高三向量知識(shí)點(diǎn)及典型例題

1、09級(jí)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義一一向量知識(shí)清單一、向量的有關(guān)概念.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的 有向線段的長(zhǎng)度).向量的表示方法：字母表示法:如a, b,c,川等.幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如羨，CD等.坐標(biāo)表示法：在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量OA的起點(diǎn)O為在坐標(biāo)原點(diǎn),終點(diǎn)A坐標(biāo)為,T，一T (x, y ),則(x, y )稱為OA的坐標(biāo),記為OA = ( x, y ).注：向量既有代數(shù)特征，又有幾何特征，它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向 J J ,一、一 4重a與b相等，記

2、為a =b.注：向量不能比較大小，因?yàn)榉较驔]有大小.零向量：長(zhǎng)度為零的向量叫零向量.零向量只有一個(gè)，其方向是任意的.單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.單位向量有無數(shù)個(gè)，每一個(gè)方向都有一個(gè)單位向量.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直 線上.規(guī)定：0與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.二、向量的運(yùn)算(一)運(yùn)算定義向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積，這些運(yùn)算的定義都是“自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義.其中向量的加減法運(yùn)算結(jié)果仍是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運(yùn)算,發(fā)現(xiàn)它

3、們有很好地運(yùn)算性質(zhì)，這些運(yùn)算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ) ，向量 確實(shí)是一個(gè)好工具.特別是向量可以用坐標(biāo)表示，且可以用坐標(biāo)來運(yùn)算，向量運(yùn)算問題可以 完全坐標(biāo)化.刻劃每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如運(yùn)算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言力口法與一一號(hào)一一號(hào)一一號(hào)t己減法OA+OB=OC、OA=(Xi, y)OB =(x1,y2)OB -OA=AB T 則 OA+OB=(Xi+X2, y1+y2)OB-OAOB-OA=(X2-X1, y2-yi)OA+AB=OB實(shí)數(shù)與 向量的 乘積*TAB =入 a實(shí)數(shù)與 向量的 乘積*TAB =入 a入C R兩個(gè)向 量的數(shù) 量積（

4、二）運(yùn)算律力口法：a+b =b+a（父換律）;記 a =(x, y)則入a=(入x,入y),、：，、記 a = (*,y1),b = (x2,y2)貝U a b =XiX2+yy2一，、人，(a + b)+c = a +(b+c)(結(jié)合律)實(shí)數(shù)與向量的乘積(a b) = 1 a+；b;Q 實(shí)數(shù)與向量的乘積(a b) = 1 a+；b;(九+N)a =，.a+Na；尢(N a) = (7J1 )a兩個(gè)向量的數(shù)量積：a b=b - a ；（入a） b=w （入b ）=入（1 b ）；T T T T T T T（a +b） c = a c + b c注：根據(jù)向量運(yùn)算律可知，兩個(gè)向量之間的線性運(yùn)算滿足

5、實(shí)數(shù)多項(xiàng)式乘積的運(yùn)算法則，正 確遷移實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以簡(jiǎn)化向量的運(yùn)算，122例如（a b） 2= a - 2 a* b b（三）運(yùn)算性質(zhì)及重要結(jié)論，、十 一 一B- bTT I ，、,平面向量基本定理：如果3,62是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這個(gè)平面內(nèi)任一工 ，/ T T 一 T T、，TT一向重a ,有且只有一對(duì)頭數(shù) 兀，九2,使a = %e+%e2 ,稱Ae十%62為ee的線性組合。一TT，一一、一，一，一其中6,62叫做表小這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線向量 e,e2的方向分解為兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.、一 B W T T，.，1這說明如

6、果a %e *7金 且a =，-ii+0e ,那么% .入2 =，-2 .、當(dāng)基底e1,e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量時(shí)，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實(shí)際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ).向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，定義向量坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)，即若A（x, y）,則O=（x,y）;當(dāng)向量起點(diǎn)不在原點(diǎn)時(shí)，向量 AB坐標(biāo)為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)一 坐標(biāo)，即若 A （xi,yi）, B 為*）,則 AB =（x2-xi, y2-yi）兩個(gè)向量平行的充要條件 符號(hào)語言：a/ b - a = b(b = 0)坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量 3=(x1,% )b=(x2,y2 ),則/ bu (xi

7、, yi)=入(X2, y2), - X二Xo即4 12,或Xiy2-X2yi=0,在這里，實(shí)數(shù)人是唯一存在的，當(dāng)a與b同向時(shí)，入0;當(dāng)a與yi - y2b異向時(shí)，入0。入|=號(hào)，入的大小由日及b的大小確定。因此，當(dāng)a,已確定時(shí)，入的符 |b|號(hào)與大小就確定了 .這就是實(shí)數(shù)乘向量中人的幾何意義。兩個(gè)向量垂直的充要條件加口工 T T TT符方語百：a_b：= a b = 0坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量 a =（xi, yi ）,b =（X2,y2 ）,則a_Lby XiX2 + y1y2=0兩個(gè)向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：2.2 .2a =|a|2即|a|=Va （求線段的長(zhǎng)度）;abu ai=0（垂直的判斷

8、）； 4 4cose =帝|（求角度）。以上結(jié)論可以（從向量角度）有效地分析有關(guān)垂直、長(zhǎng)度、角度等問題，由此可以看到向量知識(shí)的重要價(jià)值.注：兩向量a,b的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)aGcosg（其中a=（i,b）,這個(gè)數(shù)的大小 與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦有關(guān).4*b cos日叫做向量出在a方向上的投影（如圖）. I III數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積a值等于a的模與b在a方向上的投影的積.如果 P（Xi, yi）, P2（X2, y2）,則加2=（X2 Xi,y2 yi）,加2:晟 -xi）2+（y2 -yi）2 ,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式 課前預(yù)習(xí).在abcd中,.平面內(nèi)三點(diǎn) A(0, 3)

9、,B(3,3),C(x,i)，若 AB / BC ,則 X 的值為()(A)-5(B)-i (C)i (D)5(a (a b) c-( c , a) b =0| a|-| b | QB - QC相等的向量。變式1:如圖1,設(shè)Q是正六邊形的中心，分別寫出C E / 圖中與OD、DC共線的向量。瞪藻解: 變式2:如圖2,設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與 的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的線性運(yùn)算EG2.如圖，在平行四邊形 ABCg, 7B=a , AD=b , 你能用a, b表示向量AC , DB嗎？變式1:如圖，在五邊形 ABCD呼，AB=a , BC = b ,CD =c

10、 , EA =d ,試用a , b , c , d表示向量CE和變式2:如圖，在平行四邊形 ABC時(shí)，若，OA則下列各表述是正確的為（）C.CD =-a + b D.BC = - (a + b)A.C.CD =-a + b D.BC = - (a + b)變式3:已知oA=a, OB =b, oC=c, OD =d,且四邊形ABC吻平行四邊形，則()A. a+b+c+d=0B. a-b+c-d=0C. a+b-c-d=0D. a-b-c+d=0、. . . 變式4：在四邊形ABC時(shí)，若AB=-1CD ,則此四邊形是（）A.平行四邊形 B.菱形C.梯形D.矩形變式5 已知a、b是非零向量,則|a

11、|=|b|是（a+b）與（ab）垂直的A,充分但不必要條件B.必要他不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式 6:在四邊形 ABCm,AB=a+2b, BC=-4a-b, CD=-5a-3b,其中 a、b 不共線,則四邊形ABCM （）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形變式7:已知菱形ABCD點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C）,則而等（）2、A.入（AB + AD）, X （0,1）B.入（AB + BC）,入 C （0,）22、C.入（AB AD ）,入 C （0,1）D.入（AB - BC）, X （0,）2變式8:已知D E、F分別是 ABC的邊BC CA AB的中點(diǎn)，

12、且氏 4 , CA = b , AB=C,則下列各式：樂= 1C 1b BE=a +1b CF= 1之+- b TOC o 1-5 h z 22222aD + bE + cF=0其中正確的等式的個(gè)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4EG3如圖，已知任意兩個(gè)非零向量 a、b ,試作OA=a + b, OB=a +*6 OC=a + 3b,你能判斷A B C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ / 變式1:已知 變式1:已知 OA=a + 2b,OB =2a + 4b, OC =3a + 6b（其中a、b是兩個(gè)任意非零向量（其中a、b是兩個(gè)任意非零向量）證明：AB=OBOA=a + 2b,，證明：A B C

13、三點(diǎn)共線.r T r 一AC = OC - OA = 2a + 4b,AC = 2AB 所以，A、B C三點(diǎn)共線.變式 2:已知點(diǎn) A B、C在同一直線上，并且 oA=a + b, OB =(m-2)a + 2b, OC = (n + 1)a+ 3 b （其中a、b是兩個(gè)任意非零向量），試求m n之間的關(guān)系.EG4.已知四邊形ABCD點(diǎn)E、F、G H分別是AR BC CD DA的中點(diǎn)，求證:變式1:已知任意四邊形ABCD勺邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、求證：AB DC =2eF.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示EG4.已知 a = (4 , 2) , b = (6 , y),且 a / b 變式

14、1:已知任意四邊形ABCD勺邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、求證：AB DC =2eF.三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示EG4.已知 a = (4 , 2) , b = (6 , y),且 a / b ，求變式1：A.與向量a = (12 ,125,-13135)平行的單位向量為（F,C.12 5 T. 12,I 或 13 131313變式2:已知 a = (1,2) , b = (x,1 ),f.12,.13,51312 5-12. 一一，一 或.一，,13 1313且13當(dāng)a+2b與2ab共線時(shí)，x值為 （A. 1 B變式3:已知A（0,3）、B(2,0)、變式3:已知A（0,3）、B(2,0

15、)、C（-1,3）與AB+2AC方向相反的單位向量是（）A. (0,1). (0, -1)C. ( -1,1)D. (1,1)變式4：已知a = (1 , 0), b = (2 , 1).試問：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，kab與a+3b平行，平 行時(shí)它們是同向還是反向？EG5設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，用F2的坐標(biāo)分別為(X, % ),(X2, y2 ).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段P|P2上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段RP2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo) TOC o 1-5 h z 變式1:已知兩點(diǎn)M(3,2), N (5,-5%MP = 1MN ,則P點(diǎn)坐標(biāo)是()A. (Y,1) B .-3 j

16、 C.，| I D . (8,-1)變式2:如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若OA = a,oB = b,貝U op =, OQ =( 用 a、b 表小) f四、平面向量的數(shù)量積.1/,EG6.已知 |a|=6, |b| =4 且 a 與 b 的夾角為 60求(a +b /2b) (a-3b) .變式1:已知:=3；b =4,(：+：+2,)= 23，那么a與b夾角為 0A 60 B 、 90G 120s D 、 150口變式2：已知向量a和b的夾角為60 , | a | = 3 , | b | = 4 ,則(2a - b) a等(A) 15(B) 12(C) 6(D) 3變式 3:在

17、ABC中，已知 | AB|=4 , | AC|=1 , SabC=V3 ,則 AB - AC 等于()A.-2B.2C.2D. 4變式4：設(shè)向量2tei +7色與向量e +te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.EG7.已知| a| =3, | b| =4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a + kb與a-kb互相垂變式1:已知ab , | a| =2, | b| =3,且向量3a + 2b與ka-b互相垂直，則k的值為( )A. 3 B . 3 C . - D . 1222變式2：已知| a| = 1, | b| = J2且(ab)，a,則a與b夾角的大小為.EG8.已知a = (4 , 2

18、),求與向量a垂直的單位向量的坐標(biāo).變式1:若i = (1,0), j =(0,1),則與2i +3j垂直的向量是()A. 3i +2jB. 2i +3jC. 3i +2jD, 2i 3j變式2：已知向量a=(1,1), b=(2,-3),若ka-2b與a垂直，則實(shí)數(shù)k=()1- 10D. 21- 10D. 2變式3：若非零向量a,b互相垂直，則下列各式中一定成立的是A. a b=abB. |a b|=|a-b|C. (a b)(a b) =0D. G -b)2 =0變式 4：已知向量a=(3, 4), b=(2,x),c=(2,y)且 a/ b,ac.求| b c| 的EG9.已知A (1

19、, 2), B (2 , 3) , C ( 2, 5),試判斷AABC的形狀，并給出證明.、八 _ T TT變式1:。是AABC所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且酒足(OB -OC )OC -OA)=0 ,則 TOC o 1-5 h z ABC 一定為()A.正三角形 B .等腰直角三角形 C .直角三角形 D .斜三角形變式2:已知A、B C三點(diǎn)不共線，O是 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若OA + OB + OC =0,則O是4ABC的()A. 重心 B. 垂心C.內(nèi)心D. 外心.2變式3:已知ABEC+AB =0,則4ABC一定是()A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.等腰直角三角形變式 4:四邊形

20、ABCD 中，AB = (6,1), BC = (x, y),CD = (-2,-3)(1)若BC/DA,試求x與y滿足的關(guān)系式;(2)滿足(1)的同時(shí)又有AC _L BD ,求x, y的值及四邊形ABCD的面積。五、平面向量應(yīng)用舉例EG10題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍變式1:如圖，矩形ABCM接于半徑為r的圓O,點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，求證：pA+pB+pC+pD=82.變式 2:已知 ABC中，BC=a,CA=b,而=C,若a,b=bc = ca,求證： ABC為正三角形.變式3:已知平行四邊形 ABCD的兩條對(duì)角線 A

21、C與BD交于E, O是任意一點(diǎn)，求證OA OB OC OD =4OE .變式4:四邊形ABCD勺邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F, 1 求證：EF = (AB DC) 2實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練(08 全國(guó)一 3)在 ABC 中，AB = c, AC = b .若點(diǎn) D 滿足 BD = 2DC ,貝 U AD =A 21-52cA. A 21-52cA. -b cB. c- - bC.33332. (08安徽卷3).在平行四邊形ABCDK21-b -c33AC為一條對(duì)角線，若AB =(2,4),AC =(1,3),則 BD =()A.( 2, -4)B.( 3, -5)C.(3,5)D.(2,4)(08 湖北卷

22、 1)設(shè) a=(1,2), b = (-3,4), C = (3,2)則(a + 2bC = CA. (-15,12)B. 0 C.-3D.-11(08湖南卷7)設(shè) D、E、F分別是 ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且DC = 2BD, CE =2EA, AF =2FBjlJ AD BE CF 與 BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(08陜西卷15)關(guān)于平面向量a, b, c,有下列三個(gè)命題：若 a b= a c,貝U b=c .若 a =(1, k), b = (-2,6) , a / b ,貝U k = 3 .非零向量a和b滿足| a |=| b |=|

23、a -b | ,則a與a+b的夾角為60 .其中真命題的序號(hào)為 .(寫出所有真命題的序號(hào))(08廣東卷8)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O, E是線段OD的中點(diǎn)，AE 的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F .若定=a，前=b，則7F =()八 11211112,A. a b B. a bC. a bD. a b42332433(08浙江卷 9)已知a , b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量 c滿足(a -c) (b - c) = 0 ,則c的最大值是122. 122. 2(D)2(08遼寧卷5)已知O, A, B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C,滿足2AC +CB = 0 ,則 OC =

24、()A. 2OA-OB2112A. 2OA-OB-OA 2OBC. -OA OB D. OA -OB(08海南卷8)平面向量a, b共線的充要條件是a. a, b方向相同b. a, b兩向量中至少有一個(gè)為零向量_M_ -、， Q 3C.凱WR, b =KaD.存在不全為零的實(shí)數(shù) 斯，%, %a +九2b = 0(08上海卷5)若向量a, b滿足a】=i=2且a與b的夾角為；,則a+b =.(08全國(guó)二13)設(shè)向量a =(1,2) b = (2,3),若向量Ka + b與向量c = (-4, 7)共線，則(08北京卷10)已知向量a與b的夾角為120 , 且 a = b =4, 那么bJ(2 a

25、 + b)的值 為 .(08 天津卷 14)已知平面向量 a=(2, 4) b =(-1,2).若 c = 1-(a b)b ,則 TOC o 1-5 h z Ic 尸:彳 44 4(08 江蘇卷 5) a, b 的夾角為 120 口，a =1 , b =3 貝 U 5a-b =.(08江西卷13)直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若E、F為線段BC的一iT T二等分點(diǎn)，則AE AF =.(08 海南卷 13)已知向量 a=(0, 1,1), b = (4,1,0) , |，*+b|=V29 且九 0,貝1!九=(08 福建卷 17)已知向量 m=(sin A,cos A), n=h/3,-1), m. n=1,且 A為銳角.(I)求角 A 的大小；(U)求函數(shù) f (x) =cos2x+4cos Asin x(xw R)的值域. TOC o 1-5 h z 3A3A在AABC中，角A、B C的對(duì)