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文檔簡介

1、3.1.4空間向量的正交 分解及其坐標表示 如圖，設i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，且有公共起點O。對于空間任意一個向量p= ,設點Q為點P在i,j所確定的平面上的正投影，由平面基本定理可知，在 ,k所確定的平面上，存在實數z，使得而在i,j所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序之前數對(x,y)，使得. xi+yj從而 zk=xi+yj+zk.xyzkijQPO一、空間向量基本定理：xyzkijQPO如果i,j,k是空間三個兩兩垂直的向量，對空間任一個向量p，存在一個有序實數組使得p=xi+yj+zk.我們稱xi,yj,zk為向量p在i,j,k上的分向量。都叫做基向量叫做空間的

2、一個基底 單位正交基底：如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底,常用 表示 正交基底：空間的一個基底的三個基向量互相垂直。二、空間直角坐標系二、空間直角坐標系 在空間選定一點O和一個單位正交基底 ,以點O為原點，分別 以 的正方向建立三條數軸：x軸、y軸、z軸,這樣就建立了一個空間直角坐標系Oxyz.三、空間向量的正交分解及其坐標表示xyzOijkP記作 =(x,y,z)由空間向量基本定理，對于空間任一向量 存在唯一的有序實數組(x,y, z)使 PP1已知a，b，c是不共面的三個向量，則能構成一個基底的一組向量是()A.2a，ab，a2bB2b，ba，

3、b2aC .a,2b，bc Dc，ac，acCDBCBADAEFxyz練習 2BANCOMQP例2、如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點，P，Q是MN的三等分點。用向量 表示 和 。3.1.5空間向量運算的坐標表示一、向量的直角坐標運算1.距離公式（1）向量的長度（模）公式注意：此公式的幾何意義是表示長方體的對角線的長度。二、距離與夾角2.兩個向量夾角公式注意：（1）當 時，同向；（2）當 時，反向；（3）當 時，。思考：當 及 時，夾角在什么范圍內？在空間直角坐標系中，已知、，則（3）空間兩點間的距離公式4.設則 ， AB的中點M的坐標為 例1.設 (1,5，1)， (2,3,5)(1)若( )( 3 )，求 ；(2)若( )( 3 )，求 .練習1: 已知 垂直于正方形 所在的平面, 分別是 的中點,并且 ,求證:證明: 分別以 為坐標向量建立空間直角坐標

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