點(diǎn)圓直線圓圓圓位置關(guān)系

1、個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)16.3點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的地址關(guān)系【考綱領(lǐng)求】能依照給定直線與圓的方程，判斷直線與圓的地址關(guān)系；能由給定的兩個(gè)圓的方程，判斷兩圓的地址關(guān)系；會(huì)求兩圓訂交弦的方程、弦長(zhǎng)、弧長(zhǎng)，會(huì)求圓的切線方程.【命題規(guī)律】直線與圓的地址關(guān)系是本節(jié)觀察的重點(diǎn)內(nèi)容，題型為填空題，平時(shí)觀察圓的切線方程、直線與圓訂交的弦長(zhǎng)、切線長(zhǎng)、圓心角、弧長(zhǎng)及面積的計(jì)算。圓與圓的地址關(guān)系平時(shí)觀察公共弦長(zhǎng)、公共弦的方程、對(duì)稱性。解析幾何中設(shè)而不求的思想方法，圓與其他知識(shí)的交匯，一般會(huì)在解答題中出現(xiàn)，難度適中。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途【知識(shí)回顧】一、點(diǎn)與圓的地址關(guān)系2(y22C(a,b)，那么點(diǎn)P(x0,

2、y0)與圓的地址關(guān)系有：1.已知圓(xa)b)r，圓心為（1）點(diǎn)P在圓上(x0a)2(y0b)2r2|PC|r（2）點(diǎn)P在圓內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2|PC|r（3）點(diǎn)P在圓外(x0a)2(y0b)2r2|PC|r2.圓外一點(diǎn)P到圓上任一點(diǎn)的最大距離為|PC|r，最小距離為|PC|r.二、直線與圓的地址關(guān)系1.地址關(guān)系：相離、相切、訂交，分別對(duì)應(yīng)直線與圓有0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)公共點(diǎn)。判斷方法：（1）代數(shù)法：直線的方程消去y（或x）獲取關(guān)于x(或y)的一元二次方程圓的方程b24ac0訂交直線與圓有2個(gè)公共點(diǎn)0相切直線與圓有1個(gè)公共點(diǎn)這種0相離直線與圓有0個(gè)公共點(diǎn)由鑒識(shí)式來(lái)判斷地址關(guān)系的方法，即代

3、數(shù)法，是解析幾何中研究?jī)蓷l曲線交點(diǎn)問題的通法，也是一種基本方法，擁有一般性，但運(yùn)算量比較大，一般不用此法。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途dr（2）幾何法：利用圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小來(lái)判斷，即drdr直線與圓訂交直線與圓相切直線與圓相離三、圓與圓的地址關(guān)系地址關(guān)系：外離、外切、訂交、內(nèi)切、內(nèi)含2.判斷方法：判斷兩圓的地址關(guān)系，利用圓心距和兩圓半徑的大小關(guān)系來(lái)判斷設(shè)O1:(xa1)2(yb1)2r12,O2:(xa2)2(yb2)2r22，則圓心距為d12122122，|OO|(aa)(bb)1/7個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)dr1r2外離4條公切線dr1r2外切3條公切線則|r1r2|dr1

4、r2訂交2條公切線d|r1r2|內(nèi)切1條公切線d|r1r2|內(nèi)含無(wú)公切線四、直線與圓相切“切線”問題求過圓上的一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程先求切點(diǎn)與圓心連線的斜率k，由垂直關(guān)系知切線斜率為1，由點(diǎn)斜式方程可求切線方程，若切線斜率不k存在，則由圖形寫出切線方程xx0.個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途求過圓外一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程（1）幾何方法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，切線方程為l:yy0k(xx0)，即kxyy0kx00.由圓心到直線的距離等于半徑，即可得出切線方程.（2）代數(shù)方法：設(shè)切線方程為l:yy0k(xx0)，即kxyy0kx00，代入圓方程，獲取一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由0，求得

5、k，切線方程即可求出.（3）從圓外一點(diǎn)引圓的切線必然有兩條，若是求出的切線斜率只有一個(gè)，則另一條切線必然垂直于x軸.五、直線與圓訂交“弦長(zhǎng)”問題、“圓系”問題直線被圓截得的弦長(zhǎng)（1）幾何方法：由半徑r，弦心距22長(zhǎng)為|AB|2rd（2）代數(shù)方法：利用弦長(zhǎng)公式2設(shè)直線ykxm與圓(xa)B，及半弦長(zhǎng)組成的直角三角形，利用勾股定理得弦AO22(yb)r訂交于A(xA,yB),B(xA,yB)兩點(diǎn)，將直線方程與圓的方程聯(lián)立后，整理出關(guān)于x的方程，求出xAxB,xAxB，則|AB|1k2|xAxB|1k2(xAxB)24xAxB,或1|AB|12|yAyB|k2.弦中點(diǎn)求法：（1）由直線與圓方程聯(lián)立消

6、元獲取關(guān)于x或y的一元二次方程，由唯達(dá)定理得x1bx1x2x2x中a2（2）由弦所在方程和過圓心且垂直于弦的直線方程組成的方程組求得交點(diǎn)坐標(biāo)（即中點(diǎn)）。3.直線與圓訂交時(shí)，過兩圓交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEyF(AxByC)0.六、直線與圓訂交、相切、相離時(shí)的結(jié)論及方法2/7個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)1.過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程：x0 xy0yr2證明：方法一：kopy0，klx0yy0 x0(xx0)，即y0yy02x0 xx02，即x0 xy0yx02y02x0y0y0又P(x0,y0)在圓上，x02y02r2x0 xy0yr2方法二：設(shè)l:yy0k(xx0)，即k

7、xyy0kx00圓心到l的距離d|y0kx0|r，(y0kx0)2r2(1k2)即y02k22x0y0 x020k21即(y0kx0)20，kx0，yy0 x0(xx0)即x0 xy0yr2y0y02.過圓(xa)2(yb)2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為(x0a)(xa)(y0b)(yb)r222DxEyF0上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0 xy0yDxx0Eyy0F03.過圓xy22D,E)，y0E2y0E，2x0D證明：圓心為(kop2kl22x0D2x0D2y0E2切線方程為yy02x0D(xx0)即(yy0)(2y0E)(2x0D)(xx0)02y0EP(x0,y0)在

8、圓上22Dx0Ey0F0 x0y02x0 x2y0yD(xx0)E(yy0)2F0即x0 xy0yDxx0Eyy0F0224.從圓外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓x2y2DxEyF0的兩條切線，切線長(zhǎng)dx02y02Dx0Ey0F.證明：圓心為(D,E)，PMPN225.從圓外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓(xa)2(yb)2r2的兩條切線，切線長(zhǎng)d(x0a)2(y0b)2r26.從圓外一點(diǎn)P(x0,y0)引圓x2y2r2的兩條切線，則切點(diǎn)弦所在直線方程為x0 xy0yr2證明：方法一：設(shè)M,N坐標(biāo)分別為M(x1,y1),N(x2,y2)M,N在已知圓x2y2r2上，過M,N的切線方程分別為xx1yy1r2

9、，xx2yy2r2又P(x0,y0)為兩切線公共點(diǎn)，x0 x1y0y1r2，x0 x2y0y2r2上式表示點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)都滿足二元一次方程x0 xy0y2r.直線MN方程為x0 xy0y2r方法二：設(shè)以O(shè)P為直徑的圓的方程，其圓心為(x0,y0)，半徑r2(op)21op2x0y012224(x)2(y)2222y2x0 xy0y022(x0y0)即x22242又xyr，x0 xy0yr7.若點(diǎn)P(x0,y0)2y22x0 xy0y2訂交.是圓xr外一點(diǎn)，則直線r與該圓的地址關(guān)系是若點(diǎn)P(x0,y0)2y22x0 xy0y2相切.是圓xr上一點(diǎn)，則直線r與該圓的地址關(guān)系是

10、若點(diǎn)P(x0,y0)是圓x2y2r2內(nèi)一點(diǎn)，則直線x0 xy0yr2與該圓的地址關(guān)系是相離.3/7個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)證明：P(x0,y0)在圓外，|OP|2x02y02r2，點(diǎn)O(0,0)到l:x0 xy0y2的距離dr2r2又rx02y02rr直線x0 xy0y2與圓x22r2ry訂交。8.過圓C內(nèi)一點(diǎn)A的直線l與圓交于一條弦MN，其中：當(dāng)l過圓心時(shí)弦長(zhǎng)最大，即直徑；當(dāng)l但是圓心但垂直于AC時(shí)，弦長(zhǎng)最小，且MN是以A為中點(diǎn)，且C到l的距離最大。個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途9.當(dāng)直線與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離為dr，最小距離為dr（其中d為圓心到直線的距離）七、兩圓訂交“訂交弦直線

11、方程”“過兩圓交點(diǎn)的圓系方程”1.設(shè)圓C1:x2y2D1xE1yF10和圓C2:x2y2D2xE2yF20訂交，過兩圓交點(diǎn)的交點(diǎn)弦方22D1xE1yF1)22F2)=(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0程為：(xy(xyD2xE2yC1:x2y2D1xE1yF10D2)x(E1E2)y(F1F2)0注：y2D2xE2yF20由-得(D1C2:x2當(dāng)兩圓是同心圓時(shí)，此直線不存在當(dāng)兩圓訂交時(shí)，方程為公共弦（即訂交弦）所在直線；（兩圓訂交弦的中垂線為連心線，但是連心線段的中垂線不用然是訂交弦所在直線，除非兩圓是等圓）個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途當(dāng)兩圓外切時(shí)，方程為兩圓內(nèi)公切線所在直線；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)

12、，方程為兩圓公切線所在直線；當(dāng)兩圓相離時(shí)，方程為與兩圓連心線垂直的直線；當(dāng)兩圓半徑相等時(shí)，方程為兩圓的對(duì)稱軸.過兩圓交點(diǎn)的圓系方程：設(shè)圓C1:x2y2D1xE1yF10和圓C2:x2y2D2xE2yF20訂交，過交點(diǎn)的圓系方程為：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1).當(dāng)1時(shí)，方程變?yōu)?D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0，它表示過兩圓交點(diǎn)的直線.【典例解析】例1.已知圓x2y26mx2(m1)y10m22m240(mR)，求證：不論m為何值，圓心在同素來(lái)線上。解:（1）證明：配方得(x3m)2y(m1)225設(shè)圓心為(x,y)，則x3m1消去mx3y30ym則不論m

13、為何值，圓心恒在直線l:x3y30上.例2.若過點(diǎn)A(4,0)的直線l與圓(x2)2y21有公共點(diǎn)，求直線l的斜率k的取值范圍.解：因?yàn)辄c(diǎn)A(4,0)在圓外，所以斜率必存在.設(shè)經(jīng)過該點(diǎn)的直線方程為kxy4k0，4/7個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)所以有|2k04k|1,解得3k3k2133例3.已知兩圓x2y22x6y10和x2y210 x12ym0.求:（1）m取何值時(shí)，兩圓外切？（2）m取何值時(shí)，兩圓內(nèi)切？解:將兩圓分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程圓C1:(2(y3)211,圓C2:(x2(y6)2m.x1)5)61兩圓圓心距C1C2(51)2(63)25，r111,r261m(1)當(dāng)C1C2r1r2,即116

14、1m5,即m251011時(shí),兩圓相切.(2)當(dāng)C1C2|r1r2|,即1161m5,即m251011或m251011時(shí),由(1)知m251011兩圓外切,故m251011時(shí),兩圓內(nèi)切.例4.已知點(diǎn)P(0,5)2212y240.及圓C:xy4x若直線l過P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為43,求l的方程;求過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解析:（1）可以用代數(shù)法將直線l的斜率k設(shè)出（優(yōu)先考慮斜率不存在的情況），寫出直線方程，并將其代入圓C的方程，爾后運(yùn)用弦長(zhǎng)公式d1k2|x1x2|來(lái)解決；也可以用幾何法設(shè)出直線l方程：y5kx,第一注意斜率不存在情況，運(yùn)用圓心到直線的距離，圓半徑和一半弦長(zhǎng)組成直角三角形

15、來(lái)解決.個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途（2）中點(diǎn)弦問題，可以考慮“代點(diǎn)作差法”，也可以利用“垂直于弦的直徑均分弦”這一幾何特色來(lái)求解.解:(1)方法一：以下列圖，AB43,D是AB中點(diǎn)，CDAB,AD23,AC4,RtACD中，可得CD=2.設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為y5kx,即kxy50,由點(diǎn)C到直線AB的距離公式:|2k65|2k3224k(1)當(dāng)k3時(shí),直線l的方程為3x4y200.4又直線l的斜率不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)方程為x0.所求直線的方程為x0或3x4y200.方法二：設(shè)所求直線的斜率為k,則直線l的方程為y5kx,即ykx5,ykx52)x2(42k)x110聯(lián)立直線與圓

16、的方程224x12y24,消去y，得(1kxy05/7個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)x1x22k4x1,x2,由韋達(dá)定理,得1k2設(shè)方程的兩根為11x1x221k由弦長(zhǎng)公式,得1k2|x1x2|(1k2)(x1x2)24x1x243將式代入，解得k3，此時(shí)直線方程為3x4y200.4又k不存在時(shí)也滿足題意，此時(shí)直線方程為x0.所求直線方程為x0或3x4y200.(2)設(shè)過P點(diǎn)的圓C的弦的中點(diǎn)為D(x,y)，則CDPD即CDPD0,即(x2,y6)(x,y5)0,化簡(jiǎn)得x2y22x11y300所求軌跡方程為x2y22x11y300.例5.(2009陜西改編)過原點(diǎn)且傾斜角為60的直線被圓220所截得的

17、弦長(zhǎng)為.xy4y解:x2y24y0即x2(y2)24,則圓心A(0,2),OA2,所求弦長(zhǎng)為22cos3023.例6.求過直線2x+y+4=0與圓x2y22x4y10的交點(diǎn)，且過原點(diǎn)的圓的方程.解析:可用待定系數(shù)法，由兩交點(diǎn)坐標(biāo)和過原點(diǎn)的條件，求出待定系數(shù)，也可用圓系方程求經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓的方程.個(gè)人收集整理勿做商業(yè)用途x2y23或x11解:方法一:由2x4y10 x5,所以交點(diǎn)坐標(biāo)為A(3,2),B(11,2)2xy40y2y2555D32F0設(shè)所求圓的方程為2y2DxEyF0,由題意得943D2EF0E17x411211D2EF0F05555方法二：設(shè)所求圓的方程為x2y22x4y1(2xy4)0即x2y22(1)x(4)y(14)0此圓過原點(diǎn)，14014所求圓的方程為x2y23x17y0242y22x4y10的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程.例7.求過直線2x+y+4=0和圓x解:求圓的方程為x2y22x4y1(2xy4)0即x2y22(1)x(4)y(14)06/7個(gè)人收集整理僅供參照學(xué)習(xí)方法一:當(dāng)半徑最小時(shí),圓面積也最小,對(duì)左邊配,得x(12(y4258244)2)4()555所以當(dāng)8時(shí),此圓面積最小,故滿足條件的圓的方程為(x3)2(y6)245555方法二：當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時(shí)，圓面積最小.易求得圓