2020-2021學(xué)年北京東城區(qū)人教版八年級(jí)(上)期末數(shù)學(xué)試卷(含答案)

1、 PAGE PAGE 1120202021 學(xué)年北京市東城區(qū)八年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共 30 分，每小題 3 分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)12016重慶校級(jí)三模）如果 Ax2x 的取值范圍是Cx2）Dx222021 春隴縣期末）下列各式是最簡二次根式的是（）BCD32020 秋東城區(qū)期末）若分式Ax1Bx1，則x 的值是（）Cx0Dx142020 秋東城區(qū)期末）下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A332a3 C（2）a）a6Da6a2a352020 東城區(qū)期末）2020 年突如其來的新型冠狀病毒肺炎疫情席卷全球，我國在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，取得了抗擊疫情的巨大成就科

2、學(xué)研究表明，某種新型冠狀病毒顆粒的直徑約為 125 1.0109 米，若用科學(xué)記數(shù)法表示125 納米，則正確的結(jié)果是（）A1.25109 米B1.25108 米C1.25107 米D1.25106 米62021朝陽區(qū)校級(jí)模擬）下列各式由左到右是分解因式的是（）A26x9（x3x3）6xCx22xyy2（xy） 2（2x）x4 Dx28x+16（x4） 272008青海）一個(gè)多邊形內(nèi)角和是1080，則這個(gè)多邊形是 A六邊形B七邊形C八邊形）D九邊形82020 秋東城區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)O 是C 內(nèi)一點(diǎn)O 平分CDC 于點(diǎn)D，連接A，若OD5，AB20，則AOB 的面積是（）A20B30C50D1

3、009（2021蘇州模擬）如圖，已知B60，點(diǎn)P 在邊A 上，10，點(diǎn)M、N 在邊B 上，MPN，若MN2，則OM（）A3B4C5D6 102020青海）虛線依次對(duì)折后，再沿圖中的虛線裁剪，最后將圖中的紙片打開鋪平，得圖案應(yīng)該是（）A B C D 二、填空題（本題共 16 分，每小題 2 分）112017黃石）因式分解：xyy122021 嵊州市期末）如果x210m 是一個(gè)完全平方式，那么m 的值是132016樂亭縣二模）圖1）是一個(gè)長為2a，寬為2（b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是1

4、4（2020 秋東城區(qū)期末）如圖所示，已知P 是D 上的一點(diǎn)， PP，請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件：，使得ABPACP152020 東城區(qū)期末1和20cm，則這根鐵絲的長為cm16（2020 東城區(qū)期末）如圖，在C D 是C 上一點(diǎn)，C，C105，則B17（2020 東城區(qū)期末）C B9CC4D 為C 2，若P 為AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD 的最小值為18（2021江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，MON30，點(diǎn)A1，A2，3，A4，在射線 N 上，點(diǎn)B1， B2，B3OM 上，且A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4OA11，則A2021B2021A2022 的邊長為三、解答題（本題共 54分）解答應(yīng)寫出

5、文字說明，證明過程或演算步驟195 分2021永嘉縣校級(jí)模擬）計(jì)算：+（20）20（5 分（2020 秋東城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B，C，D，F(xiàn) 在一條直線上，BF，CD，BDEF，求證：ACDE215 分2020 秋東城區(qū)期末）已知xx10，求代數(shù)式（1）（x12x）的值224 分2021 春汝州市期末）尺規(guī)作圖：P A FG C D 的距離也相等，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出藍(lán)方指揮部點(diǎn)P 的位置（保留作圖痕跡，不必寫作法235 分2015呼倫貝爾）解方程：+1245 分2014科爾沁區(qū)校級(jí)模擬）化簡求值（），其中x2+255 分2020 秋東城區(qū)期末）列分式方程解應(yīng)用題：截止到 202

6、0 年 11 月 23 日，全國 832 個(gè)國家級(jí)貧困縣全部脫貧摘帽某單位黨支部在“精準(zhǔn)扶貧”活動(dòng)中，給結(jié)對(duì)幫扶的貧困家庭贈(zèng)送甲、乙兩種樹苗已知每棵乙種樹苗的價(jià)格比甲種樹苗的價(jià)格貴 10480 360 價(jià)格266 分（2021周村區(qū)二模）已知C 是等邊三角形，點(diǎn)D 是C 的中點(diǎn)，點(diǎn)P 在射線C 上，點(diǎn)QAB 上，PDQ1201Q B 重合，求證：DBDP；2P BC 上，AC8AQ+PC 的值277 分（2020 東城區(qū)期末）如圖，在C 中，90，CCD 為B 的中點(diǎn)，E 為DED DFDEBC FEFB DF GDG依題意補(bǔ)全圖形；若ADF；求G 的度數(shù)（用含的式子表示；請(qǐng)判斷以線段 AE，

7、BF，EF 為邊的三角形的形狀，并說明理由287 分（2020 秋東城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系y 中，直線l 經(jīng)過點(diǎn)M（3，且平行于 y P（x，y）y P1P1 l P，則稱PP y l 的二次反射點(diǎn)（）已知（4（0（31，則它們關(guān)于y 軸和直線l 的二次反射點(diǎn)AB， C的坐標(biāo)分別是；若點(diǎn)D a0a0D 關(guān)于y 軸和直線l 的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)DDD的長；已知點(diǎn)40，點(diǎn)60，以線段F 為邊在x 軸上方作正方形H，若點(diǎn)a1Q（a+1，1）關(guān)于 y 軸和直線 l 的二次反射點(diǎn)分別為 P，Q，且線段 PQ與正方形 EFGH 的邊有公共點(diǎn)，求 a 的取值范圍20202021 學(xué)年北京市東城區(qū)八年級(jí)

8、（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共 30 分，每小題 3 分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)12016重慶校級(jí)三模）如果 Ax2x 的取值范圍是Cx2）Dx2【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于 0 列式計(jì)算即可得解【解答】解：由題意得，x20， 解得 x2故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為：二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)22021 春隴縣期末）下列各式是最簡二次根式的是（）BCD【考點(diǎn)】最簡二次根式【專題】二次根式；運(yùn)算能力【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可【解答】解：A、B、是最簡二次根式；，不是最簡二次根式；C、|a|，不是最簡二次根

9、式；D、，被開方數(shù)的分母中含有字母，不是最簡二次根式；故選：A因式的二次根式，叫做最簡二次根式32020 秋東城區(qū)期末）若分式Ax1Bx1，則x 的值是（）Cx0Dx1【考點(diǎn)】分式的值為零的條件【分析】分式的值為零：分子等于零，分母不等于零【解答】解：依題意得，x10，且 x+10，解得 x1 故選：A本題考查了分式的值為零的條件若分式的值為零，需同時(shí)具備兩個(gè)條件（）分子為0這兩個(gè)條件缺一不可42020 秋東城區(qū)期末）下列各式中，運(yùn)算正確的是（）A332a3 C（2）a）a6Da6a2a3【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；同底數(shù)冪的除法【專題】整式；運(yùn)算能力則逐一判斷即可【解答】解：

10、Aaaa6，故本選項(xiàng)不合題意；B（a2） 3a6，故本選項(xiàng)符合題意； C（2a2） 38a6D、a6a2a4，故本選項(xiàng)不合題意； 故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法以及冪的乘方與積的乘方，熟記冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵52020 東城區(qū)期末）2020 年突如其來的新型冠狀病毒肺炎疫情席卷全球，我國在黨中央的堅(jiān)強(qiáng)領(lǐng)導(dǎo)下，取得了抗擊疫情的巨大成就科學(xué)研究表明，某種新型冠狀病毒顆粒的直徑約為 125 納米，1 納米1.0109 米，若用科學(xué)記數(shù)法表示125 納米，則正確的結(jié)果是（）A1.25109 米B1.25108 米C1.25107 米D1.25106 米【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法表示較小

11、的數(shù)【專題】實(shí)數(shù)；數(shù)感【分析】絕對(duì)值小于 1 的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為 a10n，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定【解答】解：125 納米0.000000125 米1.25107 米故選：C本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為a10，其中1|10n為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定62021朝陽區(qū)校級(jí)模擬）下列各式由左到右是分解因式的是（）A26x9（x3x3）6x B（x（2）x4Cx22xyy2（xy） 2Dx28x+16（x4） 2【考點(diǎn)】因式分解的意義【專題】整式

12、；數(shù)感【分析】根據(jù)分解因式的定義逐個(gè)判斷即可【解答】解：A等式由左到右的變形不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意； B等式由左到右的變形屬于整式乘法，不屬于分解因式，故本選項(xiàng)不符合題意； CD等式由左到右的變形屬于分解因式，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解的定義，注意：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解，也叫分解因式72008青海）一個(gè)多邊形內(nèi)角和是1080，則這個(gè)多邊形是（）A六邊形B七邊形C八邊形D九邊形【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角【分析】設(shè)這個(gè)多邊形是 n（n3）邊形，則它的內(nèi)角和是（n2）180n n【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是 n 邊形，由題意知，（n2）18

13、01080，n8，所以該多邊形的邊數(shù)是八邊形 故選：C【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問題來解決82020 秋東城區(qū)期末）如圖所示，點(diǎn)O 是C 內(nèi)一點(diǎn)O 平分CDC 于點(diǎn)D，連接A，若OD5，AB20，則AOB 的面積是（）A20B30C50D100【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)【專題】三角形；幾何直觀【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出 OE，最后用三角形的面積公式即可解答【解答】解：過 O 作 OEAB 于點(diǎn) E，BO 平分ABC，ODBC 于點(diǎn) D，OEOD5，AOB 的面積，故選：C【點(diǎn)評(píng)】此題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出 OEOD 解答9（202

14、1 蘇州模擬）如圖，已知B60，點(diǎn)P 在邊A 上，10，點(diǎn)M、N 在邊B 上，MPN，若MN2，則OM（）A3B4C5D6【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；含 30 度角的直角三角形PHMN HMHOH，計(jì)算即10可【解答】解：作 PHMN 于 H，PMPN，MHNHMN1，AOB60，OPH30，OHOP5，OMOHMH4， 故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵102020青海）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)將一張紙片按圖中，的方式沿虛線依次對(duì)折后，再沿圖中的虛線裁剪，最后將圖中的紙片打開鋪平，所得圖案應(yīng)該是（）AB

15、CD【考點(diǎn)】剪紙問題【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對(duì)稱；幾何直觀【分析】對(duì)于此類問題，只要依據(jù)翻折變換，將圖（4）中的紙片按順序打開鋪平，即可得到一個(gè)圖案11故選：A一般方法是動(dòng)手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即可得到正確的圖案二、填空題（本題共 16 分，每小題 2 分）112017黃石）因式分解：xyy yx（x2） 【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用【分析】首先提取公因式 y，再利用平方差公式分解因式即可【解答】解：xy4y（x）y（2（x2故答案為：（x2x2【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵122021 嵊州市期末）如果x210

16、m 是一個(gè)完全平方式，那么m 的值是【考點(diǎn)】完全平方式【專題】整式；運(yùn)算能力【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出 m 的值【解答】解：x210 x+m 是一個(gè)完全平方式，m25故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵25132016樂亭縣二模）圖1）是一個(gè)長為2a，寬為2（b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對(duì)稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖（2）那樣拼成一個(gè)正方形，則中間空的部分的面積是 （ab）2【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據(jù)空白部分的面積正方形的面積矩形的面積即可得出

17、答案12 PAGE PAGE 21【解答】解：圖（1）是一個(gè)長為 2a，寬為 2b（ab）的長方形，正方形的邊長為：a+b，由題意可得，正方形的邊長為（+，正方形的面積為（a+b）2，原矩形的面積為 4ab，中間空的部分的面積（a+b）24ab（ab）2 故答案為（ab）2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了完全平方公式的幾何背景，求出正方形的邊長是解答本題的關(guān)鍵142020 秋東城區(qū)期末P 是D PPBAPCAP 或APBAPC 或BPDCPD（答案不唯一） ，使得ABPACP【考點(diǎn)】全等三角形的判定【專題】圖形的全等；推理能力【分析】利用全等三角形的判定定理解決問題即可【解答】解：若添加BAPCAP，且AB

18、PACP，APAP，由“AAS”可證ABPACP； 若添加APBAPC，且ABPACP，APAP，由“AAS”可證ABPACP；若添加BPDCPD，可得APBAPC，且ABPACP，APAP，由“AAS”可證ABPACP；故答案為BAPCAP 或APBAPC 或BPDCPD【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本題的關(guān)鍵152020 東城區(qū)期末1和20cm，則這根鐵絲的長為 50 或55cm【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定【專題】推理填空題；分類討論；三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；推理能力【分析】等腰三角形中兩條邊的長分別為 15cm 和 20cm

19、時(shí)，第三邊的長可能為 15cm 或 20cm，分別求得三角形的周長，即為鐵絲的長【解答】解：等腰三角形中兩條邊的長分別為 15cm 和 20cm，當(dāng)?shù)谌龡l邊的長為15m 時(shí)，這根鐵絲的長為15+15+205（m，此時(shí)15+1520三邊關(guān)系；當(dāng)?shù)谌龡l邊的長為2m 時(shí)，這根鐵絲的長為05m故答案為：50 55【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理并分類討論是解題的關(guān)鍵16（2020 秋東城區(qū)期末）如圖，在C D 是C 上一點(diǎn)，C，C105，則B 25【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】設(shè)ADC，然后根據(jù) ACADDB，BAC

20、105，表示出B 和BAD 的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出ADC 的度數(shù)，進(jìn)而求得B 的度數(shù)即可【解答】解：ACADDB，BBAD，ADCC， 設(shè)ADC，BBAD，BAC105，DAC105，在ADC 中，ADC+C+DAC180，2+105180，解得：50，BBAD故答案為：2525，練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵17（2020 東城區(qū)期末）C B9CC4D 為C 2，若P 為AB 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PC+PD 的最小值為【考點(diǎn)】等腰直角三角形；軸對(duì)稱最短路線問題【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力D AB E，連接ABCABE45，根據(jù) PC+PDPC+PE，可得當(dāng)

21、 C，P，E 在同一直線上時(shí)，PC+PE 的最小值等于CE 的長，根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算，即可得出PC+PD 的最小值為2【解答】D AB EPE，BE， DBEB，DPEP，ABCABE45，D 是 BC 的中點(diǎn)，BD BC2，BE2，PC+PDPC+PE，當(dāng) C，P，E 在同一直線上時(shí)，PC+PE 的最小值等于 CE 的長，此時(shí)，PC+PD 最小，在 RtBCE 中，CEPC+PD 的最小值為2故答案為：22，【點(diǎn)評(píng)】此題考查了軸對(duì)稱線路最短的問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對(duì)稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對(duì)稱點(diǎn)18（2021江岸區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，

22、MON30，點(diǎn)A1，A2，3，A4，在射線 N 上，點(diǎn)B1， B2，B3OM 上，且A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4OA11，則A2021B2021A2022 的邊長為 22020【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類【專題】規(guī)律型；等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到 B1A1A260，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出 OB1A1，得到 OB1A1MON，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到 A1B1OA11，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答【解答】解：A1B1A2 為等邊三角形，B1A1A260，MON30，OB1A1B1A1A2MON30，OB1A1MON，A1B1OA11，同理可得，A

23、2B2OA22，A3B3OA3422，A2021B2021A2022 的邊長22020，故答案為：22020【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形的變化規(guī)律、等邊三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)總結(jié)出規(guī)律是解題的關(guān)鍵三、解答題（本題共 54分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟195 分2021永嘉縣校級(jí)模擬）計(jì)算：+（20）【考點(diǎn)】零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；分母有理化【專題】實(shí)數(shù)；運(yùn)算能力【分析】根據(jù)絕對(duì)值，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可【解答】解：原式+1+2+2+13+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查絕對(duì)值，零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，掌握絕對(duì)值，另指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)的性質(zhì)是正確

24、計(jì)算的前提20（5 分（2020 秋東城區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B，C，D，F(xiàn) 在一條直線上，BF，CD，BDEF，求證：ACDE【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力先證CSASBFDC，再由平行線的判定即可得出結(jié)論【解答】證明：在ABC 和EFD 中，CD（SAS，ACBEDF，ACDEDC，ACDEABCEFD 鍵215 分2020 秋東城區(qū)期末）已知xx10，求代數(shù)式（1）（x12x）的值【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式【專題】計(jì)算題；整式；運(yùn)算能力【分析】根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式進(jìn)行化簡，然后整體代入即可求值【解答】解：原式x2+2x+12x2+x2x+1x2+

25、x+2，當(dāng) x2x+10，即x2+x1 時(shí)，原式1+23【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式224 分2021 春汝州市期末）尺規(guī)作圖：P A FG C D 的距離也相等，如果你是紅方的指揮員，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出藍(lán)方指揮部點(diǎn)P 的位置（保留作圖痕跡，不必寫作法【考點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖【專題】作圖題；幾何直觀【分析】作線段 CD 的垂直平分線 MN，作CBF 的角平分線 BE 交 MN 于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求作【解答】解：如圖，點(diǎn) P 即為所求作【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題

26、的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型235 分2015呼倫貝爾）+1【考點(diǎn)】解分式方程【分析】首先方程兩邊乘以最簡公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最簡公分母檢驗(yàn)即可【解答】解：方程兩邊乘以（1（1）（x14（x1x1，解這個(gè)方程得：x3，檢驗(yàn)：當(dāng)x3 x1x1）， x3 是原方程的解；原方程的解是：x3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟練掌握分式方程的解法，方程兩邊乘以最簡公分母，把分式方程化成整式方程是解決問題的關(guān)鍵245 分2014科爾沁區(qū)校級(jí)模擬）（），其中x2+【考點(diǎn)】分式的化簡求值【解答】（）（【解答】（）（，當(dāng)x2+時(shí)

27、，原式【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵255 分2020 秋東城區(qū)期末）列分式方程解應(yīng)用題：截止到 2020 年 11 月 23 日，全國 832 個(gè)國家級(jí)貧困縣全部脫貧摘帽某單位黨支部在“精準(zhǔn)扶貧”活動(dòng)中，給結(jié)對(duì)幫扶的貧困家庭贈(zèng)送甲、乙兩種樹苗已知每棵乙種樹苗的價(jià)格比甲種樹苗的價(jià)格貴 10元，用 480 元購買乙種樹苗的棵數(shù)恰好與用 360 元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同，求甲、乙兩種樹苗每棵的價(jià)格【考點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)【分析】可設(shè)甲種樹苗每棵的價(jià)格是 x 元，則乙種樹苗每棵的價(jià)格是（ x+10）元，根據(jù)等量關(guān)系：用480 元購買乙種

28、樹苗的棵數(shù)恰好與用 360 元購買甲種樹苗的棵數(shù)相同，列出方程求解即可【解答】解：設(shè)甲種樹苗價(jià)格是 x 元/棵，則乙種樹苗價(jià)格是（x+10）元/棵，依題意得：，解得：x30，經(jīng)檢驗(yàn)，x30 是原方程的解，x030+1040（元，答：甲種樹苗每棵的價(jià)格是 30 元，乙種樹苗每棵的價(jià)格是 40 元【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵266 分（2021 周村區(qū)二模）已知C 是等邊三角形，點(diǎn)D 是C 的中點(diǎn)，點(diǎn)P 在射線C 上，點(diǎn)QAB 上，PDQ1201Q B 重合，求證：DBDP；2P BC 上，AC8AQ+PC 的值【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三

29、角形的性質(zhì)【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】（1）由等邊三角形和等腰三角形的性質(zhì)得出DBCE，即可得出 DBDE；（2）如圖 2，過點(diǎn) D 作 DHBC 交 AB 于 H，可證ADH 是等邊三角形，由“ASA”可證QDHPDC，可得 HQPC，即可求解【解答】1）C 為等邊三角形，BABC，ABC60，D 為 AC 的中點(diǎn)，DB 平分ABC，DBC30，EDB120P1801203030DBCP，DBDP；（2）解：如圖 2，過點(diǎn) D 作 DHBC 交 AB 于 H，ABC 是等邊三角形，AC8，點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn)，ADCD4，ABCACBA60，BCAC8，D

30、HBC，ADHAHD60，ADH 是等邊三角形，HDC120，ADHDAH4，HDCD4BH，QDPHDP120，QDHPDC，在QDH 和PDC 中，QDHPDC（ASA）HQPC，AQ+PCAQ+QHAH4【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵277 分（2020 東城區(qū)期末）如圖，在C 中，90，CCD 為B 的中點(diǎn)，E 為DED DFDEBC FEFB DF的對(duì)稱點(diǎn) G，連接 DG依題意補(bǔ)全圖形；若ADF；求G 的度數(shù)（用含的式子表示；請(qǐng)判斷以線段 AE，BF，EF 為邊的三角形的形狀，并

31、說明理由【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；作圖軸對(duì)稱變換【專題】圖形的全等；幾何直觀【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形解答即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解答即可；根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出 AEGE，進(jìn)而解答即可【解答】（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示：（2）ADF，BDF180，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，GDFBDF180，DFDE，22EDF90，EDGGDFEDF1809090；以線段 AE，BF，EF 為邊的三角形是直角三角形，連接 GF，GE，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知，GFBF，DGFB，D 是 AB 的中點(diǎn)，ADBD，GDBD，ADGD，GDEEDA90，DEDE， 在GDE 與ADE 中，EE

32、SAS，EGDEAD，AEGE，EAD90+B，EGD90+B，EGFEGDDGF90+BB90，以線段 GE，GF，EF 為邊的三角形是直角三角形，以線段 AE，BF，EF 為邊的三角形是直角三角形【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答287 分（2020 東城區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系 y 中，直線l 經(jīng)過點(diǎn)M（3，且平行于 y P（x，y）y P1P1 l P，則稱PP y l 的二次反射點(diǎn)（）已知（4（0（31，則它們關(guān)于y 軸和直線l 的二次反射點(diǎn)AB， C的坐標(biāo)分別是 （20（4，（31） ；若點(diǎn)D a0a0D 關(guān)于y 軸和直

33、線l 的二次反射點(diǎn)是點(diǎn)DDD的長；已知點(diǎn)40，點(diǎn)60，以線段F 為邊在x 軸上方作正方形H，若點(diǎn)a1Q（a+1，1）關(guān)于 y 軸和直線 l 的二次反射點(diǎn)分別為 P，Q，且線段 PQ與正方形 EFGH 的邊有公共點(diǎn)，求 a 的取值范圍23【考點(diǎn)】四邊形綜合題【專題】代數(shù)幾何綜合題；矩形 菱形 正方形；運(yùn)算能力；推理能力【分析】（1）根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義直接得出答案；根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義得出D（6+a0，則可得出答案根據(jù)二次反射點(diǎn)的定義得出P（6+a，1，Q（7+a，1，由題意分兩種情況列出不等式組，解不等式組可得出答案【解答】（1）（40，點(diǎn)A 關(guān)于y 軸點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)為（40，（40）關(guān)于直線

34、l 對(duì)稱得點(diǎn)A（20，點(diǎn)（40）關(guān)于y軸和直線l 的二次反射點(diǎn)A（20；（20，點(diǎn)B 關(guān)于y 軸點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)為（20，（20）關(guān)于直線l 對(duì)稱得點(diǎn)B（40，點(diǎn)（20）關(guān)于y軸和直線l 的二次反射點(diǎn)B（40；（31，點(diǎn)C 關(guān)于y 軸點(diǎn)的對(duì)稱的坐標(biāo)為（31，（31）關(guān)于直線l 對(duì)稱得點(diǎn)C（，1，點(diǎn)（31）關(guān)于y軸和直線l 的二次反射點(diǎn)C（，1；故答案為：（20B（，0，（31；（）點(diǎn)D 的坐標(biāo)是（a0a，點(diǎn)D 關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a0，（，0）關(guān)于直線l 對(duì)稱得點(diǎn)D（6+a0，DD6+aa624 PAGE PAGE 33（）點(diǎn)a，點(diǎn)（，1）關(guān)于y 軸和直線l 的二次反射點(diǎn)為P（6+a1，Q

35、a1，Qa1，）關(guān)于y 軸和直線l 的二次反射點(diǎn)為Q（7+a1，PQEH 有公共點(diǎn)時(shí)，3a2，當(dāng) PQ與 fg 有公共點(diǎn)時(shí)，1a0，3a2 或1a0，【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，新定義二次反射點(diǎn)的理解和運(yùn)用；解題關(guān)鍵是對(duì)新定義二次反射點(diǎn)的正確理解考點(diǎn)卡片科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為 a10n，其中 1|a|10，n 為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的 0 的個(gè)數(shù)所決定x 的取值范圍表示方法a x 的取值范圍表示方法a 的取值n 的取值|x|10a10n1|a|整數(shù)的位數(shù)1|x|1a10n10第一位非零數(shù)字前所有 0 的

36、個(gè)數(shù)（含小數(shù)點(diǎn)0）圖形的變化類的規(guī)律題首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題同底數(shù)冪的乘法同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加amanam+n（m，n 是正整數(shù)）推廣：amanapam+n+p（m，n，p都是正整數(shù)）在應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則時(shí)，應(yīng)注意：底數(shù)必須相同，如23 與5（2b2）3 與（ab2）4（xy）2與可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式；按照運(yùn)算性質(zhì)，只有相乘時(shí)才是底數(shù)不變，指數(shù)相加住“同底數(shù)”這一關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)注意，有的底數(shù)可能并不相同，這時(shí)可以適當(dāng)變形為

37、同底數(shù)冪 4冪的乘方與積的乘方冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘（am）namn（m，n 是正整數(shù)）注意：冪的乘方的底數(shù)指的是冪的底數(shù)；里注意與同底數(shù)冪的乘法中“指數(shù)相加”的區(qū)別積的乘方法則：把每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘（ab）nanbn（n 是正整數(shù)）注意：因式是三個(gè)或三個(gè)以上積的乘方，法則仍適用；運(yùn)用時(shí)數(shù)字因數(shù)的乘方應(yīng)根據(jù)乘方的意義，計(jì)算出最后的結(jié)果同底數(shù)冪的除法同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減aam（0mn 是正整數(shù)，mn）底數(shù) a0，因?yàn)?0 不能做除數(shù)；單獨(dú)的一個(gè)字母，其指數(shù)是 1，而不是 0；a 多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)

38、式的每一項(xiàng)乘另外一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加運(yùn)用法則時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：相乘時(shí)，按一定的順序進(jìn)行，必須做到不重不漏；多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)等于原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積完全平方公式的幾何背景做出幾何解釋常見驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形（ab22a+b（用大正方形的面積等于邊長為a 和邊長為b的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長寬分別是ab的長方形的面積和作為相等關(guān)系）完全平方式完全平方式的定義：對(duì)于一個(gè)具有若干個(gè)簡單變?cè)恼?A，如果存在另一個(gè)實(shí)系數(shù)整式 BAB2， A 是完全平方式a22ab+b2（ab）2就是兩個(gè)整式的差括號(hào)外的平方算時(shí)有一個(gè)口訣“首末兩項(xiàng)算平方，首末項(xiàng)

39、乘積的 2 倍中間放，符號(hào)隨（就是把兩項(xiàng)的乘方分別算出來，再算出兩項(xiàng)的乘積，再乘以2，然后把這個(gè)數(shù)放在兩數(shù)的乘方的中間，這個(gè)數(shù)以前一個(gè)數(shù)間的符號(hào)隨原式中間的符號(hào)，完全平方和公式就用 +，完全平方差公式就用，后邊的符號(hào)都用+”因式分解的意義1、分解因式的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做分解因式2、因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運(yùn)算，二者是一個(gè)式子的不同表現(xiàn)形式因式分解是兩個(gè)或幾個(gè)因式積的表現(xiàn)形式，整式乘法是多項(xiàng)式的表現(xiàn)形式例如：3、因式分解是恒等變形，因此可以用整式乘法來檢驗(yàn)提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用 11分式的值為零的條件先把分式

40、化簡后，再把分式中未知數(shù)對(duì)應(yīng)的值代入求出分式的值在化簡的過程中要注意運(yùn)算順序和分式的化簡化簡的最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式【規(guī)律方法】分式化簡求值時(shí)需注意的問題 1代入求值的模式一般為“當(dāng)時(shí)，原式2代入求值時(shí)，有直接代入法，整體代入法等常用方法解題時(shí)可根據(jù)題目的具體條件選擇合適的方法當(dāng)未知數(shù)的值沒有明確給出時(shí)，所選取的未知數(shù)的值必須使原式中的各分式都有意義，且除數(shù)不能為 0零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a01（a0）由mm1，mmmma0可推出a01a）注意：001負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：ap1ap（a0，p 為正整數(shù)注意：a0；計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指

41、數(shù)冪的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（ 3）2（3）（2）的錯(cuò)誤當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序二次根式有意義的條件 二次根式的概念形如（a0）的式子叫做二次根式二次根式中被開方數(shù)的取值范圍二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)要求：（a0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)能根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)來確定二次根式被開方數(shù)中字母的取值范圍，并能利用二次根式的非負(fù)性解決相關(guān)問題【規(guī)律方法】二次根式有無意義的條件 1非負(fù)數(shù)2如果所給式子中含有分母，則除了保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)外，還必須保證分母不為零16最簡二次根式1）（）我們把滿足上述兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式

42、（）（）方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式如：不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有、3aa、+y等； 含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式的有 4、9、a2（x+y）2、x2+2xy+y2 等 17分母有理化分母有理化是指把分母中的根號(hào)化去分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一項(xiàng)）或與原分母組成平方差公式例如：；一個(gè)二次根式的有理化因式不止一個(gè)例如：的有理化因式可以是，也可以是a，這里的a 可以是任意有理數(shù)解分式方程解分式方程的步驟：去分母；求出整式方程的解；檢驗(yàn)；得出結(jié)論0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為 0，則整式方程的解是原分式方程的解將整式方程的解

43、代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為 0，則整式方程的解不是原分式方程的解 所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答必須嚴(yán)格按照這 5 2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度路程時(shí)間；工作量問題：工作效率工作量工作 時(shí)間等等列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力三角形三邊關(guān)系三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形三角形的兩邊差小于第三邊容易忽略全等三角形的判定1：SSS三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等判定定理 2

44、：SAS兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等判定定理 3：ASA兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等4：AAS兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5：HL斜邊與直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等方法指引：全等三角形的 5 種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對(duì)應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對(duì)應(yīng)相等，則必須再找一組對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個(gè)角的另一組對(duì)應(yīng)鄰邊全等三角形的判定與性質(zhì)關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件形角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等注意：這里的距離是指點(diǎn)到角的兩邊垂線段的長；該性質(zhì)可以獨(dú)立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時(shí)不必證明全等；使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖， C 在AOB 的平分線上，CDOA，CEOBCDCE線段垂直平分線的性質(zhì)定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等 離