結構有限元法精品課件

1、結構有限元法課件第1頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第2頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 3.2 位移函數的多項式形式 一維單元中，位移函數的多項式形式表示為 二維單元中 三維單元中第3頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第4頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 插值多項式階次的選擇原則 （1）插值多項式應當盡可能滿足下節(jié)所述的收斂性要求 （2）多項式描述的位移形式與局部坐標系無關 （3）多項式的數目應等于單元結點自由度的數目 第(1)條要求在后面討論。第(2)條要求即在不同局部坐標系中，位移函數(

2、多項式)表達式不變，這種性質稱為幾何等向性，為獲得幾何等向性，多項式中應含有不違反下圖所示對稱性的那些項。第5頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第6頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第7頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 收斂性要求 （1）位移函數中必須含有反映剛體運動的項數。 多項式形式的常數項即體現這一剛體位移。 （2）位移函數應反映單元的常應變，即位移函數的導數中必須有常數項存在。 當單元尺寸無限縮小時，單元應變將趨近于常量，因此單元位移函數中應包括常應變項。 平面應力和空間應力中，應變是位移的一階導數，常應變即要求

3、位移函數含有一次項。 （3）位移函數必須保證在相鄰單元的接觸面上應變是有限的 在有限單元法中，按位移求解時，只計算了各單元內部的應變能，沒有計算相鄰兩單元接觸面上的功，由于接觸面的厚度是零，當接觸面上的應變是有限值時，此功等于零，反之，當接觸面上的應變不是有限值時，此功就可能不等于零，忽略它會引起一定的誤差。第8頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二3.3 單元剛度矩陣建立 （1）虛位移原理 （2）單元位移 （3）單元應力與應變 （4）節(jié)點力與單元剛度矩陣 （5）節(jié)點載荷第9頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二3.3.1 虛位移原理 外力在虛位移上所做

4、的虛功是 在物體的單位體積內，應力在虛應變上的虛應變能是 整個物體的虛應變能是第10頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二虛位移原理: 如果在虛位移發(fā)生之前，物體處于平衡狀態(tài)，那末在虛位移發(fā)生時，外力所做虛功等于物體的虛應變能，即3.3.2 單元位移 單元內任一點的位移可表示如下： 第11頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 3.3.3 單元應變與應力 第12頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二3.3.4 結點力與單元剛度矩陣 第13頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二3.3.5 結點載荷 1分布體積力 第1

5、4頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 2分布面力 第15頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第16頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二3.4 組裝總剛第17頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第18頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第19頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第20頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二3.5 解方程組求節(jié)點位移 （1）約束位移邊界條件處理 （2）斜支座處理 （3）高斯消去法解方程組 （4）三角分解法第21頁，

6、共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二位移邊界條件 得到結構的剛度方程后，結構剛度方程的求解相當于總剛K求逆的過程。 但從數學上看，未經處理的總剛是對稱、半正定的奇異矩陣，它的行列式值為零，不能立即求逆。 從物理意義看，結構處于自由狀態(tài)，在結點載荷的作用下，結構可以產生任意的剛體位移。 所以，在已知結點載荷的條件下，仍不能通過平衡方程唯一地解出結點位移。 為了使問題可解，必須對結構加以足夠的位移約束，也就是應用位移邊界條件。第22頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 首先要通過施加適當的約束，消除結構的剛體位移，再根據問題要求設定其它已知位移。 約束的種類

7、包括使某些自由度上位移為零，或給定其位移值，還有給定支承剛度等，本書涉及前兩種。處理約束的方法，常用的有刪行刪列法、分塊法、置大數法和置“1”法等，下面分別予以介紹。第23頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二刪行刪列法 若結構的某些結點位移值為零時，則可將總體剛度矩陣中相應的行、列刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解。 這種方法的優(yōu)點是道理簡單。如果刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數可大大縮小。 通常用人工計算時常采用該方法。 若用計算機算題，在程序編制上必帶來麻煩，因為剛度矩陣壓縮以后，剛度矩陣中各元素的下標必全改變。因而一般計算機算題不太采用。第24頁，共37頁，2

8、022年，5月20日，19點15分，星期二不是奇異的，因而可以解方程 分塊法 由于全部給定的結點位移通常都不能在位移向量的開始或終了，故分塊法的編號方法是很麻煩的。因此，可以采用下述等價方法。 第25頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二置“1”法 實際計算中，上述方程可以在不重新排列的情況下用下述分塊的方法來進行。 第26頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二 置大數法 在總體剛度矩陣中，把指定位移所對應的行和列的對角元素 乘上一個很大的數，此行其它元素保持不變，同時把該行對應的載荷項也相應地用 來代替第27頁，共37頁，2022年，5月20日，19點

9、15分，星期二 這樣就用近似方程組代替原方程組，得到近似滿足邊界條件的解。 當指定位移為零時，只要將對角元素乘上一個大數，而相應的載荷項經證明可以不置零。 刪行刪列法適用于指定零位移點，而置大數法適用于給定位移(包括零位移)。 第28頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二斜支座的處理 對于邊界結點i，須限定 方向位移 為此，將邊界結點i的位移及載荷都變換到局部坐標，第29頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第30頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二斜支座處理第31頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第32頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二高斯消去法解方程組第33頁，共37頁，2022年，5月20日，19點15分，星期二第34頁，共37頁，2022年，5月20日，19點