空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1、空間向量與立體幾何知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)一知識(shí)要點(diǎn)?？臻g向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線(xiàn)段表示同向等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一或相等的向量。(2)向量具有平移不變性空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下(如圖)。mr uur Uur r v uur uur mr r r 岫7 r .OB = OA + AB = a + b BA = OA - OB = a - b OP = *a(*G R)運(yùn)算律：加法交換律：a+ b b a,叱只a a. 3 a 加法結(jié)合律：(a+b a+c=a+(a+c 數(shù)乘分配律：X(a + b)=

2、漬+ Xb運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則共線(xiàn)向量。如果表示空間向量的少向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合，那么這些向量也叫做共線(xiàn)向量或平行 向量，a平行于b，記作“。qPPPqPQP共線(xiàn)向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b ( b豐0 )，a/b存在實(shí)數(shù)人，使a =人b。三點(diǎn)共線(xiàn)：A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)AB = X ACOC= xOA+ yOB其中x+y=1) TOC o 1-5 h z a土 a(4)與共線(xiàn)的單位向量為a共面向量(1)定義：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量。說(shuō)明：空間任意的兩向量都是共面的。r rrr rX yr (2?共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn)，

3、p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)/使p = xa + yb(3)四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面。砂=XAB + yACOP = xOA + yOB + zOC (其中 x + y + z = 1) r r rr HYPERLINK l bookmark25 o Current Document a, b, cp空間向量基本定理：如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一rrr_r 的有序?qū)崝?shù)組，z，使p=球+yb+zc。 r r rr f r若三向量 不共面，我們把a(bǔ),bc叫做空間的一個(gè)基底，abc叫做基向量，空間任意 三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。 x y z U

4、U論：詵時(shí),B勺是不共面的里點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) OP = xOA + yOB + zOC 使?？臻g向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系 xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y z），使， .A - xi + yi + zk，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系 O-xyz中的坐標(biāo)，記作 A（x, y,z） ，x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A（x,y,z）關(guān)于x軸的的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（x,y,-z）.即點(diǎn)關(guān) 于什么軸/平面對(duì)稱(chēng)，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。

5、在y軸上的點(diǎn)設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz 中的點(diǎn)設(shè)為（0,y,z）r r r（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直且長(zhǎng)為i，這個(gè)基底叫單位正交基底，用i k表 a = xl + yj + zk(3%空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 (3%空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：若 a = (a，a , a )，b = (b ,b ,b )，* r 12 3123a 一 b = (a 一 b , a 一 b , a 一 b ) r r 112233a-b = ab + a b + a b r r 1 12 23 3 ，a / b = a = Xb , a = Xb ,a b。ab + a b + a b

6、= 0_o1 12 23 3若 A(x , y , z )，B(x , y , z )，若1 1 1222r ra + b = （a + b , a + b , a + b ） 則 r 11 22 33=人b (人e R) 3，uur則 AB = (x=人b (人e R) 3，uur則 AB = (x2-xy2一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)。AP = k PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為定比分點(diǎn)公式：若AR頊1AP = k PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為,x +Xx y +Xy z + Xz (12,12,12 )設(shè) P （ x,y,z ）則(1+ X , 1+ X ,

7、 1+ X )設(shè) P （ x,y,z ）則(xx1 yy1, zz1)= (x2 x, y2 y, z2 z) TOC o 1-5 h z x +x y + y z + zP ( 12 , 12 , 12 )22P坐標(biāo)為AABC中, A(x , y ,z) ,B(x , y ,z ),C(x , y ,zP坐標(biāo)為111222333 ，三角形重心x + x + x y + y + y z + z + z、P ( 123,123 , 123 )322、ABC的五心：AP = x (心P：AP = x (心P：切圓的圓心，角平分線(xiàn)的交點(diǎn)。aB aC.+aBAC)(單位向量)PAPA = P = PC

8、外心P：外接圓的圓心，中垂線(xiàn)的交點(diǎn)。 *垂號(hào)：高的交點(diǎn)：PA PB=PA PC=PB PC (移項(xiàng)，積為0，則垂直)1-重心P：中線(xiàn)的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線(xiàn)比)AP = 3(AB + AC)中心：正三角形的所有心的合一。r(4)中心：正三角形的所有心的合一。r(4)模長(zhǎng)公式：若 a = (a ,a ,a )，b = (b ,b ,b )r1 2 31_ 2 3 _則* 1 a |=1 2rI b 1=a - a = : a 2 + a 2 + a 2 12 r r.r r a - b(5)夾角公式：g,a-氣=*，2 + b 2 + b2a b + a b + a b1 12 23 3 ABC

9、中AB AC 0 A為銳角aB aC 0 A為鈍角，鈍角(6)兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x ,y ,z )，B(x ,y ,z )， TOC o 1-5 h z uur e ,23*123 1 1 2 223*123則 I AB I= AB2 = (x x )2 + (y y )2 + (z z )2 ，*212121或 d = J(x x )2 + (y y )2 + (z z )2A, B、 212121空間向量的數(shù)量積。uur r uur r空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向*, r，在空間任取一點(diǎn)o，作0A=a, ob=b 則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作 ；且規(guī)定0 K ，顯然有

10、L flr r 兀 一 r_rr r= ；若=，則禰a與b互相垂直，記作：a b。uur r 2uurrr向量的模：設(shè)OA = a，則有向線(xiàn)段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：I a I。r rrr 一r r向量的數(shù)量積：已知向量a,b，則1 a I I b I COS 叫做a,b的數(shù)量積，記作a -b，r r r _rx 即 a - b = I a I -1 b I - cos。(4)空間向量數(shù)量積的性質(zhì)： r r r r r r r r r rr a - e =I a I cos a 上 b 0 a *b 0(5) r間宣量數(shù)量積r算律：r r r r r(Xa).b =X(d * b

11、) a * (人b)。 a * b b * a (交換律”r r rr r r ra *(b +Q = a *b + a *、分配律)。（a * b）c 壬 a（b * c）不滿(mǎn)足乘法結(jié)合率：v二空間向量與立體幾何1 線(xiàn)線(xiàn)平行兩線(xiàn)的方向向量平行1線(xiàn)面平行線(xiàn)的方向向量與面的法向量垂直2面面平行0兩面的法向量平行2線(xiàn)線(xiàn)垂直（共面與異面）0兩線(xiàn)的方向向量垂直1線(xiàn)面垂直0線(xiàn)與面的法向量平行2面面垂直0兩面的法向量垂直 3線(xiàn)線(xiàn)夾角0 （共面與異面）0。,90。 0兩線(xiàn)的方向向量n, n 2的夾角或夾角的補(bǔ)角，coso = cos 1線(xiàn)面夾角0 0。,90。:求線(xiàn)面夾角的步驟：先求線(xiàn)的方向向量AP與面的法

12、向量n的夾角，若為sin o = cos 銳角角即可，若為鈍角，則取其補(bǔ)角；再求其余角唧是線(xiàn)面的夾角.2面面夾角（二面角）0 。,180。:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量ni，n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角CS -COS uuu4 點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P（x ,y ）到平面a的距離：在平面a上去一點(diǎn)Q（x,yJ，得向量PQ .；計(jì)算1線(xiàn)面距離（線(xiàn)面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離2面面距離（面面平行）：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1 基本運(yùn)算與基本知識(shí)（）例k已知平行六面體牌%時(shí)ffip,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量。 AB + BC ； AB + AD

13、+ AA ；uur uur 1 uurnr1 uun umr uuur AB + AD + CC ； 3(AB + AD + AAf)。例2r對(duì)空間任薩和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，BC，問(wèn)滿(mǎn)足向量式：OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1 ）的四點(diǎn) P, A,B,C 是否共面？例 3 已知空間三點(diǎn)。，2,3），B（-2，1，6），C（1，-1，5）o求以向量AB, AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積S； ruuur uuirr .r若向量a分別與向量AB, AC垂直，且| a | =、3，求向量a的坐標(biāo)。2基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)

14、系，找坐標(biāo)）4 幾何法編號(hào)03晚自習(xí)測(cè)試；17，18題例 4.如圖，在空間四邊形OABC 中，OA = 8，AB = 6，AC = 4，BC = 5，ZOAC = 45。，ZOAB = 60。， 求OA與BC的夾角的余弦值。uunr umruunr umr說(shuō)明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如 OA, AC= 135o易錯(cuò)寫(xiě)成 OA, AC= 45。，切記！例5.長(zhǎng)方體ABCD - A B C D中，AB = BC = 4，E為A C與B D的交點(diǎn)，F(xiàn)為BC與B C的交點(diǎn)，又AF BE，求長(zhǎng)方體的高BB，。111【模擬試題】1.已知空間四邊形ABCD ，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列各表達(dá)式，并標(biāo) uuur uur uur出化簡(jiǎn)結(jié)果向量:（1）AB + BC + CD ；uur i uur uurumr 1 uur umr（2）AB + CBD + BC） ；（3）AG-（AB + AC）。2.已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點(diǎn)O引向量。uur uur unllui uur lur mu uuiOE = kOA