均值不等式的證明方法及應(yīng)用

1、-. z.均值不等式的證明方法及應(yīng)用摘要均值不等式在不等式理論中處于核心地位，是現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的不等式之一。應(yīng)用均值不等式，可以使一些較難的問題得到簡化處理。本文首先系統(tǒng)全面地總結(jié)了均值不等式的十種證明方法,其中包括柯西法、數(shù)學(xué)歸納法、詹森不等式法、不等式法、幾何法、排序法、均值變量替換法、構(gòu)造概率模型法、逐次調(diào)整法、泰勒公式法；其次,結(jié)合相關(guān)例題給出均值不等式在證明不等式、比擬大小、求最值、證明極限的存在性、判斷級數(shù)斂散性、證明積分不等式方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞:均值不等式；數(shù)學(xué)歸納法；最值；極限；積分不等式 PROOFS AND APPLICATIONS ONAVERAGE VALUE

2、 INEQUALITY ABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of the most widely used inequalitiesin modern mathematics. Using average inequality can make some difficult problems simple. In this paper,ten proof methodsof average value inequality are firstsyste

3、matically summarized, including Cauchy method, mathematical induction, Jensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitution method of average value, constructing probability model method, successive adjustment method, Taylor formula method, respectively. Secon

4、dly,we give applications of average value inequality bining the corresponding e*ampleson paring the size, solving ma*imum and minimum, proving the e*istenceof the limit, judging convergence of series and proving integral inequality.Keywords: average value inequality; mathematical induction; ma*imum

5、and minimum; limit; integral inequality目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc358209346前言 PAGEREF _Toc358209346 h 4HYPERLINK l _Toc3582093471 均值不等式的證明方法 PAGEREF _Toc358209347 h 5HYPERLINK l _Toc3582093481.1 柯西法 PAGEREF _Toc358209348 h 5HYPERLINK l _Toc3582093491.2 數(shù)學(xué)歸納法 PAGEREF _Toc358209349 h 6HYPERLIN

6、K l _Toc3582093501.3 詹森不等式法 PAGEREF _Toc358209350 h 7HYPERLINK l _Toc3582093511.4 不等式法 PAGEREF _Toc358209351 h 7HYPERLINK l _Toc3582093521.5 幾何法 PAGEREF _Toc358209352 h 8HYPERLINK l _Toc3582093531.6 排序法 PAGEREF _Toc358209353 h 9HYPERLINK l _Toc3582093541.7 均值變量替換法 PAGEREF _Toc358209354 h 9HYPERLINK

7、l _Toc3582093551.8 構(gòu)造概率模型法 PAGEREF _Toc358209355 h 9HYPERLINK l _Toc3582093561.9 逐次調(diào)整法 PAGEREF _Toc358209356 h 10HYPERLINK l _Toc3582093571.10 泰勒公式法 PAGEREF _Toc358209357 h 10HYPERLINK l _Toc3582093582 均值不等式的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209358 h 12HYPERLINK l _Toc3582093592.1 均值不等式在證明不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209

8、359 h 12HYPERLINK l _Toc3582093602.2均值不等式在比擬大小問題中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209360 h 13HYPERLINK l _Toc3582093612.3 均值不等式在求最值問題中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209361 h 13HYPERLINK l _Toc3582093622.3.1 均值不等式求最值時(shí)常見錯(cuò)誤 PAGEREF _Toc358209362 h 14HYPERLINK l _Toc3582093632.3.2 均值不等式求最值失效時(shí)的對策 PAGEREF _Toc358209363 h 16HYPERLI

9、NK l _Toc3582093642.4 均值不等式在證明極限的存在性時(shí)的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209364 h 17HYPERLINK l _Toc3582093652.5 均值不等式在判斷級數(shù)斂散性中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209365 h 19HYPERLINK l _Toc3582093662.6 均值不等式在證明積分不等式中的應(yīng)用 PAGEREF _Toc358209366 h 19HYPERLINK l _Toc3582093673 結(jié)論 PAGEREF _Toc358209367 h 21HYPERLINK l _Toc358209368參考文獻(xiàn):

10、PAGEREF _Toc358209368 h 22HYPERLINK l _Toc358209369致謝 PAGEREF _Toc358209369 h 23前言不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域和科學(xué)技術(shù)中都是不可缺少的根本工具, 而均值不等式是重中之重. 通過學(xué)習(xí)均值不等式，不僅可以幫助我們解決一些實(shí)際問題，還可以培養(yǎng)邏輯推理論證能力和抽象思維能力，以及養(yǎng)成勤于思考、善于思考的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣. 因此，研究均值不等式的證明方法及應(yīng)用，是一個(gè)既有理論意義又有廣泛現(xiàn)實(shí)意義的問題.均值不等式的證明及運(yùn)用均值不等式來解決數(shù)學(xué)中的*些問題，在數(shù)學(xué)研究中歷歷可見. 如，比擬大小、求函數(shù)的最值、證明不等式常利用均值不

11、等式的方法進(jìn)展解答. 均值不等式還是高等數(shù)學(xué)中最根本的運(yùn)算之一，作為最根本不等式，在解決高等數(shù)學(xué)問題中也發(fā)揮著重要的作用. 運(yùn)用均值不等式可以使復(fù)雜的問題簡單化，繁瑣的問題清晰化. 著名數(shù)學(xué)家阿基米德最先運(yùn)用了均值不等式，證明了球和圓柱的相關(guān)問題.此后科學(xué)家們對均值不等式的證明方法進(jìn)展了深入的研究，并在此根底上把均值不等式應(yīng)用到了其他領(lǐng)域. 當(dāng)前, 我國許多學(xué)者對均值不等式的證明方法及應(yīng)用進(jìn)展了大量的研究. 如，陳益琳在學(xué)生利用均值不等式解題時(shí)遇到的常見問題作了總結(jié)性的工作.冉凱對均值不等式在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用做了探討. 均值不等式在解決許多問題中發(fā)揮著重要的作用.本文將對均值不等式的證明方法及

12、應(yīng)用進(jìn)展歸納和總結(jié).1 均值不等式的證明方法首先,我們給出均值不等式.定理1 設(shè)是個(gè)正數(shù)，則， 上式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.上述不等式我們稱之為算術(shù)幾何平均不等式,以后簡稱均值不等式. 我們把和分別叫做這個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù),分別記做和，(1-1)式即為. 下面給出均值不等式的幾種證明方法.1.1 柯西法當(dāng)時(shí),由于.有,得.當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),.這樣的步驟重復(fù)次之后將會(huì)得到, 令有即 .這個(gè)歸納法的證明是柯西首次提出的,我們將它稱之為柯西法.1.2 數(shù)學(xué)歸納法證法一當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立.假設(shè)當(dāng)時(shí),命題成立.則當(dāng)時(shí),.因?yàn)榫哂腥珜ΨQ性，所以不妨設(shè),.顯然 ,以及.于是,.所以=.即兩邊乘以,得.從

13、而,有.所以，由數(shù)學(xué)歸納法，均值不等式對一切成立，即.證法二當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)成立.則當(dāng)時(shí)，有，于是.所以,所以 .當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立.由數(shù)學(xué)歸納法知,均值不等式對一切成立，即1.3 詹森不等式法引理1(Jensen不等式)假設(shè)為區(qū)間上的凸函數(shù)，對任意，且，則 (1-3) 成立. 下面利用詹森不等式證明均值不等式.令 ,易知在是凸函數(shù).由于,令 ，則由引理1有下式,.則 ,因此,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.1.4 不等式法在均值不等式的證明中，可以運(yùn)用一個(gè)特殊的不等式進(jìn)展推導(dǎo).設(shè)，對應(yīng)用邁克勞林展開式并取拉格朗日余項(xiàng)得:,其中,.因此,.當(dāng)時(shí)，等號成立.下面給出均值不等式的證明過程.

14、取一組數(shù),，使.令.則由(全為零時(shí),取等號)可得,，所以.1.5 幾何法作函數(shù)的圖像,它是凸曲線，并在點(diǎn)處作切線,可見這條切線在函數(shù)的下面(見圖)，因此,可以得到.所以，于是，即,且從上述證明中可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立. 圖1-11.6 排序法做序列:,，取其中的一個(gè)排列:,，則,.不妨設(shè).則.由排序原理可知,即 ,所以.1.7 均值變量替換法本節(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納和變量替換相結(jié)合的方法證明均值不等式.易證時(shí)，不等式顯然成立.假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立.則當(dāng)時(shí)，設(shè),則.設(shè)不全為零,必有一個(gè)為正,另一個(gè)為負(fù),不妨設(shè),由于 ,從而.所以,即.易證,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)(即時(shí))取等號,故原不等式成立1.8 構(gòu)造概率模型

15、法首先給出證明過程中要用到的一個(gè)引理.引理2設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,并且數(shù)學(xué)期望存在,則有,. 建立概率模型,設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,其中,.由引理2可知,即 成立.1.9 逐次調(diào)整法中必存在最值數(shù)，不妨設(shè),. 易見.于是,用取代.不變,但是增大,即,.對于各個(gè),這種代換至多進(jìn)展次(有限次).因此，.即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號.1.10 泰勒公式法設(shè)，則，將在處展開，有.因此有,取,從而.故,即 .因此有 ,即,亦即,故有,.2 均值不等式的應(yīng)用2.1 均值不等式在證明不等式中的應(yīng)用一般不等式的證明,常?？紤]比擬法,綜合法,分析法,這是高中比擬常用的方法,但有些不等式運(yùn)用上述方法不好入手,故考慮均值不等

16、式或者均值不等式與綜合法相結(jié)合,這樣處理,常常使復(fù)雜問題簡單化,從而到達(dá)證明的目的.下面舉幾個(gè)例子予以說明.例1為互不相等的正數(shù),且.求證.證明.故原不等式得證.例2證明 .證明由均值不等式得,.以上三式相加得,，即有,.原不等式得證.例3 設(shè)圓的半徑為,兩弦和均與直徑交,記與和的交點(diǎn)分別為和Q,求證.圖證明如圖,設(shè)為弦的中點(diǎn),連接,則為等腰直角三角形,且.同理,.由均值不等式得，.即，原不等式得證.2.2均值不等式在比擬大小問題中的應(yīng)用比擬大小問題是高中數(shù)學(xué)中常見的問題，準(zhǔn)確巧妙地運(yùn)用均值不等式是快速解決這類問題的關(guān)鍵.例4 假設(shè)，,試判斷之間的大小關(guān)系.解 由均值不等式，得.由于，所以不能

17、取等號,即.2.3 均值不等式在求最值問題中的應(yīng)用均值不等式在求函數(shù)最值,解決一些取值*圍問題時(shí)運(yùn)用非常廣泛,是重要知識(shí)點(diǎn)之一.在實(shí)際應(yīng)用問題中,我們應(yīng)因題而宜地進(jìn)展變換,并注意等號成立的條件,到達(dá)解題的目的,變換題目所給函數(shù)的形式,利用熟悉知識(shí)求解是常用的解題技巧,熟練運(yùn)用該技巧,對于提高思維的靈活性和嚴(yán)密性大有益處.例5 求以下函數(shù)的值域：(1)； (2).解 (1)因?yàn)?. 所以,值域?yàn)?(2)當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí),故,值域?yàn)槔? 假設(shè),求函數(shù)的最大值.解因?yàn)?.所以,，故的最大值是4.例7 制作容積一定的有蓋圓柱形罐頭, 當(dāng)圓柱高h(yuǎn) 和底面半徑r 的比為何值時(shí),使用的材料最省 (不計(jì)加工損耗)

18、解設(shè)圓,當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí), 材料最省. 此時(shí)有 ,故,即圓柱形的高與底面半徑之比為2:1時(shí),使用的材料最省. 均值不等式求最值時(shí)常見錯(cuò)誤運(yùn)用均值不等式解題是一項(xiàng)重要內(nèi)容,運(yùn)用這種方法有三個(gè)條件:(1)正;(2)定;(3)相等.在此運(yùn)用過程中,往往需要對相關(guān)對象進(jìn)展適當(dāng)?shù)胤糯?、縮小, 或不等式之間進(jìn)展傳遞等變形,在此過程中,學(xué)生常常因?yàn)闊o視條件成立而導(dǎo)致錯(cuò)誤,而且錯(cuò)誤不易發(fā)覺.因此,就這一問題列舉幾個(gè)例子進(jìn)展說明.例8 求的值域.分析在解題時(shí),我們常常寫成，故.雖然的積是常數(shù),但不一定是正數(shù),無視均值不等式中的各項(xiàng)為正致錯(cuò),因此解法是錯(cuò)誤的.下面給出正確解法.解 當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立;當(dāng)

19、時(shí),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以原函數(shù)的值域?yàn)?例9 求的最小值.分析在解題時(shí),我們常常寫成，所以的最小值是2.可是在中,當(dāng)且僅當(dāng),即,這是不可能的,所以等號不成立,這個(gè)問題無視均值不等式中等號成立條件.故原式的最小值不是2.下面給出正確解法.解在中,令, 則(),易證在上遞增,所以的最小值是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即,取號.例10假設(shè)正數(shù)滿足,求的最大值.分析在解題時(shí),我們常常寫成,當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí)取號, 將其代入上式,可得的最大值為4.初看起來,很有道理, 其實(shí)在用均值不等式求最值時(shí),在各項(xiàng)為正的前提下,應(yīng)先考慮定值,再考慮等號是否成立.但在中,不是定值,所以的最大值不是4.這個(gè)問題無視了均值不等式

20、中積或和是定值的條件.下面給出正確解.解 因, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)(此時(shí))取號, 所以. 均值不等式求最值失效時(shí)的對策.運(yùn)用均值不等式是求最值的一種常用方法, 但由于其約束條件苛刻,在使用時(shí)往往顧此失彼,從而導(dǎo)致均值不等式失效. 下面例說幾種常用的處理策略.例11,求的最大值.解因?yàn)?，所以?從而有，即，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故. 此題滿足為定值，但因?yàn)?，所以此時(shí)不能直接應(yīng)用均值不等式，需將負(fù)數(shù)化正后再使用均值不等式.例12求的最大值.解，當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立.故. 此題不是定值,但可通過平衡系數(shù)來滿足和為定值.例13 ,求的最小值.解，當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號成立.故.此題 不是定值,但可通過添項(xiàng)、

21、減項(xiàng)來滿足積為定值.例14 ,求的最小值.解.當(dāng)且僅當(dāng)且,即時(shí)等號成立.故.此題雖有為定值,但不可能成立.故可通過拆項(xiàng)來滿足等號成立的條件.例15 ,則有_.最大值最小值最大值1. 最小值1.解,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立.應(yīng)選 .此題看似無法使用均值不等式,但對函數(shù)式進(jìn)展別離,便可創(chuàng)造出使用均值不等式的條件.2.4 均值不等式在證明極限的存在性時(shí)的應(yīng)用極限概念是高等數(shù)學(xué)中的重要概念，在證明數(shù)列極限的存在性時(shí),需證明數(shù)列單調(diào)及數(shù)列有界.而在此過程中便運(yùn)用了均值不等式的相關(guān)內(nèi)容.下面舉例說明.例16 證明重要極限的存在性.證明 先證數(shù)列單調(diào)遞增. 令，則由均值不等式得, .即 ,所以.所以數(shù)列單調(diào)遞

22、增.再證數(shù)列有上界. 下面的證明可以看到一個(gè)更強(qiáng)的命題：數(shù)列以為正整數(shù)為上界.先證不等式, 當(dāng)時(shí), .設(shè)，.由均值不等式，所以,因此，.其次由,有,所以.當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)正整數(shù)，均是數(shù)列的上界.又?jǐn)?shù)列單調(diào)遞增，所以,當(dāng)時(shí),不等式仍然成立.因此，對于數(shù)列 , 恒有為正整數(shù). 任意選定一個(gè)值， 均是數(shù)列的上界.所以數(shù)列 單調(diào)有界,由單調(diào)有界定理,數(shù)列 極限存在.極限值為，即.例17 證明數(shù)列極限存在且其極限是.證明 令.所以,數(shù)列單調(diào)減少.又,則數(shù)列有下界.因?yàn)?和的極限都存在,所以 .因此,數(shù)列極限存在且其極限是.例18 證明. 證明 由均值不等式1-1有:,從而有,故.2.5 均值不等式在判斷級

23、數(shù)斂散性中的應(yīng)用均值不等式的應(yīng)用很廣泛,在證明級數(shù)的斂散性時(shí)也有很重要的應(yīng)用.例19 正項(xiàng)級數(shù)收斂，證明級數(shù)也收斂.證明 因?yàn)?由均值不等式，有,級數(shù)收斂,所以級數(shù)與都收斂，從而級數(shù)也收斂，再由比擬判別法，知級數(shù)收斂.2.6 均值不等式在證明積分不等式中的應(yīng)用積分不等式是一種特殊的不等式,而均值不等式又是證明不等式的重要方法.因此,在積分不等式的證明中我們自然會(huì)想到運(yùn)用均值不等式來進(jìn)展證明.例20 證明函數(shù)在上是正值可積的,且,則.證明 利用.有,.于是，即.例21設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，證明.證明 由題設(shè)知在上可積，將等分，作積分和，.所以.由均值不等式得,.故 .3 結(jié)論均值不等式是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)

24、容，對培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維開展有很大幫助.本文重在梳理均值不等式的相關(guān)證明方法和應(yīng)用.如，運(yùn)用均值不等式時(shí)，一定時(shí)刻謹(jǐn)記一正、二定、三相等原則，具體問題具體分析，有時(shí)可以通過轉(zhuǎn)化到達(dá)運(yùn)用均值不等式解題的目的.本文系統(tǒng)地歸納總結(jié)均值不等式的各種證明方法及其在具體解題分析和論證推理過程中的應(yīng)用.通過本論文的撰寫，更深刻地理解均值不等式在證明問題和解題中的重要作用.參考文獻(xiàn):1中譯本朱恩寬、李文銘等譯:阿基米德全集M. *：*科學(xué)技術(shù),1998.2陳侃.算術(shù)-幾何平均值不等式的證明J.*學(xué)院學(xué)報(bào),2008,6(3):129-130. 3熊桂武 .概率方法在不等式證明中的應(yīng)用J.*師*大學(xué)學(xué)報(bào),2003,12:89-91.4敦茂.算術(shù)平均值與幾何平均值不等式的各種證法J.云夢學(xué)刊,1980,1(3):65-80.5Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequalityJ.Mathematics Maga