《二項(xiàng)式定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

1、二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能(1)能利用組合原理證明二項(xiàng)式定理；(2)理解并掌握二項(xiàng)式定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。2、過(guò)程與方法：通過(guò)學(xué)生參與和探究二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分 析、概括的能力，以及化歸的意識(shí)與知識(shí)延伸的能力，體會(huì)從特殊到一 般的思維方式，并形成從特殊到一般的聯(lián)系，然后證明，再應(yīng)用的思想 意識(shí)。3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生探究意識(shí)，合作精神，體驗(yàn)二項(xiàng)式定理的創(chuàng)立到完善的 歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的簡(jiǎn)潔和嚴(yán)謹(jǐn)，感受中國(guó)輝煌的數(shù)學(xué)史。二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：探究并歸納用組合的知識(shí)分析(+勿3、(。十份4的展開(kāi)式的形 成過(guò)程，并依次方法得到二項(xiàng)式定理難點(diǎn)：展開(kāi)式中項(xiàng)的類(lèi)

2、型的總結(jié)和項(xiàng)的系數(shù)確實(shí)定三、教學(xué)方法和教具：為了突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，采取了轉(zhuǎn)化的思想，將二項(xiàng)式展開(kāi)過(guò)程轉(zhuǎn) 化到熟悉的從袋中取球問(wèn)題；啟發(fā)引導(dǎo)解決問(wèn)題；并采取分組合作探究 的形式分析解決問(wèn)題，采用多媒體教學(xué)手段，形象演示取球過(guò)程。四、教學(xué)過(guò)程：（一）創(chuàng)設(shè)情景引入課題1、在課前任務(wù)單的基礎(chǔ)上繼續(xù)設(shè)問(wèn)，（+。）5、（。+與6、m+份.能用多項(xiàng) 式乘法法那么展開(kāi)嗎？回答是肯定的，只不過(guò)隨著次數(shù)的增大，運(yùn)算量也 在增大，激發(fā)學(xué)生思考，有沒(méi)有一個(gè)直接展開(kāi)，便于應(yīng)用的方法？從而 引出二項(xiàng)式定理有這樣的功能。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)多項(xiàng)式相乘的法那么有自身的局限性，僅僅掌握 這一法那么是不夠的，激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)

3、新的更簡(jiǎn)捷的方法的欲望。數(shù)學(xué) 的來(lái)源，一是來(lái)自數(shù)學(xué)外部現(xiàn)實(shí)社會(huì)的開(kāi)展需要；二是來(lái)自數(shù)學(xué)內(nèi)部的 矛盾，即數(shù)學(xué)本身的需要。這個(gè)問(wèn)題將“多項(xiàng)式展開(kāi)有哪些項(xiàng)”包含其 中，為后面的研究做好鋪墊。2、微視頻展示二項(xiàng)式定理的開(kāi)展史【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生的學(xué)習(xí)遵循“歷史發(fā)生原理”，把二項(xiàng)式定理發(fā)現(xiàn)的 歷史融入新課導(dǎo)入，既能引起學(xué)生的興趣，符合新課程理念，還能提升 課堂品味。創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)情景能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為學(xué)生提供良 好的學(xué)習(xí)氣氛。（二）體驗(yàn)感知探究歸納（1）觀察下面展開(kāi)式（a + bp = （a + b）（a + b）（a + Z?）=/+3/ + 3砧2+。3把(。+匕)看作放有標(biāo)著相應(yīng)字母小球的小盒，

4、從每個(gè)括號(hào)內(nèi)取一個(gè)字母 相當(dāng)于從每個(gè)小盒內(nèi)取一個(gè)小球。思考：每個(gè)小盒內(nèi)取一個(gè)小球，并為 一組，有哪些類(lèi)型？從組合的角度分析，取小球的類(lèi)型就是展開(kāi)式中項(xiàng) 的類(lèi)型，每一類(lèi)的取法種數(shù)就是相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)。得到+ b)3 = Cy + C1a2b + C；ab2 + C3= 6/3 + 3a2b + 3abi + b同樣的思路，用組合的知識(shí)，先分析項(xiàng)的規(guī)律，再分析項(xiàng)的系數(shù)，得到 (a + b)4 = (a + b)(a + h)(a + b)(a + b)=/ + 4a% + 6/ + 4ab3 + b4這樣用組合的知識(shí)，我們得到了二項(xiàng)式的直接展開(kāi)方法，把這種方法推 廣到一般?！驹O(shè)計(jì)意圖】有特殊到一般的歸

5、納總結(jié)，離不開(kāi)大量特殊實(shí)例的觀察。 只有將大量具體實(shí)例進(jìn)行整體和局部多方面的分析，才能得到接近一般 性規(guī)律的結(jié)論。也只有對(duì)得出各種結(jié)論進(jìn)行整合，才能讓學(xué)生順暢的抓 住展開(kāi)過(guò)程的兩個(gè)要點(diǎn)，即項(xiàng)的結(jié)構(gòu)和項(xiàng)的系數(shù)，才能讓學(xué)生有目的的 進(jìn)一步進(jìn)行探討和分析。(三)知識(shí)建構(gòu)形成定理利用組合的知識(shí)得到了(+與3,(十方)4快速展開(kāi)的方法，用同樣的理論 分析(a + b)n的展開(kāi)：個(gè)-人-(4 + /?) =(Q+ /?)( + ) 1、項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)問(wèn)題：展開(kāi)式中有哪些項(xiàng)？它們是如何得到的？ 根據(jù)特殊情況的分析，學(xué)生表達(dá)展開(kāi)式中項(xiàng)的規(guī)律： 優(yōu),優(yōu)一力,，一2,優(yōu)-7/,.,，并說(shuō)明從每個(gè)因式中取一個(gè)字母相乘

6、得到 展開(kāi)式中的項(xiàng)?！驹O(shè)計(jì)意圖】多項(xiàng)式乘法法那么是展開(kāi)式的運(yùn)算基礎(chǔ)，用組合的知識(shí)解釋 項(xiàng)的構(gòu)成也基于多項(xiàng)式相乘的法那么，讓學(xué)生的思維建立舊知識(shí)與新知識(shí) 的聯(lián)系，為系數(shù)確實(shí)定做好鋪墊。2、項(xiàng)的系數(shù)特點(diǎn)問(wèn)題：展開(kāi)式各項(xiàng)的系數(shù)是多少？各項(xiàng)的形成就是一個(gè)組合問(wèn)題，而各項(xiàng)的系數(shù)，就是展開(kāi)過(guò)程中該項(xiàng)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)。學(xué)生根據(jù)組合的知識(shí)回答系數(shù)規(guī)律：【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的難點(diǎn)就是利用多項(xiàng)式相乘的法那么和組合知識(shí)對(duì)展 開(kāi)式中各項(xiàng)進(jìn)行分析，該問(wèn)題的提出，符合學(xué)生的思維開(kāi)展規(guī)律，能準(zhǔn) 確地檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)問(wèn)題分析能力和解決方法的掌握，突出表達(dá)本節(jié)課的思 維方法。3、二項(xiàng)式定理問(wèn)題：請(qǐng)寫(xiě)出（ +勿的展開(kāi)式（a + by = C”

7、 + C 優(yōu)一% + C；an-2b2 + . + C；優(yōu)一萬(wàn) + +G ND說(shuō)明：（1）此等式就是二項(xiàng)式定理；（2）右邊的展開(kāi)式叫二項(xiàng)展開(kāi)式；（3）高中階段只研究乂的情況；（4）等式左邊的q與匕用加號(hào)連接?！驹O(shè)計(jì)意圖】明確二項(xiàng)式定理的內(nèi)容以及二項(xiàng)展開(kāi)式的定義。讓學(xué)生了 解二項(xiàng)式定理的知識(shí)很廣很深，激發(fā)學(xué)生的好奇心，感興趣的同學(xué)可以 課下延伸知識(shí)。二項(xiàng)展開(kāi)式的特征：（1）展開(kāi)式共 項(xiàng)；（2）每一項(xiàng)的次數(shù)都是；字母。的次數(shù)由 到，次數(shù)按 排列；字母b的次數(shù)由到，次數(shù)按 排列。（3）端,以。；,.,.：叫做（4） ；能一方叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的，它也是展開(kāi)式的第（5）定理中的、人可以用任意的數(shù)、字母、代

8、數(shù)式代換?！驹O(shè)計(jì)意圖】訓(xùn)練學(xué)生提煉關(guān)鍵知識(shí)的能力。多方位多角度思考知識(shí)， 訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力。（四）鞏固新知提升能力1、小試牛刀展開(kāi)（ +/5 =【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)模仿性的基礎(chǔ)練習(xí)，照顧不同層次的學(xué)生，讓不同層 次的學(xué)生都有體會(huì)成功的機(jī)會(huì)，使學(xué)生始終保持高昂的學(xué)習(xí)熱情。應(yīng)用 所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，檢測(cè)學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)2、典型例題和鞏固練習(xí)例1:二項(xiàng)式（1-2x）5（1）求它的通項(xiàng)（2）求它的第四項(xiàng)（3）求它的第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)（4）求它的第四項(xiàng)的系數(shù)例2:求（x-）9展開(kāi)式中含;的項(xiàng),并說(shuō)明它是展開(kāi)式的第幾項(xiàng)？ xx思考：（X-工）9展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng)嗎？如果有請(qǐng)求出，如果沒(méi)有請(qǐng)說(shuō)

9、明 X理由。鞏固練習(xí)：1、假設(shè)（p + /的展開(kāi)式有12項(xiàng)，那么 =；2、（x + ,）4的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；系數(shù)是； X3、（x-）4的展開(kāi)式中第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；系數(shù)是；4、求（2 + ?。?的展開(kāi)式中含L項(xiàng)。 XX【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題讓學(xué)生熟悉二項(xiàng)展開(kāi)式及其通項(xiàng)，區(qū)分二項(xiàng)式系 數(shù)和系數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。 設(shè)計(jì)題目考察學(xué)生掌握知識(shí)的情況，各個(gè)題目設(shè)計(jì)的比擬有梯度，采取 小臺(tái)階大梯度的訓(xùn)練模式，符合學(xué)生的認(rèn)知水平。（五）回顧反思?xì)w納總結(jié)知識(shí)方s+ C：b：面:二項(xiàng)式與系數(shù)的區(qū)別思想方法：轉(zhuǎn)化的思想，代換的思想，從特殊到一般的思想，類(lèi)比思想?！驹O(shè)計(jì)意圖】小結(jié)通過(guò)思維導(dǎo)圖的形式展現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)，便于學(xué)生歸納總結(jié)所學(xué)知識(shí)，幫助學(xué)生形成良好的記憶方法，為學(xué)生理解應(yīng)用知識(shí)發(fā)揮作 用，還可以鍛煉學(xué)生的概括能力。加深學(xué)生對(duì)本節(jié)課的認(rèn)識(shí)，掌握基本 的思想方法。(六)課下作業(yè)思維延伸開(kāi)展作業(yè)：課本31頁(yè)習(xí)題1-3A6基礎(chǔ)作業(yè)：課本31頁(yè)習(xí)題1-3A4拓展作業(yè)：思考三項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)在什么情況下相同？什么情況下不同？(2)網(wǎng)上查閱二項(xiàng)式定理主要用于哪些