2023屆高三數(shù)學小題狂練-解三角形的實際應用3（含解析）

1、試卷第 =page 7 7頁，共 =sectionpages 8 8頁試卷第 =page 8 8頁，共 =sectionpages 8 8頁一、單選題1如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線米的點處接球，此時，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點處射門，為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為（）ABCD2如圖，在中，點D在線段BC上，且，則的面積的最大值為（）AB4CD3設銳角的內(nèi)角的對邊分別為，已知，則面積的取值范圍為（）ABCD4在中，D在線段上，且，若，則下列說法錯誤的是（）A的面積為8B的周長為C為鈍角

2、三角形D5在平行四邊形中，對角線與交于點，且，則的取值范圍是（）ABCD6如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高AB，某人先在塔的正西方點C處測得塔項的仰角為45，然后從點C處沿南偏東30方向前進60到達點D處，在D處測得塔項的仰角為，則鐵塔AB的高度是（）A50B30C25D157如圖，圭表是中國古代通過測量日影長度來確定節(jié)令的儀器，也是作為指導漢族勞動人民農(nóng)事活動的重要依據(jù)，它由“圭”和“表”兩個部件組成，圭是南北方向水平放置測定表影長度的刻板，表是與圭垂直的桿，正午時太陽照在表上，通過測量此時表在圭上的影長來確定節(jié)令.已知冬至和夏至正午時，太陽光線與圭所在平面所成角分別為，測得

3、表影長之差為，那么表高為（）ABCD8在中，角，所對的邊分別為，若，則的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等邊三角形9彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內(nèi)西南紫薇山下.某同學為測量彬塔的高度，選取了與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0，則塔高（）A30mBCD10在中，已知為邊上的一點，且滿足，的面積是面積的兩倍，則的面積為（）ABCD11如圖，四邊形ABCD四點共圓，其中BD為直徑，則的面積為（）ABCD12在中，角所對的邊分別為，則面積的最大值是（）ABCD13阿基米德螺線廣泛存在于自然界中，具有重要作用，如圖

4、，在平面直角坐標系中，螺線與坐標軸依次交于點，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，給出下列兩個結(jié)論：存在正整數(shù)的面積為2022；對于任意正整數(shù)為銳角三角形.則（）A錯誤，錯誤B正確，錯誤C錯誤，正確D正確，正確14滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作滕王閣序中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為，此人往膝王閣方向走了42米到達點B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：）A49米B51米C54米D57米15已知的三邊長分別為、，有以下4個命題：（1）以、為邊長的三角形一定存在；（2）以、為邊長的三角形一定存在

5、；（3）以、為邊長的三角形一定存在；（4）以、為邊長的三角形一定存在；其中正確命題的個數(shù)為（）A1個B2個C3個D4個16在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且acosAbcosB，則AABC為等腰三角形BABC為等腰三角形或直角三角形CABC為等腰直角三角形DABC為直角三角形17已知中，角、所對應的邊分別為、，且，若的面積為，則的取值范圍為（）ABCD18如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔，速度為，飛行員先在A處看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過后，又在B處看到山頂?shù)母┙菫?，則山頂?shù)暮０渭s為（）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）ABCD19已知內(nèi)角，所對的邊分別為，

6、面積為.若，則的形狀是（）A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形20在中，內(nèi)角、所對的邊分別為、，且，則面積的最大值為（）ABCD二、填空題21某海輪以海里/時的速度航行，在點測得海面上油井在南偏東方向上，向北航行分鐘后到達點，測得油井在點的南偏東方向上，海輪改為北偏東的航向再行駛分鐘到達點，則、間的距離為_海里22南宋數(shù)學家秦九韶在數(shù)書九章中提出“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上：以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實：一為從隅，開平方得積可用公式（其中、為三角形的三邊和面積）表示.在中，、分別為角、所對的邊，若，且，則面積的最大值為_.23已知等腰

7、三角形ABC的面積為2，其中ABAC，點O，M，N分別在線段BC，AB，AC上，AOBC且，當點M，N在對應線段上運動時（含端點位置），的最大值為_24已知在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2b2c2bc，a3，則ABC的周長的最大值為_.25歐幾里得在幾何原本中，以基本定義公設和公理作為全書推理的出發(fā)點.其中第卷命題47是著名的畢達哥拉斯定理(勾股定理)，書中給出了一種證明思路：如圖，中，四邊形都是正方形，于點，交于點.先證與全等，繼而得到矩形與正方形面積相等；同理可得到矩形與正方形面積相等；進一步定理可得證.在該圖中，若，則_.26已知、分別為的三個內(nèi)角、的對邊，且，點

8、是邊上的中點，若，則的面積最大值為_27如圖所示，公園直立的路燈桿BC正前方有棵挺拔的小樹NH，在路燈桿前的點A（BC，NH，點A在同一平面內(nèi)）處測得路燈頂點B處和小樹頂點N處的仰角分別為45和30.再朝小樹正前方行走到點M，此時M，N，B三點在同一條直線上.在點M處測得MH=1m，小樹頂點N處的仰角為60，則路燈桿BC的長為_m.28為了測量河對岸兩點C，D間的距離，現(xiàn)在沿岸相距的兩點A，B處分別測得，則間的距離為_.29銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，若，則的取值范圍是_30拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外

9、構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點.”已知內(nèi)接于單位圓，以，為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為，.若，則的面積最大值為_.答案第 = page 23 23頁，共 = sectionpages 24 24頁答案第 = page 24 24頁，共 = sectionpages 24 24頁參考答案：1B【分析】先根據(jù)題意解出長度，設，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解.【詳解】設，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，所以，且，所以，又，所以，解得，即，設，則，所以在中，有，令，所以，所以，因為，所以，則

10、要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令， ，所以的對稱軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，即最大，此時，即，所以，所以，即為獲得最佳的射門角度（即最大），則射門時甲離上方端線的距離為：.故選：B.2C【解析】設，則，根據(jù)三角形的面積公式求出AC，AB，然后由，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值【詳解】解：設，則，同理，其中，當時，故選：C【點睛】本題考查了余弦定理和三角恒等變換，以及三角形的面積公式，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題3D【分析】利用輔助角公式可求得；將三角形面積表示為，根據(jù)正弦定理邊化角，結(jié)合即可求得的范圍，進而得到所求三角形面積.

11、【詳解】由得：，；，解得：，；由正弦定理得：；為銳角三角形，解得：，.故選：D.4D【分析】在中用余弦定理求出BC長及，再在中用余弦定理求出AC長，然后對各選項逐一分析計算并判斷作答.【詳解】如圖，在中，因，由余弦定理得，則有，即，而，解得，又由余弦定理得，在中，由余弦定理得：，顯然，的面積，A正確；的周長為，B正確；顯然AB是最大邊，角為鈍角，C正確；，D不正確.故選：D5D【分析】不妨設（其中）. 在中，由余弦定理得到，基本不等式得到；在中，由余弦定理得，即可求出的取值范圍【詳解】如圖示：不妨設（其中）.在中，由余弦定理得：，所以，且（當且僅當時等號成立）.在中，由余弦定理得：，即，所以.

12、又且，所以（當且僅當時等號成立）.即.所以的取值范圍是.故選：D6B【分析】計算得到，在中利用余弦定理計算得到答案.【詳解】設塔高的高度為，在中，因為，所以；在中，因為，所以；在中，根據(jù)余弦定理可得，即，解得或（舍去）.故選：B.7C【分析】由題意畫出圖形，找出線面角，設，然后求解三角形得答案.【詳解】如圖，設表高，在中，由正弦定理有，所以，在直角三角形中，即.故選：C8A【分析】根據(jù)正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，利用兩角和公式化簡得，故或者，進而可判斷出三角形的形狀【詳解】因為，由正弦定理可得：，整理可得：，即，所以或者，所以或，而當時則，所以三角形為直角三角形，所以，則中，這時，

13、分母為0無意義所以，故選：A9D【分析】在中有，再應用正弦定理求，再在中，即可求塔高.【詳解】由題設知：，又，中，可得，在中，則.故選：D10C【分析】由可得是的平分線，再由的面積是面積的兩倍，可求出，結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得，由于，所以利用余弦定理化簡可求出的長，再在中利用余弦定理求出，再由同角三角函數(shù)的關系求出，從而可求出三角形的面積.【詳解】因為，所以，因為的面積是面積的兩倍，所以，所以，又由題意是的平分線，所以，不妨設，結(jié)合已知得，由余弦定理得，解得，負值舍去，所以，所以，因為所以，所以，故選：C.11C【分析】先在利用余弦定理求出邊，再利用正弦定理求出直徑，進而利用直角三角形求出、，再

14、利用三角形的面積公式進行求解.【詳解】在中，因為，所以由余弦定理，得，由正弦定理，得；在和中，又，所以的面積為.故選：C.12A【分析】利用二倍角公式和正弦定理化簡已知等式可得；利用余弦定理可構(gòu)造等量關系求得，進而得到；利用三角形面積公式，將表示為以為自變量的二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)最值的求法可求得所求最大值.【詳解】由得：，即，由正弦定理得：；由余弦定理得：，即，則當時，.故選：A.13C【分析】由題設可得，中最大邊為且，即可判斷結(jié)論的正誤.【詳解】由題設知：且，而，所以不存在使的面積為2022，錯誤；又中最大邊為，且，所以，故對于任意正整數(shù)為銳角三角形，正確.故選：C14D【分析】設滕

15、王閣的高度為，由題設可得，即可求滕王閣的高度.【詳解】設滕王閣的高度為，由題設知：，所以，則，又，可得米.故選：D15B【分析】的三邊長分別為、，不妨設，則，通過平方作差判斷（1）正確，直接作差判斷（2）（3），舉反例判斷（4），進而可得正確答案.【詳解】的三邊長分別為、，不妨設，則，對于（1）： ，所以，所以以、為邊長的三角形一定存在；故（1）正確；對于（2）：不一定成立，因此以、為邊長的三角形不一定存在；故（2）不正確；對于（3）：，因此以、為邊長的三角形一定存在；故（3）正確；對于（4）： 取，因此、，能構(gòu)成一個三角形的三邊，而，因此以、為邊長的三角形不一定存在，故（4）不正確，所以正確

16、的命題有個，故選：B【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是設不妨設，則，然后（1）中帶根號，所以平方后作差滿足兩邊之和大于第三邊，對于（2）（3）直接作差，利用兩個小編之和大于第三邊，即可求解.16B【分析】首先利用余弦定理角化邊，然后確定ABC的形狀即可.【詳解】由及余弦定理得，整理得，或，為等腰三角形或直角三角形.本題選擇B選項.【點睛】判斷三角形的形狀有兩種方法，一是把角化為邊后進行判斷，另一種方法是把邊化為角后再進行判斷.17B【解析】由三角形的面積公式可得，由余弦定理可得，利用可求得，可得出，并求得，利用三角恒等變換思想得出，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由三角形的面積公式可得，

17、可得，由余弦定理可得，由，可得，解得，可得，則，所以，則，因此，故選：B.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理.18B【分析】由解三角形知識求到的距離，

18、然后計算山頂海拔【詳解】如圖，過C點作直線的垂線，垂足為D.由題意得，因為，所以，又因為，所以.故山頂?shù)暮０渭s為.故選：B19C【分析】由三角形的內(nèi)角和定理、誘導公式、正弦定理以及二倍角的正弦公式化簡已知條件，可求角，由三角形的面積公式和平面向量數(shù)量積的定義可求角，再由三角形的內(nèi)角和求角，即可判斷的形狀，進而可得正確選項.【詳解】因為，所以，即，由正弦定理可得：，因為，所以，因為，所以，所以，可得，所以，解得，因為，所以，即，所以，可得，所以，所以的形狀是正三角形，故選：C.20B【分析】利用正弦定理結(jié)合余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的

19、面積公式可求得結(jié)果.【詳解】，所以，由正弦定理可得，即，、，則，則，由余弦定理可得，即，當且僅當時，等號成立，故.故選：B.21【分析】根據(jù)題意，畫出草圖，在中由正弦定理解出，在中，根據(jù)勾股定理求得.【詳解】如圖，在中，（海里），,由，得，解得海里在中，（海里），由已知得，所以（海里）,所以、間的距離為海里故答案為：.22【分析】由條件結(jié)合余弦定理可得出，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合公式可求得面積的最大值.【詳解】，則，可得，所以，.當且僅當時，等號成立.因此，面積的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求三角形面積的最值一種常見的類型，主要方法有兩類：（1）找到邊與邊之間的關系，利用基本

20、不等式或二次函數(shù)的基本性質(zhì)來求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關于某個角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.23#【分析】過點O分別作AC，AB的垂線，垂足分別為D，G，在OND與OMG中，通過解三角形表示出、再求最值即可.【詳解】依題意，AB2，設，則，過點O分別作AC，AB的垂線，垂足分別為D，G，則ODOG1，在OND與OMG中，易得，則，當，即時，取得最大值故答案為：249【分析】由余弦定理可求得A，再由正弦定理得b2sin B，c2sin C，代入三角形的周長表示中，由三角恒等變換和正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得ABC的周長取得最大值.【詳解】解：a2b2c2bc，bcb2c2a2，cos A，A(0

21、，)，A.a3，由正弦定理得2，b2sin B，c2sin C，則abc32sin B2sin C32sin B2sin33sin B3cos B36sin，B，所以，當B時，ABC的周長取得最大值9.故答案為：9.25【解析】設AB=k，AC=m，BC=n，由勾股定理可得，由同角的基本關系式求得，在中，求得AE，分別運用余弦定理和正弦定理，計算可得所求值.【詳解】設AB=k，AC=m，BC=n，可得，又，可得，在中，又，解得，由，化為，解得，又，可得，在中，即，可得，故答案為：.【點睛】在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理

22、，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用解決三角形問題時，注意角的限制范圍26【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，所以，.，解得.，所以，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，即的最大值為，所以，.故答案為：.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理