均值不等式的證明方法及應用

1、-. z.均值不等式的證明方法及應用摘要均值不等式在不等式理論中處于核心地位，是現(xiàn)代分析數(shù)學中應用最廣泛的不等式之一。應用均值不等式，可以使一些較難的問題得到簡化處理。本文首先系統(tǒng)全面地總結了均值不等式的十種證明方法,其中包括柯西法、數(shù)學歸納法、詹森不等式法、不等式法、幾何法、排序法、均值變量替換法、構造概率模型法、逐次調(diào)整法、泰勒公式法；其次,結合相關例題給出均值不等式在證明不等式、比擬大小、求最值、證明極限的存在性、判斷級數(shù)斂散性、證明積分不等式方面的應用。關鍵詞:均值不等式；數(shù)學歸納法；最值；極限；積分不等式 PROOFS AND APPLICATIONS ONAVERAGE VALUE

2、 INEQUALITY ABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalitiesin modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper,ten proof methodsof average value inequality are firstsyste

3、matically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secon

4、dly,we give applications of average value inequality bining the corresponding e*ampleson paring the size, solving ma*imum and minimum, proving the e*istenceof the limit, judging convergence of series and proving integral inequality.Keywords: average value inequality; mathematical induction; ma*imum

5、and minimum; limit; integral inequality目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc358209346前言 PAGEREF _Toc358209346 h 4HYPERLINK l _Toc3582093471 均值不等式的證明方法 PAGEREF _Toc358209347 h 5HYPERLINK l _Toc3582093481.1 柯西法 PAGEREF _Toc358209348 h 5HYPERLINK l _Toc3582093491.2 數(shù)學歸納法 PAGEREF _Toc358209349 h 6HYPERLIN

6、K l _Toc3582093501.3 詹森不等式法 PAGEREF _Toc358209350 h 7HYPERLINK l _Toc3582093511.4 不等式法 PAGEREF _Toc358209351 h 7HYPERLINK l _Toc3582093521.5 幾何法 PAGEREF _Toc358209352 h 8HYPERLINK l _Toc3582093531.6 排序法 PAGEREF _Toc358209353 h 9HYPERLINK l _Toc3582093541.7 均值變量替換法 PAGEREF _Toc358209354 h 9HYPERLINK

7、l _Toc3582093551.8 構造概率模型法 PAGEREF _Toc358209355 h 9HYPERLINK l _Toc3582093561.9 逐次調(diào)整法 PAGEREF _Toc358209356 h 10HYPERLINK l _Toc3582093571.10 泰勒公式法 PAGEREF _Toc358209357 h 10HYPERLINK l _Toc3582093582 均值不等式的應用 PAGEREF _Toc358209358 h 12HYPERLINK l _Toc3582093592.1 均值不等式在證明不等式中的應用 PAGEREF _Toc358209

8、359 h 12HYPERLINK l _Toc3582093602.2均值不等式在比擬大小問題中的應用 PAGEREF _Toc358209360 h 13HYPERLINK l _Toc3582093612.3 均值不等式在求最值問題中的應用 PAGEREF _Toc358209361 h 13HYPERLINK l _Toc3582093622.3.1 均值不等式求最值時常見錯誤 PAGEREF _Toc358209362 h 14HYPERLINK l _Toc3582093632.3.2 均值不等式求最值失效時的對策 PAGEREF _Toc358209363 h 16HYPERLI

9、NK l _Toc3582093642.4 均值不等式在證明極限的存在性時的應用 PAGEREF _Toc358209364 h 17HYPERLINK l _Toc3582093652.5 均值不等式在判斷級數(shù)斂散性中的應用 PAGEREF _Toc358209365 h 19HYPERLINK l _Toc3582093662.6 均值不等式在證明積分不等式中的應用 PAGEREF _Toc358209366 h 19HYPERLINK l _Toc3582093673 結論 PAGEREF _Toc358209367 h 21HYPERLINK l _Toc358209368參考文獻:

10、PAGEREF _Toc358209368 h 22HYPERLINK l _Toc358209369致謝 PAGEREF _Toc358209369 h 23前言不等式在數(shù)學的各個領域和科學技術中都是不可缺少的根本工具, 而均值不等式是重中之重. 通過學習均值不等式，不僅可以幫助我們解決一些實際問題，還可以培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維能力，以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學習習慣. 因此，研究均值不等式的證明方法及應用，是一個既有理論意義又有廣泛現(xiàn)實意義的問題.均值不等式的證明及運用均值不等式來解決數(shù)學中的*些問題，在數(shù)學研究中歷歷可見. 如，比擬大小、求函數(shù)的最值、證明不等式常利用均值不

11、等式的方法進展解答. 均值不等式還是高等數(shù)學中最根本的運算之一，作為最根本不等式，在解決高等數(shù)學問題中也發(fā)揮著重要的作用. 運用均值不等式可以使復雜的問題簡單化，繁瑣的問題清晰化. 著名數(shù)學家阿基米德最先運用了均值不等式，證明了球和圓柱的相關問題.此后科學家們對均值不等式的證明方法進展了深入的研究，并在此根底上把均值不等式應用到了其他領域. 當前, 我國許多學者對均值不等式的證明方法及應用進展了大量的研究. 如，陳益琳在學生利用均值不等式解題時遇到的常見問題作了總結性的工作.冉凱對均值不等式在數(shù)學分析中的應用做了探討. 均值不等式在解決許多問題中發(fā)揮著重要的作用.本文將對均值不等式的證明方法及

12、應用進展歸納和總結.1 均值不等式的證明方法首先,我們給出均值不等式.定理1 設是個正數(shù)，則， 上式當且僅當時等號成立.上述不等式我們稱之為算術幾何平均不等式,以后簡稱均值不等式. 我們把和分別叫做這個數(shù)的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù),分別記做和，(1-1)式即為. 下面給出均值不等式的幾種證明方法.1.1 柯西法當時,由于.有,得.當時,.當時,.這樣的步驟重復次之后將會得到, 令有即 .這個歸納法的證明是柯西首次提出的,我們將它稱之為柯西法.1.2 數(shù)學歸納法證法一當時，不等式顯然成立.假設當時,命題成立.則當時,.因為具有全對稱性，所以不妨設,.顯然 ,以及.于是,.所以=.即兩邊乘以,得.從

13、而,有.所以，由數(shù)學歸納法，均值不等式對一切成立，即.證法二當時，不等式顯然成立；假設當時成立.則當時，有，于是.所以,所以 .當且僅當且時等號成立.由數(shù)學歸納法知,均值不等式對一切成立，即1.3 詹森不等式法引理1(Jensen不等式)假設為區(qū)間上的凸函數(shù)，對任意，且，則 (1-3) 成立. 下面利用詹森不等式證明均值不等式.令 ,易知在是凸函數(shù).由于,令 ，則由引理1有下式,.則 ,因此,即,當且僅當時等號成立.1.4 不等式法在均值不等式的證明中，可以運用一個特殊的不等式進展推導.設，對應用邁克勞林展開式并取拉格朗日余項得:,其中,.因此,.當時，等號成立.下面給出均值不等式的證明過程.

14、取一組數(shù),，使.令.則由(全為零時,取等號)可得,，所以.1.5 幾何法作函數(shù)的圖像,它是凸曲線，并在點處作切線,可見這條切線在函數(shù)的下面(見圖)，因此,可以得到.所以，于是，即,且從上述證明中可知，當且僅當時，等號成立. 圖1-11.6 排序法做序列:,，取其中的一個排列:,，則,.不妨設.則.由排序原理可知,即 ,所以.1.7 均值變量替換法本節(jié)運用數(shù)學歸納和變量替換相結合的方法證明均值不等式.易證時，不等式顯然成立.假設當時，不等式成立.則當時，設,則.設不全為零,必有一個為正,另一個為負,不妨設,由于 ,從而.所以,即.易證,當且僅當時(即時)取等號,故原不等式成立1.8 構造概率模型

15、法首先給出證明過程中要用到的一個引理.引理2設是一個隨機變量,并且數(shù)學期望存在,則有,. 建立概率模型,設隨機變量的概率分布為,其中,.由引理2可知,即 成立.1.9 逐次調(diào)整法中必存在最值數(shù)，不妨設,. 易見.于是,用取代.不變,但是增大,即,.對于各個,這種代換至多進展次(有限次).因此，.即,當且僅當時,取等號.1.10 泰勒公式法設，則，將在處展開，有.因此有,取,從而.故,即 .因此有 ,即,亦即,故有,.2 均值不等式的應用2.1 均值不等式在證明不等式中的應用一般不等式的證明,常?？紤]比擬法,綜合法,分析法,這是高中比擬常用的方法,但有些不等式運用上述方法不好入手,故考慮均值不等

16、式或者均值不等式與綜合法相結合,這樣處理,常常使復雜問題簡單化,從而到達證明的目的.下面舉幾個例子予以說明.例1為互不相等的正數(shù),且.求證.證明.故原不等式得證.例2證明 .證明由均值不等式得,.以上三式相加得,，即有,.原不等式得證.例3 設圓的半徑為,兩弦和均與直徑交,記與和的交點分別為和Q,求證.圖證明如圖,設為弦的中點,連接,則為等腰直角三角形,且.同理,.由均值不等式得，.即，原不等式得證.2.2均值不等式在比擬大小問題中的應用比擬大小問題是高中數(shù)學中常見的問題，準確巧妙地運用均值不等式是快速解決這類問題的關鍵.例4 假設，,試判斷之間的大小關系.解 由均值不等式，得.由于，所以不能

17、取等號,即.2.3 均值不等式在求最值問題中的應用均值不等式在求函數(shù)最值,解決一些取值*圍問題時運用非常廣泛,是重要知識點之一.在實際應用問題中,我們應因題而宜地進展變換,并注意等號成立的條件,到達解題的目的,變換題目所給函數(shù)的形式,利用熟悉知識求解是常用的解題技巧,熟練運用該技巧,對于提高思維的靈活性和嚴密性大有益處.例5 求以下函數(shù)的值域：(1)； (2).解 (1)因為,. 所以,值域為.(2)當時，.當時,故,值域為例6 假設,求函數(shù)的最大值.解因為,.所以,，故的最大值是4.例7 制作容積一定的有蓋圓柱形罐頭, 當圓柱高h 和底面半徑r 的比為何值時,使用的材料最省 (不計加工損耗)

18、解設圓,當且僅當, 即時, 材料最省. 此時有 ,故,即圓柱形的高與底面半徑之比為2:1時,使用的材料最省. 均值不等式求最值時常見錯誤運用均值不等式解題是一項重要內(nèi)容,運用這種方法有三個條件:(1)正;(2)定;(3)相等.在此運用過程中,往往需要對相關對象進展適當?shù)胤糯?、縮小, 或不等式之間進展傳遞等變形,在此過程中,學生常常因為無視條件成立而導致錯誤,而且錯誤不易發(fā)覺.因此,就這一問題列舉幾個例子進展說明.例8 求的值域.分析在解題時,我們常常寫成，故.雖然的積是常數(shù),但不一定是正數(shù),無視均值不等式中的各項為正致錯,因此解法是錯誤的.下面給出正確解法.解 當時,當且僅當,即時等號成立;當

19、時,所以,當且僅當時取等號,所以原函數(shù)的值域為.例9 求的最小值.分析在解題時,我們常常寫成，所以的最小值是2.可是在中,當且僅當,即,這是不可能的,所以等號不成立,這個問題無視均值不等式中等號成立條件.故原式的最小值不是2.下面給出正確解法.解在中,令, 則(),易證在上遞增,所以的最小值是,當且僅當時,即,取號.例10假設正數(shù)滿足,求的最大值.分析在解題時,我們常常寫成,當且僅當且,即時取號, 將其代入上式,可得的最大值為4.初看起來,很有道理, 其實在用均值不等式求最值時,在各項為正的前提下,應先考慮定值,再考慮等號是否成立.但在中,不是定值,所以的最大值不是4.這個問題無視了均值不等式

20、中積或和是定值的條件.下面給出正確解.解 因, 當且僅當時(此時)取號, 所以. 均值不等式求最值失效時的對策.運用均值不等式是求最值的一種常用方法, 但由于其約束條件苛刻,在使用時往往顧此失彼,從而導致均值不等式失效. 下面例說幾種常用的處理策略.例11,求的最大值.解因為，所以，,從而有，即，當且僅當即時等號成立，故. 此題滿足為定值，但因為,，所以此時不能直接應用均值不等式，需將負數(shù)化正后再使用均值不等式.例12求的最大值.解，當且僅當,即時等號成立.故. 此題不是定值,但可通過平衡系數(shù)來滿足和為定值.例13 ,求的最小值.解，當且僅當,即,時等號成立.故.此題 不是定值,但可通過添項、

21、減項來滿足積為定值.例14 ,求的最小值.解.當且僅當且,即時等號成立.故.此題雖有為定值,但不可能成立.故可通過拆項來滿足等號成立的條件.例15 ,則有_.最大值最小值最大值1. 最小值1.解,當且僅當,即時等號成立.應選 .此題看似無法使用均值不等式,但對函數(shù)式進展別離,便可創(chuàng)造出使用均值不等式的條件.2.4 均值不等式在證明極限的存在性時的應用極限概念是高等數(shù)學中的重要概念，在證明數(shù)列極限的存在性時,需證明數(shù)列單調(diào)及數(shù)列有界.而在此過程中便運用了均值不等式的相關內(nèi)容.下面舉例說明.例16 證明重要極限的存在性.證明 先證數(shù)列單調(diào)遞增. 令，則由均值不等式得, .即 ,所以.所以數(shù)列單調(diào)遞

22、增.再證數(shù)列有上界. 下面的證明可以看到一個更強的命題：數(shù)列以為正整數(shù)為上界.先證不等式, 當時, .設，.由均值不等式，所以,因此，.其次由,有,所以.當時，任取一個正整數(shù)，均是數(shù)列的上界.又數(shù)列單調(diào)遞增，所以,當時,不等式仍然成立.因此，對于數(shù)列 , 恒有為正整數(shù). 任意選定一個值， 均是數(shù)列的上界.所以數(shù)列 單調(diào)有界,由單調(diào)有界定理,數(shù)列 極限存在.極限值為，即.例17 證明數(shù)列極限存在且其極限是.證明 令.所以,數(shù)列單調(diào)減少.又,則數(shù)列有下界.因為 和的極限都存在,所以 .因此,數(shù)列極限存在且其極限是.例18 證明. 證明 由均值不等式1-1有:,從而有,故.2.5 均值不等式在判斷級

23、數(shù)斂散性中的應用均值不等式的應用很廣泛,在證明級數(shù)的斂散性時也有很重要的應用.例19 正項級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂.證明 因為,由均值不等式，有,級數(shù)收斂,所以級數(shù)與都收斂，從而級數(shù)也收斂，再由比擬判別法，知級數(shù)收斂.2.6 均值不等式在證明積分不等式中的應用積分不等式是一種特殊的不等式,而均值不等式又是證明不等式的重要方法.因此,在積分不等式的證明中我們自然會想到運用均值不等式來進展證明.例20 證明函數(shù)在上是正值可積的,且,則.證明 利用.有,.于是，即.例21設在上非負連續(xù)，證明.證明 由題設知在上可積，將等分，作積分和，.所以.由均值不等式得,.故 .3 結論均值不等式是數(shù)學中的重要內(nèi)

24、容，對培養(yǎng)數(shù)學思維開展有很大幫助.本文重在梳理均值不等式的相關證明方法和應用.如，運用均值不等式時，一定時刻謹記一正、二定、三相等原則，具體問題具體分析，有時可以通過轉化到達運用均值不等式解題的目的.本文系統(tǒng)地歸納總結均值不等式的各種證明方法及其在具體解題分析和論證推理過程中的應用.通過本論文的撰寫，更深刻地理解均值不等式在證明問題和解題中的重要作用.參考文獻:1中譯本朱恩寬、李文銘等譯:阿基米德全集M. *：*科學技術,1998.2陳侃.算術-幾何平均值不等式的證明J.*學院學報,2008,6(3):129-130. 3熊桂武 .概率方法在不等式證明中的應用J.*師*大學學報,2003,12:89-91.4敦茂.算術平均值與幾何平均值不等式的各種證法J.云夢學刊,1980,1(3):65-80.5Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequalityJ.Mathematics Maga