結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法

1、結(jié)構(gòu)力學(xué)矩陣位移法第1頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二主要內(nèi)容1 基本概念2 局部坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃?3 整體坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃? 直接剛度法 5 引入邊界條件的方法 6 等效結(jié)點(diǎn)荷載 7 直接剛度法的另一種形式先處理法 8 用先處理法計(jì)算矩形剛架 第2頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二10.5 引入邊界條件的方法 上節(jié)中討論了如何形成原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣K0和建立原始結(jié)構(gòu)剛度方程K0 0= F 。要使該方程有確定的解，必須引入邊界條件。下面討論如何引入邊界條件。 這是一種比較適用于手算的邊界條件引入方法。其過(guò)程是通過(guò)互換行列的方法重新排列原始

2、剛度方程，使得待求結(jié)點(diǎn)位移分量位于方程中位移向量的前面，結(jié)點(diǎn)位移分量為已知的位于方程中位移向量的后面。 1、靜力凝聚法 如在例1中1、4號(hào)結(jié)點(diǎn)的位移分量已知為0，2、3號(hào)結(jié)點(diǎn)的位移分量為待求量。調(diào)整前的原始結(jié)構(gòu)剛度方程為 M2X2X3Y3Y2M3123圖10-6 例1題圖xy1234 第3頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二通過(guò)互換行列后調(diào)整后的原始結(jié)構(gòu)剛度方程為 為了清楚起見(jiàn)。令： 代表自由結(jié)點(diǎn)上的荷載列向量，為已知值； 第4頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二代表位移分量為已知的約束結(jié)點(diǎn)力列向量，一般為待求量； 代表自由結(jié)點(diǎn)上的位移列向量，一般為

3、待求量； 代表約束結(jié)點(diǎn)上的位移列向量，為已知值。如例1中M2X2X3Y3Y2M3123圖10-6 例1題圖xy1234 則把調(diào)整后的原始剛度矩陣分塊后可得 上式可得 對(duì)于例1 第5頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二 我們把引入邊界條件后縮減的剛度矩陣K稱(chēng)為結(jié)構(gòu)剛度矩陣。為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)常略去下標(biāo)簡(jiǎn)記為K 。 仔細(xì)分析容易發(fā)現(xiàn)，在原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣K0中，把結(jié)點(diǎn)位移分量為已知的那些行列劃掉，緊縮原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣，即可得結(jié)構(gòu)剛度矩陣 K 。 緊縮后 第6頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二因?yàn)樗栽O(shè)F為作用于支座上的荷載向量P和約束反力向量R之和，即 則 若支

4、座上無(wú)荷載作用，則 對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，采用矩陣位移法分析時(shí)，需借助計(jì)算機(jī)工具進(jìn)行分析計(jì)算。顯然，靜力凝聚法在計(jì)算機(jī)上不易實(shí)現(xiàn)，即使能夠?qū)崿F(xiàn)也很容易引起編碼混亂。使得計(jì)算結(jié)果難于分析。計(jì)算機(jī)程序計(jì)算時(shí)常采用下面兩種方法。 第7頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二 2、乘大數(shù)法 為了把位移分量已知的分量從原始結(jié)構(gòu)剛度方程中去掉，可以采用乘大數(shù)法。設(shè)第r個(gè)位移分量已知，且ur=r ，原始結(jié)構(gòu)剛度方程為（改寫(xiě)成分量的形式） 用一個(gè)充分大的數(shù)N 乘以上式中主對(duì)角線(xiàn)上的第r個(gè)元素Krr，并用N .Krr.代替荷載分量Fr , 則上式變?yōu)?第8頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)

5、58分，星期二 這就相當(dāng)于把原來(lái)的第r個(gè)方程去掉。同時(shí)也不改變?cè)紕偠染仃嚨囊?guī)模。對(duì)所有的邊界條件重復(fù)上述工作。該方法與靜力凝聚法相比，工作量大為減少。但應(yīng)注意，大數(shù)N要根據(jù)機(jī)器的容量，適當(dāng)選取，過(guò)大計(jì)算過(guò)程容易造成數(shù)據(jù)溢出，過(guò)小不能準(zhǔn)確反映給定位移邊界條件。 第9頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二 3、劃零置1法 在所需去掉的第r個(gè)方程中，將Krr換成1，而將相應(yīng)的行列的其它元素全部置0。然后用已知位移分量r代替荷載分量Fr。其它荷載分量需做如下調(diào)整:調(diào)整后原始結(jié)構(gòu)剛度方程變?yōu)?這種方法引入邊界條件后也不改變?cè)紕偠染仃嚨囊?guī)模，其工作量比乘大數(shù)法稍大，但不會(huì)產(chǎn)生人為邊

6、界條件誤差。 第10頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二 4、先處理法 該方法是通過(guò)引入定位向量數(shù)組的方法，直接形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，不產(chǎn)生原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣。后面將專(zhuān)門(mén)討論。 一些大型的通用結(jié)構(gòu)分析程序一般采用乘大數(shù)法或劃零置1法種引入邊界條件的方法。 直接剛度法計(jì)算過(guò)程總結(jié)如下結(jié)構(gòu)離散化。將結(jié)點(diǎn)和單元編碼；建立結(jié)構(gòu)（整體）坐標(biāo)系下的原始結(jié)點(diǎn)荷載列向量F0及與之對(duì)應(yīng)的原始結(jié)點(diǎn)位移列向量0 。單元分析。計(jì)算結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?，并分塊 組裝原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣。將單元?jiǎng)偠染仃囍兴膫€(gè)子塊局部編碼i、 j換成結(jié)點(diǎn)編碼（1，2n），按換碼后的下標(biāo)“對(duì)號(hào)入座”累加到原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣相

7、應(yīng)的位置中。 第11頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二引入邊界條件。根據(jù)給定問(wèn)題的邊界條件，修改原始結(jié)構(gòu)剛度矩陣（采用前述的方法之一），求出結(jié)點(diǎn)位移。應(yīng)用整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠确匠糖蟪鰲U端力，再利用坐標(biāo)變換，求出局部坐標(biāo)系下的單元桿端力。作內(nèi)力圖，尋求危險(xiǎn)截面或可能的危險(xiǎn)截面。 計(jì)算支座反力。計(jì)算結(jié)果校核。 第12頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二例3計(jì)算圖示桁架各桿的內(nèi)力，設(shè)各桿的EA=常數(shù)。 ll10kN10kN圖10-9 例3題圖解：(1)結(jié)構(gòu)離散化，6個(gè)單元，4個(gè)結(jié)點(diǎn)，整體坐標(biāo)系如圖示。 1234圖（a）xy(2)建立結(jié)構(gòu)的位移和結(jié)點(diǎn)力列

8、向量 其中， 第13頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二(3)單元分析 單元，i=1，j=2，=/2 單元，i=2，j=3，=0 單元，i=4，j=3，=/2 1234圖（a）xy第14頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy單元，i=1，j=4，=0 單元，i=4，j=2，=3/4,單元，i=1，j=3，=/4 ,第15頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy注：后面的計(jì)算中取 (4)組裝結(jié)構(gòu)原始剛度矩陣 賦0加單元加單元加單元加單元第16頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期

9、二1234圖（a）xy加單元加單元代入數(shù)據(jù)展開(kāi)得 第17頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二(5)引入邊界條件 采用靜力凝聚法，因結(jié)點(diǎn)1、4的位移為零，則 1234圖（a）xy第18頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy(6)解方程組求結(jié)點(diǎn)位移及約束反力 結(jié)構(gòu)剛度方程為K =F ，代入數(shù)據(jù)得 第19頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二解之得 求約束反力 因?yàn)镕 =K ，即 (7)求各桿的桿端力 第20頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy則 單元，i=1，j=2，=/2

10、第21頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy單元，i=2，j=3，=0 則 第22頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy單元，i=4，j=3，=/2 則 第23頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy單元，i=1，j=4，=0 則 第24頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二單元，i=4，j=2，=3/4,1234圖（a）xy則 第25頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二1234圖（a）xy單元，i=1，j=3，=/4 ,則 第26頁(yè)，共28頁(yè)，2022年，5月20日，18點(diǎn)58分，星期二各