專題15空間位置關(guān)系與距離(教師版)

1、專題 15 空間位置關(guān)系與距離 高考在考什么【考題回放】1已知平面 外不共線的三點A,B,C到 的距離都相等 ,則正確的結(jié)論是 ( B)A. 平面 ABC 必平行于 B. 存在 ABC 的一條中位線平行于或在 內(nèi)C. 平面 ABC 必與 相交D. 平面 ABC 必不垂直于 D 1C 12如圖，過平行六面體ABCD-A 1 B1C1D1 任意兩條棱的中點作直線 ,其中與平面 DBB 1D1 平行的直線共有 ( D ) AB1A.4 條B.6條C.8 條D.12 條1D3設(shè)三棱柱 ABC A 1B1C1 的體積為 V ， P、 Q 分別C是側(cè)棱 AA 1、CC1 上的點，且 PA=QC 1，則四棱

2、錐 B APQC 的體積為（ C ）ABA1VB 1VC 1VD 1V64324已知 m、 n 是兩條不重合的直線， 、 、 是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若m, m,則/；若,則 /若 m, n,m / n,則/；若 m、n 是異面直線， m, m/ , n,n /,則 /，其中真命題是（D）A 和B 和C和D和5在正方形 ABCDAB C D 中，過對角線 BD 的一個平面交 AA 于 E，交 CC 于 F，則()四邊形 BFD E 一定是平行四邊形四邊形 BFD E 有可能是正方形四邊形 BFD E 在底面 ABCD 內(nèi)的投影一定是正方形四邊形 BFD E 有可能垂直于平面B

3、B D以上結(jié)論正確的為。（寫出所有正確結(jié)論的編號）6如圖，四面體 ABCD 中， O、 E 分別 BD 、BC 的中點 , CA CBCD BD 2,ABAD2.（）求證：AO 平面 BCD ；（）求異面直線AB 與 CD 所成角的大??；（）求點E 到平面 ACD 的距離 .【專家解答 】AM（ I）證明：連結(jié) OCDBODO, ABAD ,AOBD.OBODO, BCCD ,COBD.BEC在AOC 中，由已知得AO1,CO3.而 AC2,AO 2CO 2AC 2,AOC90o , 即 AOOC.BDOCO ,AO平面 BCD（ II ）取 AC 的中點 M ，連結(jié) OM 、ME 、OE，由

4、 E 為 BC 的中點知 MEAB,OEDC直線 OE 與 EM 所成的銳角就是異面直線AB 與 CD 所成的角在OME 中， EM1 AB2 ,OE1 DC1,2221 ACOM 是直角AOC 斜邊 AC 上的中線， OM1,2cos OEM2 ,異面直線 AB 與 CD 所成角的大小為 arccos2 .44（ III ）設(shè)點 E 到平面 ACD 的距離為 h.VE ACD VA CDE ,11h.S ACD.AO.S CDE .33在ACD 中, CACD2, AD2,S ACD1222( 2)27.222133AO.S CDE1321而 AO 1,S CDE2222,h7.42S AC

5、D72點 E 到平面 ACD 的距離為21 .7 高考要考什么【考點透視】判斷線線、線面、面面的平行與垂直，求點到平面的距離及多面體的體積。【熱點透析】1 轉(zhuǎn)化思想：線線平行線面平行面面平行,線線線面面面； 異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為平行線面之間的距離，平行線面、平行面面之間的距離轉(zhuǎn)化為點與面的距離。2空間距離則主要是求點到面的距離主要方法：體積法；直接法 ,找出點在平面內(nèi)的射影 高考將考什么【范例 1】如圖，在五面體ABCDEF 中，點 O 是矩形 ABCD 的對角線的交點，面CDE 是等邊三角形，棱 EF /1BC 2（ 1）證明 FO /平面 CDE ；（ 2）設(shè) BC3CD ，M證明 EO

6、平面 CDF 解析：（）取 CD 中點 M ，連結(jié) OM.在矩形 ABCD 中， OM /1BC，又 EF/1BC，則 EF/OM ，22連結(jié) EM ，于是四邊形EFOM 為平行四邊形 .FO / EM又FO平面 CDE， EM平面 CDE ， FO平面 CDE（）證明：連結(jié)FM ，由（）和已知條件，在等邊CDE 中，CMDM ,EMCD且EM3CD 1BC EF.22因此平行四邊形EFOM 為菱形，從而EO FM 而 FMCD=M ， CD平面 EOM ，從而 CD EO. 而 FMCDM ，所以 EO平面 CDF.【點晴】 本小題考查直線與平面平行、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，注意線面平行和

7、線面垂直判定定理的使用，考查空間想象能力和推理論證能力。【文】 如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，底面為直角梯形 , AD BC ， BAD=90， PA底面 ABCD ，且 PAAD=AB =2BC ， M 、N 分別為 PC、 PB 的中點。( )求證： PB DM;( )求 CD 與平面 ADMN 所成的角解析：方法一：（ I）因為 N 是 PB 的中點， PAPB ，所以 ANPB .因為 AD平面 PAB ，所以 ADPB ，從而 PB平面 ADMN .因為 DM平面 ADMN ，所以 PB DM .（II）取AD 的中點 G，連結(jié) BG、 NG，則 BG/CD ，所以 BG與平面

8、ADMN 所成的角和 CD 與平面 ADMN 所成的角相等 .因為 PB平面 ADMN ，所以BGN 是 BG 與平面 ADMN 所成的角 .在 Rt BGN 中， sin BNGBN10BG.510故 CD 與平面 ADMN 所成的角是 arcsin.5方法二：以 A 為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz ，設(shè) BC1，則1A(0,0,0), P(0,0,2), B(2,0,0), C (2,1,0), M (1,1), D (0,2,0) .2（ I）因為 PBDM(2,0,2)(1,30 ，所以 PBDM .,1)2（II）因為 PBAD(2,0,2)(0, 2,0)0 ，所以 PBAD

9、 ，又因為 PBDM ，所以 PB平面 ADMN .因此PB, DC的余角即是CD 與平面 ADMN 所成的角 .因為 cosPB, DCPBDC10，|PB|DC |5所以 CD 與平面 ADMN 所成的角為 arcsin10.5【點晴】 注意線線垂直常使用線面垂直得到解決，線面角關(guān)鍵是找到射影，遵循一作二證三計算的步驟。同時使用空間向量能降低對空間想象能力的要求?！痉独?2】如圖，四棱錐P ABCD 中，底面ABCD為矩形， AB=8 ， AD=43 ，側(cè)面 PAD 為等邊三角形，并且與底面所成二面角為60.（）求四棱錐PABCD 的體積；（）證明 PA BD.解析：（）如圖，取 AD 的

10、中點 E，連結(jié) PE，則 PE AD.作 PO平面在 ABCD ，垂足為 O，連結(jié) OE.根據(jù)三垂線定理的逆定理得OEAD ，所以 PEO 為側(cè)面 PAD 與底面所成的二面角的平面角，由已知條件可知PEO=60 ， PE=6，所以 PO=33 ，四棱錐 PABCD 的體積 V P ABCD = 18 43 3396.33 )，（） 法 1 如圖，以 O 為原點建立空間直角坐標(biāo)系.通過計算可得 P(0，0，3A(2 3 ， 3， 0)，B(23 ，5，0)，D(23 ，3，0)所以 PA (23, 3,33), BD( 43, 8,0).因為 PA BD242400,所以 PABD.法 2：連結(jié)

11、 AO ，延長 AO 交 BD 于點 F.通過計算可得 EO=3 ， AE=23 ，又知 AD=4 3 ， AB=8 ，得 EOAD . 所以 Rt AEO RtBAD. 得 EAO= ABD.AEAB所以 EAO+ ADF=90所以AF BD.因為直線 AF 為直線 PA 在平面 ABCD 內(nèi)的身影，所以 PA BD.【點晴】 本小題主要考查棱錐的體積、二面角、異面直線所成的角等知識和空間想象能力、分析問題能力，解題的關(guān)鍵是二面角的使用。使用空間向量能降低對空間想象能力的要求，但坐標(biāo)系的位置不規(guī)則，注意點坐標(biāo)的表示?！疚摹?在直三棱柱 ABCABC 中，ABC90 ,ABBC 1.（ 1）求

12、異面直線 B1C1 與 AC 所成的角的大小；（ 2）若 A1C 與平面 ABC 所成角為 45，求三棱錐 A1ABC 的體積。解析 (1) BC B1C1, ACB 為異面直線 B1C1 與 AC 所成角 (或它的補角 ) ABC=90, AB=BC=1, ACB=45, 異面直線 B1C1 與 AC 所成角為 45.(2) AA 1平面 ABC, ACA 1 是 A 1C 與平面 ABC 所成的角 , ACA =45 . 2,AA1=2 .ABC=90 , AB=BC=1, AC= 三棱錐 A 1-ABC 的體積 V=16SABC AA 1=.32【點晴】 畫圖是學(xué)好立體幾何的基本要求，本

13、題考查了線線角和體積等立幾知識?！痉独?3】如圖，所示的多面體是由底面為 ABCD 的長方體被截面 AEC 1F 所截面而得到的，其中 AB=4 ， BC=2， CC1=3 ， BE=1.（）求BF 的長；（）求點C 到平面 AEC 1F 的距離 .解法 1：（）過E 作 EH/BC 交 CC1 于 H，則 CH=BE=1 ， EH/AD ，且 EH=AD.AF EC1， FAD= C1 EH. Rt ADF Rt EHC1 . DF=C 1H=2.BFBD 2 DF 2 2 6.（）延長C1E 與 CB 交于 G，連 AG ，則平面 AEC 1F 與平面 ABCD 相交于 AG.過 C 作

14、CM AG，垂足為 M，連 C1M，由三垂線定理可知 AG C1M. 由于 AG 面 C1MC ，且 AG 面 AEC 1F，所以平面 AEC 1F面 C1 MC.在 Rt C1CM 中，作 CQ MC 1 ，垂足為Q，則 CQ 的長即為 C 到面 AEC 1F 的距離 .由 EBBG可得,BG1,從而 AGAB2BG217.CC1CG由 GABMCG知, CM3cosMCG3cosGAB3412 ,1717312CM CC117433CQMC112211.3217解法 2：（ I ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（ 0，0， 0），B （ 2，4， 0），A （ 2， 0，0）， C（

15、0， 4，0）， E（2， 4， 1）， C1（ 0， 4， 3） .設(shè) F（0， 0， z） .AEC 1F 為平行四邊形，由 AEC1 F為平行四邊形 ,由 AFEC1得 , ( 2,0, z) ( 2,0,2),z 2. F ( 0,0,2).EF( 2, 4,2).于是|BF| 26,即BF 的長為 2 6.（ II ）設(shè) n1 為面 AEC 1F 的法向量， 顯然 n1不垂直于平面 ADF , 故可設(shè) n1(x, y,1)n1 AE 0,0 x 4 y 1 04y 1 0,x 1,由得即1 .n1 AF 0,2 x 0 y 2 02x 2 0,y4又CC1 (0,0,3),設(shè) CC1

16、與n1 的夾角為 a，則 cosCC1n1433|CC1 | n1 |33. C 到平面 AEC 1F 的距離為 d| CC1 | cos3433433 .3311【點晴】 本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法等基礎(chǔ)知識，空間距離也遵循一作二證三計算的步驟，但體積法是一種很好的求空間距離的方法，同學(xué)們不妨一試?！疚摹空庵鵄BC ABC的底面邊長為，對角線 B C10， 是AC的中點。1 1 181D1）求點 B1 到直線 AC 的距離 .2）求直線 AB1 到平面 C1 BD 的距離解：（ 1）連結(jié) BD ， B1 D ，由三垂線定理可得： B1 DAC ，所以 B1D 就是 B 點到直

17、線 AC 的距離。1在 Rt B1BD 中 BB1B1C 2BC 2102826,BD 4 3B1 DBD 2B1B22 21A1B1C1（ 2）因為AC 與平面 BD C1交于的中點，設(shè) B1C BC1E ，則 AB1 /DE，所以 AB1 /平面 C1 BD ，所以 AB1 到平面 BD C 的距離等于點到平面BD C11D的距離，等于點到平面BD C1的距離，也就等于三棱AC錐C BDC1的高，VBDC 1VC1BDC，CB1 hS BDC11 S BDCCC1，h12 13 ，即直線 AB1 到平面 BD C1 的距離是 12 13331313【點晴】 求空間距離注意三點：1常規(guī)遵循一

18、作二證三計算的步驟；2多用轉(zhuǎn)化的思想求線面和面面距離；3體積法是一種很好的求空間距離的方法【范例 4】如圖，在長方體AC 1 中， AD=AA 1=1，AB=2 ，點 E 在棱 AB 上移動 .（ 1）證明： D 1E A 1D；D1C1（2）當(dāng) E 為 AB 的中點時，求點 E 到面 ACD 1 的距離；A 1B1（3）AE 等于何值時，二面角 D1EC D 的大小為.解析：法 14DCAB（ 1） AE 面 AA 1DD 1， A 1D AD 1， A 1D D1 EE（ 2）設(shè)點 E 到面 ACD 1 的距離為 h，在 ACD 1 中， AC=CD 1=5 ，AD 1=2 ，故 S AD

19、1C12513 ,而S ACE1AEBC1 .22222V D1AEC1 SAECDD 11SAD1C h,113h,h1 .332233）過 D 作 DH CE 于 H，連 D1H 、DE，則 D1H CE， DHD 1為二面角 D1 EC D 的平面角 .D1C1設(shè) AE= x，則 BE=2 xA 1B1在 RtD1 DH 中,DHD 14, DH1.DC在 RtADE 中,DE1x 2 ,AHB在 RtDHE 中,EHx ,E在 RtDHC 中 CH3 , 在 RtCBE 中 CEx 24x 5 .x3x 24 x5x23.AE23時 ,二面角 D1ECD 的大小為.4法 2：以 D 為

20、坐標(biāo)原點，直線 DA 、DC 、DD1 分別為 x、y、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) AE=x，則 A 1(1，0，1)，D1(0， 0，1)，E(1，x，0)，A(1 ，0，0), C(0，2， 0).（ 1）1 ,1E(1,0,1), (1,x,1) 0,11 .因為 DAD所以 DAD Ez（ 2）因為 E 為 AB 的中點，則 E（ 1， 1， 0），D1C1從而 D1E(1,1,1), AC(1,2,0) ， AD1(1,0,1)，B1設(shè)平面 ACD 1 的法向量為 n( a, b, c) ，A1nAC0,a2b0，得a2b，D oCy則也即n AD10,a c 0a cAEBx

21、從而 n( 2,1,2) ，所以點 E 到平面 AD 1C 的距離為 h| D1E n |2 121 .| n |33（ 3）設(shè)平面 D1EC 的法向量 n(a,b, c) ， CE(1, x2,0), D1C(0,2, 1), DD1(0,0,1),nD1C0,2bc0令 b=1,c=2, a=2x，由ab(x2)0.nCE0, n(2 x,1,2). 依題意 cos| nDD1 |222.4| n | | DD1 |2(x 2)252 x123 （不合，舍去） ， x223 .AE= 23 時，二面角 D1 EC D 的大小為.4【點晴】 由線線、線面、面面的位置尋找滿足某些條件的點的位置

22、，是一種新型題目，它能考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力，應(yīng)引起重視，解決這類問題，常用分析法尋找思路。【文】 如圖，已知長方體ABCDA1B1C1D1， AB2, AA11，直線 BD 與平面 AA1B1B 所成的角為300 ， AE 垂直 BD 于 E, F 為 A1B1 的中點（）求異面直線AE 與 BF 所成的角；（）求平面BDF 與平面 AA1B 所成二面角（銳角）的大小；（）求點A 到平面 BDF 的距離解（）連結(jié) B1D1 ，過 F 作 B1D1 的垂線，垂足為 K，A1D1 BB1 與兩底面 ABCD ， A1 B1C1 D1 都垂直，F(xiàn)BBB1FKDFKB1 D1FB平面 BD

23、DB 1AC11 B1B1D1BB1B1E又AEBB 1AEBDAE平面 BDD1 B1BCBB 1BDB因此 FK / AE BFK 為異面直線BF 與 AE 所成的角連結(jié) BK ，由 FK 面 BDD1B1 得 FKBK ，從而BKF 為 Rt在 Rt B1 KF 和 Rt B1D1A1 中，F(xiàn)KA1 D1A1D1 B1 FAD 1AB2311由得 FK23B1F B1 D1B1D1BD22223)2(3SFK2又 BF2 ， cosBFKA 1BK4D 1異面直線BF 與 AE 所成的角為 arccos2FGD4A（）由于AD 面 AAt B 由 A作 BF 的垂線B 1C 1 EAG

24、，垂足為 G ，連結(jié) DG ，則 BGDGBC AGD 即為平面 BDF 與平面 AA1B 所成二面角的平面角。且DAG90 ，在平面 AA1B 中，延長 BF 與 AA1 ；交于點 S 。 F 為 A1B1 的中點 A1F / 1 AB, A1F1 AB,22 A1 、 F 分別為 SA、 SB 的中點，即 SA2A1A2AB 。 Rt BAS 為等腰直角三角形，垂足G 點實為斜邊 SB 的中點 F，即 F、G 重合。易得 AGAF1 SB2 ，在 RtBAS 中， AD2 3 。223AD366 tanAGD3AGDAG2，arctan，33即平面 BDF 于平面 AA1 B 所成二面角（

25、銳角）的大小為arctan6 。3（）由（）知平面 AFD 是平面 BDF 與平面 AA1B 所成二面角的平面角所在的平面面 AFD 面 BDF 在 Rt ADF 中，由作 AH DF 于 H ，則 AH 即為點 A 到平面 BDF 的距離 .由 AHDF=AD AF ，得SA1D122AD AF32FH35DAH5DF2 3)2( 2)2B 1A(C1 E32所以點 A 到平面 BDF 的距離為BC55【點晴】 本題綜合考查了立體幾何的知識，異面直線之間的夾角，面面夾角及點與面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力。 自我提升1設(shè)、為兩個不同的平面， l、m 為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個

26、命題：若，則 l m；若 l m，則那么（ D ）(A)是真命題，是假命題(B) 是假命題，是真命題(C) 都是真命題(D) 都是假命題2設(shè) A、 B、 C、D 是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的 （C）（A）若 AC 與 BD 共面，則 AD 與 BC 共面B（ B ）若 AC 與 BD 是異面直線，則AD 與 BC 是異面直線(C) 若 AB=AC ， DB=DC ，則 AD=BCAD(D) 若 AB=AC ， DB=DC ，則ADBC3一平面截一球得到直徑是 6cm 的圓面，球心到這個平C面的距離是 4cm，則該球的體積是（C ）(A)100 3(B)208350034163 3

27、cmcm(C)cm(D)3cm3334在正四面體 PABC 中， D ，E， F 分別是 AB ， BC ， CA 的中點，下面四個結(jié)論中不成立 的是（ C）（ A ） BC/ 平面 PDF（ B）DF平面 PA E（ C）平面 PDF平面 ABC（ D）平面 PAE平面 ABC5 m, n 是空間兩條不同直線，,是兩個不同平面，下面有四個命題：m,n /,/mnmn, /, mn /m n, /, m /nm, m / n, /n其中真命題的編號是、 ;（寫出所有真命題的編號）6已知平面與平面交于直線 l ， P 是空間一點， PA ，垂足為 A ， PB ，垂足為 B ，且 PA=1 ，P

28、B=2 ，若點 A 在 內(nèi)的射影與點 B 在 內(nèi)的射影重合，則點 P 到 l 的距離5 .7如圖，正三棱柱 ABC A 1B1C1 的所有棱長都為a，M上一點，滿足 MN AB 1。（ 1）試確定點 N 的位置；（ 2）求點 C1 到平面 AMN 的距離。解 （ 1） M 是 BC 中點， ABC A 1B 1C1 為正三棱柱， AM 平面 B1BCC 1，AM MN， MN AB 1， MN 平面 B1AM ，MN B1N，是 BC 的中點， N 是 CC1A 1C1B 1N設(shè) NC=x，在 RtB1BM 中， B1Ma 21 a 2AC25 a 2 ,Mx2144B在 RtNCM 中， M

29、N 2a 2,4在 Rt B1C1N 中， B1 N2a2 (ax)2 , 在 Rt B1MN 中， B1 N 2B1M 2MN2， a 2(a x)2 5 a 21 a2x 2 , xa , N 在 CC1 的 1 處。4444（ 2）點 C1 到平面 AMN 的距離，即為三棱錐C1 AMN 的高，設(shè)為 h，則 VA MNCVC AMN1 h S AMN ,113 V1AMS MNC1,A MNC1AM S MNC, hS AMN31 AM=3 a ,MN=5 a ,SAMN13 a5 a15 a 2 ,2422416S MNC1S MCC1S MCN11 a211 a1 a3 a2, h3

30、 5 a .2222416108.如圖，直二面角D AB E 中，四邊形ABCD 是邊長為2 的正方形， AE=EB ，F(xiàn)為 CE 上的點，且BF 平面 ACE.（）求證AE 平面 BCE ；（）求二面角B AC E 的大??；（）求點D 到平面 ACE 的距離 .解：（I）BF平面 ACE ,BFAE,DC二面角 D-AB-E 為直二面角，AF平面 ABCD平面 ABE ，B又 BCAB， BC 平面ABE， BCAE ,E又 BF平面 BCE ， BF BC=B ， AE平面 BCE 。（ II ）連結(jié) AC 、 BD 交于 G，連結(jié) FG， ABCD 為正方形， BD AC ， BF 平面