創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模B題92620850

1、創(chuàng)意平板折疊桌的數(shù)學(xué)模型摘要本文主要研究的是創(chuàng)意平板折疊桌的設(shè)計(jì)加工問題，對(duì)設(shè)計(jì)加工參數(shù)進(jìn)行分析和優(yōu)化并為公司開發(fā)設(shè)計(jì)折疊桌軟件提供數(shù)學(xué)模型，為解決這些問題建立不同的數(shù)學(xué)模型并用MATLAB進(jìn)行模型求解。針對(duì)問題一，本文建立了模型I動(dòng)態(tài)變化及數(shù)學(xué)描述模型。利用解析幾何求出每根桌腿由平鋪狀態(tài)到完全展開過程中轉(zhuǎn)過的角度來(lái)描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化過程，并在此基礎(chǔ)上用MATLAB解出設(shè)計(jì)加工參數(shù):桌腿木條開槽長(zhǎng)度K，三維空間桌腳邊緣線。i針對(duì)問題二，本文建立模型口一一設(shè)計(jì)加工參數(shù)模型。采用多目標(biāo)決策分析方法使產(chǎn)品達(dá)到穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，所以開槽長(zhǎng)度K和長(zhǎng)方形平板面積S必須達(dá)到最小，對(duì)于任意給定的高

2、度H和圓形桌面直徑R確定：決策變量：a（桌面最外側(cè)木條的半長(zhǎng)），（最外側(cè)桌腿的豎直偏角），p（最外11側(cè)折疊處到鋼筋位置距離與最外側(cè)桌腿的比值）目標(biāo)函數(shù):K（開槽總長(zhǎng)度），S長(zhǎng)方形木板面積用MATLAB求解出多組方案并確定目標(biāo)函數(shù)最小的最優(yōu)方案，列出設(shè)計(jì)加工參數(shù)。針對(duì)問題三，本文建立了模型皿一一軟件設(shè)計(jì)模型。根據(jù)客戶設(shè)定的高度、桌面邊緣線形狀大小為客戶提供三種桌面形狀：圓形桌面，圓弧和矩形組合桌面，“8”字形桌面。對(duì)于圓形桌面可參照模型II;對(duì)于組合桌面，可在模型II的基礎(chǔ)上通過增大最外側(cè)桌面木條的長(zhǎng)度a來(lái)實(shí)現(xiàn)；對(duì)于“8”字形桌面則可將兩個(gè)組合桌面的直線邊進(jìn)行對(duì)接，所以模型三的建立和求解便可在

3、模型口的基礎(chǔ)上改動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：解析幾何MATLAB多目標(biāo)決策分析EXLINK問題重述某公司生產(chǎn)一種可折疊的桌子，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動(dòng)可以平攤成一張平板。桌腿由若干根木條組成，分成兩組，每組各用一根鋼筋將木條連接，鋼筋兩端分別固定在桌腿各組最外側(cè)的兩根木條上，并且沿木條有空槽以保證滑動(dòng)的自由度。桌子外形由直紋曲面構(gòu)成，造型美觀。試建立數(shù)學(xué)模型討論下列問題：給定長(zhǎng)方形平板尺寸為120cmX50cmX3cm,每根木條寬2.5cm,連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側(cè)木條的中心位置，折疊后桌子的高度為53cm。試建立模型描述此折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程,在此基礎(chǔ)上給出此折疊桌的設(shè)計(jì)加工參數(shù)（例如

4、,桌腿木條開槽的長(zhǎng)度等）和桌腳邊緣線的數(shù)學(xué)描述。折疊桌的設(shè)計(jì)應(yīng)做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少。對(duì)于任意給定的折疊桌高度和圓形桌面直徑的設(shè)計(jì)要求,討論長(zhǎng)方形平板材料和折疊桌的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，例如，平板尺寸、鋼筋位置、開槽長(zhǎng)度等。對(duì)于桌高70cm，桌面直徑80cm的情形,確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。公司計(jì)劃開發(fā)一種折疊桌設(shè)計(jì)軟件，根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線的形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀，給出所需平板材料的形狀尺寸和切實(shí)可行的最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)，使得生產(chǎn)的折疊桌盡可能接近客戶所期望的形狀。團(tuán)隊(duì)的任務(wù)是幫助給出這一軟件設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)所建立的模型給出幾個(gè)自己設(shè)計(jì)的創(chuàng)意平板折疊桌。

5、給出相應(yīng)的設(shè)計(jì)加工參數(shù)，畫出至少8張動(dòng)態(tài)變化過程的示意圖。問題分析2.1問題一的分析問題一要求我們建立模型描述折疊桌的動(dòng)態(tài)變化過程并給出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，由于長(zhǎng)方形平板尺寸和每根木條的寬度及鋼筋的位置都為已知，所以只需假設(shè)最外側(cè)桌面木條的半長(zhǎng)，根據(jù)桌子的對(duì)稱性研究桌子左邊最外側(cè)到中間的桌腿，利用空間幾何建立數(shù)學(xué)模型，再用MATLAB對(duì)模型求解得出設(shè)計(jì)加工參數(shù)，用EXLINK導(dǎo)出每根桌腿轉(zhuǎn)過的角度。2.2問題二的分析問題二要求我們做到產(chǎn)品穩(wěn)固性好、加工方便、用材最少，對(duì)于已定的桌高和桌面直徑確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。由問題一中折疊桌桌腿的幾何關(guān)系建立多目標(biāo)決策分析模型確定決策變量和目標(biāo)函數(shù)，用MATLA

6、B確定最優(yōu)設(shè)計(jì)加工參數(shù)。2.3問題三的分析問題三要求我們?yōu)檎郫B桌的設(shè)計(jì)軟件提供數(shù)學(xué)模型，可根據(jù)客戶任意設(shè)定的折疊桌高度、桌面邊緣線形狀大小和桌腳邊緣線的大致形狀來(lái)給出所需平板的尺寸及加工參數(shù)，對(duì)此我們充分的利用問題二的模型來(lái)設(shè)計(jì)桌面邊緣線的形狀，使所建立的軟件設(shè)計(jì)模型易于求解。模型的假設(shè)假設(shè)一：不考慮加工對(duì)長(zhǎng)方形平板寬度帶來(lái)的影響假設(shè)二：桌腿鋼筋不會(huì)發(fā)生形變假設(shè)三：描述桌腳邊緣線時(shí)桌腳為質(zhì)點(diǎn)假設(shè)四：外側(cè)桌腿和鋼筋固定良好假設(shè)五：鉸鏈不會(huì)發(fā)生形變且對(duì)設(shè)計(jì)加工參數(shù)無(wú)影響問題一模型的建立與求解4.1符號(hào)說(shuō)明：符號(hào)符號(hào)說(shuō)明L.i第i根桌腿腿長(zhǎng)a第i根桌面木條的半長(zhǎng)a第i根桌腿與豎直方向的夾角9第i根桌

7、腿動(dòng)態(tài)變化轉(zhuǎn)過的角度Hi第i根桌腿底部距地面的高度R桌面外接圓半徑h鋼筋位置距桌面高度mi第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離b第一根桌腿底部距桌子豎直對(duì)稱面的距離Ki第i根木條開槽長(zhǎng)度4.2模型I的建立（數(shù)據(jù)單位均為cm）根據(jù)桌子的對(duì)稱性只需研究桌子左邊最外側(cè)到中間的10根桌腿，設(shè)最外側(cè)桌腿為第一根桌腿Li，其桌面木條的半長(zhǎng)為巴，以第一根桌腳為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系（見圖1）根據(jù)問題一所給尺寸計(jì)算出:第一根桌腿：腿長(zhǎng)L=60-a11第一根桌腿底部距桌子豎直對(duì)稱面的距離b二Htan+a11桌腿與豎直方向的夾角a=arccos-1120a1鋼筋位置到桌子豎直對(duì)稱面距離忙0-a1-502+a1

8、鋼筋位置距桌面高度h=25圖21Ax.ArM1*mi+I1碼-3根據(jù)圖2和圖3計(jì)算可以得出：第i根桌面木條的半長(zhǎng)a252+a2-（25-2.5（i-1）1TOC o 1-5 h zi*1桌面外接圓半徑R.;252+a21第i根桌腿腿長(zhǎng)L=60-aii第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m二m-ai1i第i根桌腿的豎直夾角a=arctaniih第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度l=-1cosai第i根桌腿底部距地面的高度H二H-LcosaTOC o 1-5 h ziii第i根桌腿底部到桌子豎直對(duì)稱面的距離S二a+LsinaiiiiX=b-Sii桌腿底部坐標(biāo)Y=2.5iiZ=HJii為了得出每根木條的

9、開槽長(zhǎng)度K.,利用第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度/減去桌子平Ii鋪時(shí)候鋼筋位置與折疊點(diǎn)的距離即：K=l（30a）iii4.3模型I的求解根據(jù)題中所給的圖和木板的厚度，大致可以假設(shè)桌面最外側(cè)木條半長(zhǎng)a為3,用MATLAB編程進(jìn)行求解，程序見附錄通過EXLINK導(dǎo)出桌面與豎直方向夾角a,制出表格描述折疊桌動(dòng)態(tài)變化的過程（見表1）桌腿第1根第2根第3根第4根桌腿與豎直方向夾a28.694412.147631063.175225706-3.250758279桌腿動(dòng)態(tài)變化轉(zhuǎn)過的角度961.305677.8523689486.8247742993.25075828第5根第6根第7根第8根第9根第10根-8.0

10、59088678-11.69189002-14.41203732-16.38860657-17.73218288-18.512622198.05908868101.69189104.4120373106.3886066107.7321829108.5126221表1用MATLAB畫出桌腳邊緣線（見圖3），程序見附錄二黨腳邊奏註三至團(tuán)那桌腳邊緣線各點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)如下表:X0.00003.78337.56039.605310.6861Y2.50005.00007.500010.000012.5000Z0.00002.39315.36578.171310.6166X11.205411.407011.44

11、4111.413511.3740Y15.000017.500020.000022.500025.0000Z12.648914.269415.497616.356116.8632表2用EXLINK導(dǎo)出設(shè)計(jì)加工參數(shù)：桌面外接圓半徑R=-，由上表數(shù)據(jù)計(jì)算得當(dāng)a=1或2時(shí)，方案無(wú)效。1441當(dāng)桌面平鋪時(shí)，鋼筋必須在圓形桌面以外，即p-LR，可以得出pR，根據(jù)上表22L數(shù)據(jù)計(jì)算，當(dāng)p511時(shí)為組合桌面。p=0.5，a=30。a5，依舊參照模型口11桌面木條根數(shù)n=第一根桌腿長(zhǎng)度=冒，第一根桌腿鋼筋位置距桌面的距離h=ph，桌寬d=第i根桌面木條的半長(zhǎng)為ai第i根桌腿鋼筋位置距桌腿折疊處豎直面距離m-v(

12、pl)2-h2-aTOC o 1-5 h zi1i第i根桌腿鋼筋位置以上長(zhǎng)度f(wàn)=：h2+m2(Lp所以可求出第i根桌腿的槽長(zhǎng)K二f-LP-a11I21丿(3).“8”字形桌面p=0.5，a=30a5，i1桌面木條的根數(shù)n=2d只需研究桌子一側(cè)前1的桌腿2.54由于“8”字形桌面的桌子是由兩個(gè)組合桌子鏈接起來(lái)的，所以設(shè)計(jì)加工研究參數(shù)即為組合桌面桌子參數(shù)。6.2模型III的求解針對(duì)圓弧和矩形組合桌面圖6現(xiàn)要加工高H二60，=10R二90，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)如下:L=188.56，d二74.83第i根桌腿開槽長(zhǎng)度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長(zhǎng)度0.0

13、01.814.0110.3916.2919.4421.88第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根23.7325.0726.0426.7427.2527.6427.9528.18開槽位置:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根i19.9920.3520.7921.3522.0622.9824.19第9根第10根第11根第12根第13根第14根第15根25.7427.6729.9232.3532.8830.0730.22表7針對(duì)與“8”字形桌面現(xiàn)要加工高H二80,a=20R二80，用MATLAB和EXLINK解出設(shè)計(jì)加工參數(shù)如下:L二224.75，d二69.28第i根桌腿開槽長(zhǎng)度:桌腿第1根第2根第3根第4根第5根第6根第7根開槽長(zhǎng)度0.000.215.7312.6315.6418.1820.36第8根第9根第10根第11根第12根第13根第14根22.2623.8925.2726.4327.3828.1728.81表8開槽位置:桌腿第2根第3根第4根第5根第6根第7根第8根fi30.4031.3032.3533.5534.9236.4438.08第9根第10根第11根第12根第13根第14根39.8041.5543.3045.0142.9240.67表9由flash軟件制作得“8”字形桌面動(dòng)態(tài)示意圖圖8誤差分析誤差分析：7模型評(píng)價(jià)、改進(jìn)、推廣