高三向量知識點及典型例題

1、09級高三數(shù)學(xué)總復(fù)習講義一一向量知識清單一、向量的有關(guān)概念.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用來表示向量的 有向線段的長度).向量的表示方法：字母表示法:如a, b,c,川等.幾何表示法：用一條有向線段表示向量.如羨，CD等.坐標表示法：在平面直角坐標系中，設(shè)向量OA的起點O為在坐標原點,終點A坐標為,T，一T (x, y ),則(x, y )稱為OA的坐標,記為OA = ( x, y ).注：向量既有代數(shù)特征，又有幾何特征，它是數(shù)形兼?zhèn)涞暮霉ぞ?相等向量：長度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.兩向 J J ,一、一 4重a與b相等，記

2、為a =b.注：向量不能比較大小，因為方向沒有大小.零向量：長度為零的向量叫零向量.零向量只有一個，其方向是任意的.單位向量：長度等于1個單位的向量.單位向量有無數(shù)個，每一個方向都有一個單位向量.共線向量：方向相同或相反的非零向量，叫共線向量.任一組共線向量都可以移到同一直 線上.規(guī)定：0與任一向量共線.注：共線向量又稱為平行向量.相反向量：長度相等且方向相反的向量.二、向量的運算(一)運算定義向量的加減法，實數(shù)與向量的乘積，兩個向量的數(shù)量積，這些運算的定義都是“自然的”，它們都有明顯的物理學(xué)的意義及幾何意義.其中向量的加減法運算結(jié)果仍是向量，兩個向量數(shù)量積運算結(jié)果是數(shù)量。研究這些運算,發(fā)現(xiàn)它

3、們有很好地運算性質(zhì)，這些運算性質(zhì)為我們用向量研究問題奠定了基礎(chǔ) ，向量 確實是一個好工具.特別是向量可以用坐標表示，且可以用坐標來運算，向量運算問題可以 完全坐標化.刻劃每一種運算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號、坐標語言。主要內(nèi)容列表如運算圖形語言符號語言坐標語言力口法與一一號一一號一一號t己減法OA+OB=OC、OA=(Xi, y)OB =(x1,y2)OB -OA=AB T 則 OA+OB=(Xi+X2, y1+y2)OB-OAOB-OA=(X2-X1, y2-yi)OA+AB=OB實數(shù)與 向量的 乘積*TAB =入 a實數(shù)與 向量的 乘積*TAB =入 a入C R兩個向 量的數(shù) 量積（

4、二）運算律力口法：a+b =b+a（父換律）;記 a =(x, y)則入a=(入x,入y),、：，、記 a = (*,y1),b = (x2,y2)貝U a b =XiX2+yy2一，、人，(a + b)+c = a +(b+c)(結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積(a b) = 1 a+；b;Q 實數(shù)與向量的乘積(a b) = 1 a+；b;(九+N)a =，.a+Na；尢(N a) = (7J1 )a兩個向量的數(shù)量積：a b=b - a ；（入a） b=w （入b ）=入（1 b ）；T T T T T T T（a +b） c = a c + b c注：根據(jù)向量運算律可知，兩個向量之間的線性運算滿足

5、實數(shù)多項式乘積的運算法則，正 確遷移實數(shù)的運算性質(zhì)可以簡化向量的運算，122例如（a b） 2= a - 2 a* b b（三）運算性質(zhì)及重要結(jié)論，、十 一 一B- bTT I ，、,平面向量基本定理：如果3,62是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一工 ，/ T T 一 T T、，TT一向重a ,有且只有一對頭數(shù) 兀，九2,使a = %e+%e2 ,稱Ae十%62為ee的線性組合。一TT，一一、一，一，一其中6,62叫做表小這一平面內(nèi)所有向量的基底；平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量 e,e2的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一的.、一 B W T T，.，1這說明如

6、果a %e *7金 且a =，-ii+0e ,那么% .入2 =，-2 .、當基底e1,e2是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標系，因此平面向量基本定理實際上是平面向量坐標表示的基礎(chǔ).向量坐標與點坐標的關(guān)系：當向量起點在原點時，定義向量坐標為終點坐標，即若A（x, y）,則O=（x,y）;當向量起點不在原點時，向量 AB坐標為終點坐標減去起點一 坐標，即若 A （xi,yi）, B 為*）,則 AB =（x2-xi, y2-yi）兩個向量平行的充要條件 符號語言：a/ b - a = b(b = 0)坐標語言為：設(shè)非零向量 3=(x1,% )b=(x2,y2 ),則/ bu (xi

7、, yi)=入(X2, y2), - X二Xo即4 12,或Xiy2-X2yi=0,在這里，實數(shù)人是唯一存在的，當a與b同向時，入0;當a與yi - y2b異向時，入0。入|=號，入的大小由日及b的大小確定。因此，當a,已確定時，入的符 |b|號與大小就確定了 .這就是實數(shù)乘向量中人的幾何意義。兩個向量垂直的充要條件加口工 T T TT符方語百：a_b：= a b = 0坐標語言：設(shè)非零向量 a =（xi, yi ）,b =（X2,y2 ）,則a_Lby XiX2 + y1y2=0兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：2.2 .2a =|a|2即|a|=Va （求線段的長度）;abu ai=0（垂直的判斷

8、）； 4 4cose =帝|（求角度）。以上結(jié)論可以（從向量角度）有效地分析有關(guān)垂直、長度、角度等問題，由此可以看到向量知識的重要價值.注：兩向量a,b的數(shù)量積運算結(jié)果是一個數(shù)aGcosg（其中a=（i,b）,這個數(shù)的大小 與兩個向量的長度及其夾角的余弦有關(guān).4*b cos日叫做向量出在a方向上的投影（如圖）. I III數(shù)量積的幾何意義是數(shù)量積a值等于a的模與b在a方向上的投影的積.如果 P（Xi, yi）, P2（X2, y2）,則加2=（X2 Xi,y2 yi）,加2:晟 -xi）2+（y2 -yi）2 ,這就是平面內(nèi)兩點間的距離公式 課前預(yù)習.在abcd中,.平面內(nèi)三點 A(0, 3)

9、,B(3,3),C(x,i)，若 AB / BC ,則 X 的值為()(A)-5(B)-i (C)i (D)5(a (a b) c-( c , a) b =0| a|-| b | QB - QC相等的向量。變式1:如圖1,設(shè)Q是正六邊形的中心，分別寫出C E / 圖中與OD、DC共線的向量。瞪藻解: 變式2:如圖2,設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與 的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的線性運算EG2.如圖，在平行四邊形 ABCg, 7B=a , AD=b , 你能用a, b表示向量AC , DB嗎？變式1:如圖，在五邊形 ABCD呼，AB=a , BC = b ,CD =c

10、 , EA =d ,試用a , b , c , d表示向量CE和變式2:如圖，在平行四邊形 ABC時，若，OA則下列各表述是正確的為（）C.CD =-a + b D.BC = - (a + b)A.C.CD =-a + b D.BC = - (a + b)變式3:已知oA=a, OB =b, oC=c, OD =d,且四邊形ABC吻平行四邊形，則()A. a+b+c+d=0B. a-b+c-d=0C. a+b-c-d=0D. a-b-c+d=0、. . . 變式4：在四邊形ABC時，若AB=-1CD ,則此四邊形是（）A.平行四邊形 B.菱形C.梯形D.矩形變式5 已知a、b是非零向量,則|a

11、|=|b|是（a+b）與（ab）垂直的A,充分但不必要條件B.必要他不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件變式 6:在四邊形 ABCm,AB=a+2b, BC=-4a-b, CD=-5a-3b,其中 a、b 不共線,則四邊形ABCM （）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形變式7:已知菱形ABCD點P在對角線AC上（不包括端點A、C）,則而等（）2、A.入（AB + AD）, X （0,1）B.入（AB + BC）,入 C （0,）22、C.入（AB AD ）,入 C （0,1）D.入（AB - BC）, X （0,）2變式8:已知D E、F分別是 ABC的邊BC CA AB的中點，

12、且氏 4 , CA = b , AB=C,則下列各式：樂= 1C 1b BE=a +1b CF= 1之+- b TOC o 1-5 h z 22222aD + bE + cF=0其中正確的等式的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4EG3如圖，已知任意兩個非零向量 a、b ,試作OA=a + b, OB=a +*6 OC=a + 3b,你能判斷A B C三點之間的位置關(guān)系嗎？為什么？ / 變式1:已知 變式1:已知 OA=a + 2b,OB =2a + 4b, OC =3a + 6b（其中a、b是兩個任意非零向量（其中a、b是兩個任意非零向量）證明：AB=OBOA=a + 2b,，證明：A B C

13、三點共線.r T r 一AC = OC - OA = 2a + 4b,AC = 2AB 所以，A、B C三點共線.變式 2:已知點 A B、C在同一直線上，并且 oA=a + b, OB =(m-2)a + 2b, OC = (n + 1)a+ 3 b （其中a、b是兩個任意非零向量），試求m n之間的關(guān)系.EG4.已知四邊形ABCD點E、F、G H分別是AR BC CD DA的中點，求證:變式1:已知任意四邊形ABCD勺邊AD和BC的中點分別為E、求證：AB DC =2eF.三、平面向量的基本定理及坐標表示EG4.已知 a = (4 , 2) , b = (6 , y),且 a / b 變式

14、1:已知任意四邊形ABCD勺邊AD和BC的中點分別為E、求證：AB DC =2eF.三、平面向量的基本定理及坐標表示EG4.已知 a = (4 , 2) , b = (6 , y),且 a / b ，求變式1：A.與向量a = (12 ,125,-13135)平行的單位向量為（F,C.12 5 T. 12,I 或 13 131313變式2:已知 a = (1,2) , b = (x,1 ),f.12,.13,51312 5-12. 一一，一 或.一，,13 1313且13當a+2b與2ab共線時，x值為 （A. 1 B變式3:已知A（0,3）、B(2,0)、變式3:已知A（0,3）、B(2,0

15、)、C（-1,3）與AB+2AC方向相反的單位向量是（）A. (0,1). (0, -1)C. ( -1,1)D. (1,1)變式4：已知a = (1 , 0), b = (2 , 1).試問：當k為何實數(shù)時，kab與a+3b平行，平 行時它們是同向還是反向？EG5設(shè)點P是線段P1P2上的一點，用F2的坐標分別為(X, % ),(X2, y2 ).(1)當點P是線段P|P2上的中點時，求點P的坐標；(2)當點P是線段RP2的一個三等分點時，求P的坐標 TOC o 1-5 h z 變式1:已知兩點M(3,2), N (5,-5%MP = 1MN ,則P點坐標是()A. (Y,1) B .-3 j

16、 C.，| I D . (8,-1)變式2:如圖，設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點，若OA = a,oB = b,貝U op =, OQ =( 用 a、b 表小) f四、平面向量的數(shù)量積.1/,EG6.已知 |a|=6, |b| =4 且 a 與 b 的夾角為 60求(a +b /2b) (a-3b) .變式1:已知:=3；b =4,(：+：+2,)= 23，那么a與b夾角為 0A 60 B 、 90G 120s D 、 150口變式2：已知向量a和b的夾角為60 , | a | = 3 , | b | = 4 ,則(2a - b) a等(A) 15(B) 12(C) 6(D) 3變式 3:在

17、ABC中，已知 | AB|=4 , | AC|=1 , SabC=V3 ,則 AB - AC 等于()A.-2B.2C.2D. 4變式4：設(shè)向量2tei +7色與向量e +te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍.EG7.已知| a| =3, | b| =4且a與b不共線，k為何實數(shù)時，向量a + kb與a-kb互相垂變式1:已知ab , | a| =2, | b| =3,且向量3a + 2b與ka-b互相垂直，則k的值為( )A. 3 B . 3 C . - D . 1222變式2：已知| a| = 1, | b| = J2且(ab)，a,則a與b夾角的大小為.EG8.已知a = (4 , 2

18、),求與向量a垂直的單位向量的坐標.變式1:若i = (1,0), j =(0,1),則與2i +3j垂直的向量是()A. 3i +2jB. 2i +3jC. 3i +2jD, 2i 3j變式2：已知向量a=(1,1), b=(2,-3),若ka-2b與a垂直，則實數(shù)k=()1- 10D. 21- 10D. 2變式3：若非零向量a,b互相垂直，則下列各式中一定成立的是A. a b=abB. |a b|=|a-b|C. (a b)(a b) =0D. G -b)2 =0變式 4：已知向量a=(3, 4), b=(2,x),c=(2,y)且 a/ b,ac.求| b c| 的EG9.已知A (1

19、, 2), B (2 , 3) , C ( 2, 5),試判斷AABC的形狀，并給出證明.、八 _ T TT變式1:。是AABC所在的平面內(nèi)的一點，且酒足(OB -OC )OC -OA)=0 ,則 TOC o 1-5 h z ABC 一定為()A.正三角形 B .等腰直角三角形 C .直角三角形 D .斜三角形變式2:已知A、B C三點不共線，O是 ABC內(nèi)的一點，若OA + OB + OC =0,則O是4ABC的()A. 重心 B. 垂心C.內(nèi)心D. 外心.2變式3:已知ABEC+AB =0,則4ABC一定是()A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.等腰直角三角形變式 4:四邊形

20、ABCD 中，AB = (6,1), BC = (x, y),CD = (-2,-3)(1)若BC/DA,試求x與y滿足的關(guān)系式;(2)滿足(1)的同時又有AC _L BD ,求x, y的值及四邊形ABCD的面積。五、平面向量應(yīng)用舉例EG10題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍變式1:如圖，矩形ABCM接于半徑為r的圓O,點P是圓周上任意一點，求證：pA+pB+pC+pD=82.變式 2:已知 ABC中，BC=a,CA=b,而=C,若a,b=bc = ca,求證： ABC為正三角形.變式3:已知平行四邊形 ABCD的兩條對角線 A

21、C與BD交于E, O是任意一點，求證OA OB OC OD =4OE .變式4:四邊形ABCD勺邊AD和BC的中點分別為E、F, 1 求證：EF = (AB DC) 2實戰(zhàn)訓(xùn)練(08 全國一 3)在 ABC 中，AB = c, AC = b .若點 D 滿足 BD = 2DC ,貝 U AD =A 21-52cA. A 21-52cA. -b cB. c- - bC.33332. (08安徽卷3).在平行四邊形ABCDK21-b -c33AC為一條對角線，若AB =(2,4),AC =(1,3),則 BD =()A.( 2, -4)B.( 3, -5)C.(3,5)D.(2,4)(08 湖北卷

22、 1)設(shè) a=(1,2), b = (-3,4), C = (3,2)則(a + 2bC = CA. (-15,12)B. 0 C.-3D.-11(08湖南卷7)設(shè) D、E、F分別是 ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且DC = 2BD, CE =2EA, AF =2FBjlJ AD BE CF 與 BC()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(08陜西卷15)關(guān)于平面向量a, b, c,有下列三個命題：若 a b= a c,貝U b=c .若 a =(1, k), b = (-2,6) , a / b ,貝U k = 3 .非零向量a和b滿足| a |=| b |=|

23、a -b | ,則a與a+b的夾角為60 .其中真命題的序號為 .(寫出所有真命題的序號)(08廣東卷8)在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點O, E是線段OD的中點，AE 的延長線與CD交于點F .若定=a，前=b，則7F =()八 11211112,A. a b B. a bC. a bD. a b42332433(08浙江卷 9)已知a , b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量 c滿足(a -c) (b - c) = 0 ,則c的最大值是122. 122. 2(D)2(08遼寧卷5)已知O, A, B是平面上的三個點，直線AB上有一點C,滿足2AC +CB = 0 ,則 OC =

24、()A. 2OA-OB2112A. 2OA-OB-OA 2OBC. -OA OB D. OA -OB(08海南卷8)平面向量a, b共線的充要條件是a. a, b方向相同b. a, b兩向量中至少有一個為零向量_M_ -、， Q 3C.凱WR, b =KaD.存在不全為零的實數(shù) 斯，%, %a +九2b = 0(08上海卷5)若向量a, b滿足a】=i=2且a與b的夾角為；,則a+b =.(08全國二13)設(shè)向量a =(1,2) b = (2,3),若向量Ka + b與向量c = (-4, 7)共線，則(08北京卷10)已知向量a與b的夾角為120 , 且 a = b =4, 那么bJ(2 a

25、 + b)的值 為 .(08 天津卷 14)已知平面向量 a=(2, 4) b =(-1,2).若 c = 1-(a b)b ,則 TOC o 1-5 h z Ic 尸:彳 44 4(08 江蘇卷 5) a, b 的夾角為 120 口，a =1 , b =3 貝 U 5a-b =.(08江西卷13)直角坐標平面上三點A(1,2)、B(3,-2)、C(9,7),若E、F為線段BC的一iT T二等分點，則AE AF =.(08 海南卷 13)已知向量 a=(0, 1,1), b = (4,1,0) , |，*+b|=V29 且九 0,貝1!九=(08 福建卷 17)已知向量 m=(sin A,cos A), n=h/3,-1), m. n=1,且 A為銳角.(I)求角 A 的大??；(U)求函數(shù) f (x) =cos2x+4cos Asin x(xw R)的值域. TOC o 1-5 h z 3A3A在AABC中，角A、B C的對