，其功率增益隨頻率的變化為 ，求：該放大器的噪聲帶寬。解：415.4.2 白噪聲通過(guò)理想線性系統(tǒng) 有了等效噪聲帶寬的概念，就可以用帶寬為等效噪聲帶寬的理想系統(tǒng)來(lái)等效或逼近實(shí)際系統(tǒng)。系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為： 白噪聲通過(guò)理想低通線性系統(tǒng) 理想低通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：42A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜 輸出的自相關(guān)函數(shù) 輸出平均功率 輸出相關(guān)系數(shù) 輸出相關(guān)時(shí)間 3 白噪聲通過(guò)理想低通系統(tǒng)431) 輸出單邊功率譜密度 2) 輸出相關(guān)函數(shù) 3) 輸出平均功率系統(tǒng)輸出特性如下：444

12、) 輸出Y(t)的自相關(guān)系數(shù) 5) 輸出Y(t)的相關(guān)時(shí)間 輸出隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。 ，輸出過(guò)程隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。45白噪聲通過(guò)理想帶通線性系統(tǒng)理想帶通線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為： 若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：， 則系統(tǒng)輸出特性如下：46 輸出單邊功率譜密度 若系統(tǒng)滿足條件 時(shí)，則該系統(tǒng)稱為窄帶 系統(tǒng)； 若隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度滿足條件 時(shí)， 則該隨機(jī)過(guò)程稱為窄帶過(guò)程。472) 輸出相關(guān)函數(shù)理想低通的輸出相關(guān)函數(shù)這說(shuō)明，一個(gè)窄帶系統(tǒng)（滿足 ） 窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù) =等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù) X 2 cos048 的變化只與有關(guān)，因此若滿足條件，則的變化將比

13、的變化慢得多。一般為的包絡(luò)。 稱-2p/Dw0 2p/Dw0t493) 輸出平均功率4) 輸出 的自相關(guān)系數(shù)自相關(guān)系數(shù)也可以分成快、慢變化兩部分。5) 輸出Y(t)的相關(guān)時(shí)間 50注意：上式利用窄帶過(guò)程的條件，由 的包絡(luò)定義相關(guān)時(shí)間。因此 反映的是窄帶過(guò)程包絡(luò)的相關(guān)時(shí)間。輸出隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)時(shí)間與系統(tǒng)的帶寬成反比。則由此可知 ，輸出過(guò)程包絡(luò)隨時(shí)間變化越快；反之則越慢。51高斯頻率特性線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)正半軸部分為：若系統(tǒng)輸入白噪聲單邊功率譜密度為：1） 輸出單邊功率譜密度 白噪聲通過(guò)具有高斯頻率特性的線性系統(tǒng)輸出性質(zhì) :522) 輸出相關(guān)函數(shù)其中， 為等效低通傳輸函數(shù)。 窄帶系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)=2

14、 cos0 等效低通系統(tǒng)輸出相關(guān)函數(shù)534) 輸出Y(t)的自相關(guān)系數(shù) 5) 輸出Y(t)的等效噪聲帶寬 3) 輸出平均功率545.5 線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的概率分布一般情況: 很難從理論上找到一般的求解輸出隨機(jī)過(guò)程 的概率分布。多采用實(shí)驗(yàn)估計(jì)方法。特殊情況：1）輸入為高斯過(guò)程，輸出也是高斯過(guò)程；2）輸入非高斯過(guò)程，但輸入過(guò)程的帶寬遠(yuǎn)大于線性系統(tǒng)的帶寬時(shí)，則線性系統(tǒng)輸出隨機(jī)過(guò)程的概率分布y也服從高斯過(guò)程。 55即：任一時(shí)刻 t 的Y(t)是無(wú)限多個(gè)高斯隨機(jī)變量 X(t-tk) 的線性組合。由于多維高斯隨機(jī)變量的線性組合仍為多維高斯隨機(jī)變量，故高斯過(guò)程X(t)通過(guò)線性系統(tǒng)的輸出Y(t)也是高斯過(guò)程。注意：雖然輸出過(guò)程是高斯過(guò)程，但數(shù)字特征已改變。高斯隨機(jī)變量確定量1高斯過(guò)程X(t)通過(guò)線性系統(tǒng)的輸出過(guò)程Y(t)的分布若X(t)是一高斯過(guò)程，則Y(t)也是一高斯過(guò)程。 562寬帶非高斯過(guò)程通過(guò)窄帶線性系統(tǒng)輸出過(guò)程的分布 若輸入非高斯過(guò)程X(t)的功率譜帶寬D fX 與線性系統(tǒng)帶寬 D f 滿足： 則系統(tǒng)輸出Y(t) 的概率分布趨于高斯分布。由中心極限定理: 大量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的概率分布趨于高斯分布。57 X(t-tk) 的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性 當(dāng) D fX