年高考數學壓軸題系列訓練含及解析詳解六

1、2009年高考數學壓軸題系列訓練含答案及分析詳解六1（本小題滿分14分）如圖，設拋物線C:yx2的焦點為F，動點P在直線l:xy20上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點.1）求APB的重心G的軌跡方程.2）證明PFA=PFB.解：（1）設切點A、B坐標分別為(x,x02)和(x1,x12)(x1x0)，切線AP的方程為：2x0 xyx020;切線BP的方程為：2x1xyx120;解得P點的坐標為：xPx0 x1,yPx0 x12所以APB的重心G的坐標為xGx0 x1xPxP，3所以yp3yG4xG2，由點P在直線l上運動，進而獲取重心G的軌跡方程為：（

2、2）方法1：因為FA21x0 x1,x0 x11),FB21(x0,x0),FP(24(x1,x1).44因為P點在拋物線外，則|FP|0.FPFAx0 x1x0(x0 x11)(x021)x0 x112444,cosAFP1|FP|FA|FP|222|FP|x0(x0)4x0 x1x1(x0 x11)(x121x0 x11FPFB)同理有cosBFP2444,1|FP|FB|FP|x1222|FP|(x1)4AFP=PFB.方法2：當x1x00時,因為x1x0,不如設x00,則y00,所以P點坐標為(x1,0)，則P2d1;而直線BF的方程:y1x121x點到直線AF的距離為：4|x1|,2

3、4x1即(x121)xx1y1x10.44|(x121)x1x1|(x121)|x1|x1|所以P點到直線BF的距離為：d2424421)2212(x12(x1)2x144所以d1=d2，即得AFP=PFB.當xx0時，直線AF的方程：1x0211104(x0),即2)xx0y0,1yx00040441x121211直線BF的方程：40,y4x10(x0),即(x14)xx1y4x1所以P點到直線AF的距離為：21x0 x121x0 x121|(x04)(2)x0 x14x0|2)(x04)|x0 x1|，同理可獲取P點d11)2x0212(x02x0244到直線BF的距離d2|x1x0|2，

4、所以由d1=d2，可獲取AFP=PFB.2（本小題滿分12分）設A、B是橢圓3x2y2上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直均分線與橢圓訂交于C、D兩點.（）確立的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷能否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明原因.（本題不要求在答題卡上繪圖）本小題主要考察直線、圓和橢圓等平面分析幾何的基礎知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力.（）解法1：依題意，可設直線AB的方程為yk(x1)3,代入3x2y2，整理得(k23)x22k(k3)x(k3)20.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1,x2是方程的兩個不一樣的根，4

5、(k23)3(k3)20,且x1x22k(k3),由N（1，3）是線段AB的中點，得k23解得k=1，代入得，12,即的取值范圍是（12，+）.于是，直線AB的方程為y3(x1),即xy40.解法2：設A(x1,y1),B(x2,y2),則有依題意，x1x2,kAB3(x1x2).y1y2N（1，3）是AB的中點，x1x22,y1y26,進而kAB1.又由N（1，3）在橢圓內，3123212,的取值范圍是（12，+）.直線AB的方程為y3=（x1），即x+y4=0.（）解法1：CD垂直均分AB，直線CD的方程為y3=x1，即xy+2=0，代入橢圓方程，整理得4x24x40.又設C(x3,y3)

6、,D(x4,y4),CD的中點為C(x0,y0),則x3,x4是方程的兩根，x3x41,且x01(x3x4)1,y0 x023,即M(1,3).22222于是由弦長公式可得|CD|1(1)2|x3x4|2(3).k將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程得4x28x160同理可得|AB|1k2|x1x2|2(12).當12時，2(3)2(12),|AB|CD|假定存在12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.|13|x0y04|4|32點M到直線AB的距離為d22.222于是，由、式和勾股定理可得故當12時，A、B、C、D四點勻在以M為圓心，|CD|為半徑的圓上.2（

7、注：上述解法中最后一步可按以下解法獲?。海〢、B、C、D共圓ACD為直角三角形，即(|AB|)2(|CD|d)(|CD|d).222由式知，式左側12,2由和知，式右側2(3)32)(22式建立，即A、B、C、D四點共圓.解法2：由（）解法1及12,A為直角|AN|2=|CN|DN|，2(3)32)3912,22222CD垂直均分AB，直線CD方程為y3x1，代入橢圓方程，整理得4x24x40.將直線AB的方程x+y4=0，代入橢圓方程，整理得4x28x160.解和式可得x1,2212,x3,413.22不如設A(1112,3112),C(13,33),D(13,33)222222CA(312

8、3,3312)22計算可得CADA0，A在以CD為直徑的圓上.又B為A對于CD的對稱點，A、B、C、D四點共圓.（注：也可用勾股定理證明ACAD）3（本小題滿分14分）已知不等式1111log2n,此中n為大于2的整數，log2n表示不超出log2n的23n2最大整數.設數列an的各項為正，且知足a1b(b0),annan1,n2,3,4,nan1（）證明an2b,n3,4,5,2blog2n（）猜想數列an能否有極限？假如有，寫出極限的值（不用證明）；（）試確立一個正整數N，使適當nN時，對隨意b0，都有an1.5本小題主要考察數列、極限及不等式的綜合應用以及概括遞推的思想.（）證法1：當n

9、nan11nan1112時,0an,nan1an1,nan1ann即111,anan1n于是有111,111,111.a2a12a3a23anan1n全部不等式兩邊相加可得11111.ana123n由已知不等式知，當n3時有，111log2n.ana12a11112blog2nan2b.b,blog2n2b.2an2blog2n111證法2：設f(n)3，第一利用數學概括法證不等式2n（i）當n=3時，由a33a233b.3a232a1111f(3)ba232a1知不等式建立.（ii）假定當n=k（k3）時，不等式建立，即akb,1f(k)b則ak1(k1)akk1k1(k1)ak(k1)1f

10、(k)b1(k1)1akb即當n=k+1時，不等式也建立.由（i）、（ii）知，anb,n3,4,5,.1f(n)b又由已知不等式得anb2b,n3,4,5,.12blog2n1log2nb2（）有極限，且liman0.n（）22b2,令21,blog2nlog2nlog2n5則有l(wèi)og2nlog210,n2101024,n故取N=1024，可使當nN時，都有an1.54如圖，已知橢圓的中心在座標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|A1F1|21()求橢圓的方程；()若點P為l上的動點，求F1PF2最大值本題主要考察橢圓的幾何性質、橢圓方程、

11、兩條直線的夾角等基礎知識，考察分析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.滿分14分.解：()設橢圓方程為x2y21ab0，半焦距為c，則a2b2()設P4,y0,y005已知函數fx和gx的圖象對于原點對稱，且22xfxx()求函數gx的分析式；()解不等式gxfxx1；()若hxgxfx1在1,1上是增函數，務實數的取值范圍本題主要考察函數圖象的對稱、二次函數的基天性質與不等式的應用等基礎知識，以及綜合運用所學知識剖析和解決問題的能力.滿分14分.解：()設函數yfx的圖象上隨意一點Qx0,y0對于原點的對稱點為Px,y，則點Qx0,y0在函數yfx的圖象上yx22x，即yx22x,故gxx22

12、x()由gxfxx1，可得2x2x10當x1時，2x2x10，此時不等式無解.當x1時，2x2x10，解得1x1.2所以，原不等式的解集為1,1.2（）hx1x221x1當1時，hx4x1在1,1上是增函數，當時，對稱軸的方程為11x1.）當時,1解得111,1.）當時,1解得111,10.6(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.對定義域分別是D、D的函數y=f(x)、y=g(x),fgf(x)g(x)當xDf且xDg規(guī)定:函數h(x)=f(x)當xDf且xDgg(x)當xDf且xDg1(1)若函數f(x)=x1,g(x)=x2,xR,寫出函

13、數h(x)的分析式;求問題(1)中函數h(x)的值域;(3)若g(x)=f(x+),此中是常數,且0,請,設計一個定義域為R的函數y=f(x),及一個的值,使得h(x)=cos4x,并予以證明.x2解(1)h(x)=x(-,1)(1,+)x11x=1x2=x-1+1(2)當x1時,h(x)=+2,x1x1若x1時,則h(x)4,此中等號當x=2時建立若x1時,則h(x)0,此中等號當x=0時建立函數h(x)的值域是(-,014,+)(3)令f(x)=sin2x+cos2x,=4則g(x)=f(x+)=sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,44于是h(x)=f(x)f(x+

14、)=(sin2x+co2sx)(cos2x-sin2x)=cos4x.另解令f(x)=1+2sin2x,=,2g(x)=f(x+)=1+2sin2(x+)=1-2sin2x,于是h(x)=f(x)f(x+)=(1+2sin2x)(1-2sin2x)=cos4x.7(本題滿分18分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分8分,第3小題滿分6分.在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),Pn(n,2n),此中n是正整數.對平面上任一點A0,記A1為A0對于點P1的對稱點,A2為A1對于點P2的對稱點,AN為AN-1對于點PN的對稱點.求向量A0A2的坐標;(2)當點A0在

15、曲線C上挪動時,點A2的軌跡是函數y=f(x)的圖象,此中f(x)是以3為周期的周期函數,且當x(0,3時,f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數在(1,4上的分析式;(3)對隨意偶數n,用n表示向量A0An的坐標.解(1)設點A0(x,y),A0為P1對于點的對稱點A0的坐標為(2-x,4-y),A1為P2對于點的對稱點A2的坐標為(2+x,4+y),A0A2=2,4.A0A2=2,4,f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位,再向上平移4個單位獲取.所以,曲線C是函數y=g(x)的圖象,此中g(x)是以3為周期的周期函數,且當x(-2,1時,g(x)=lg(x+2)-4.于是,當x(1,4時,g(x)=lg