平面幾何五種模型

1、平面幾何五種模型等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊1、等積模型等底等高的2個(gè)三角形面積相等2個(gè)三角形高相等，面積比=底之比2個(gè)三角形底相等，面積比 =高之比夾在一組平行線之間的等積變形（方方模型）等積模型是基本應(yīng)用應(yīng)是爛熟于心的都是利用面積公式得到的推定比例如下：1等底等高的2個(gè)平行四邊形面積相等2三角形面積等于它等底等高的平行四邊形面積的一半32個(gè)平行四邊形高相等，面積比=底之比；2個(gè)平行四邊形底相等，面積比= 高之比2、鳥頭模型（共角定理）鳥頭定理：2個(gè)三角形中，有一個(gè)角 相等或互補(bǔ)，這2個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）力X，卜兩夾邊的乘積之比（夾角 2邊無

2、衣）鳥頭定理的使用要火眼金睛，經(jīng)常需要自己補(bǔ)一條輔助線同時(shí)經(jīng)過2次以上轉(zhuǎn)換對(duì)應(yīng)才能得到結(jié)果。如圖，淺紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于淺紫色三角形是“嵌入”在大三角形 ABC里面，注意，鳥頭定 理用的是乘積比！不是單獨(dú)的線段比 k .AD XAE小X小記憶上用夾角2邊天城天最好記，這里等于AbXAC鳥頭定理的證明，寫出來是因?yàn)楹芏囝}目的解題過程，都需要補(bǔ)這么一條輔助線來過度連接2個(gè)看起來無關(guān)的圖形。證明的途徑其實(shí)跟我們?nèi)粘＝忸}途徑重合，所以寫出來，仔細(xì)看。經(jīng)由媒介的ABE,聯(lián)系了 ADE和大三角形ABCBE輔助線很重要！鳥頭定理是用等高（等于是用等積推算而得）第二種的證明方式

3、將對(duì)頂角壓回來 ABC內(nèi)，對(duì)頂角性質(zhì)是相等的， 所以壓回來的新跟 ADE是全等，再做一條輔助線就能用共角的方式 證明由對(duì)角的鳥頭定理互補(bǔ)角的鳥頭定理證明ADDSJAADE=SADE,因?yàn)橥椎雀逜D=AD,高相等，所以面積相等寫了這幾個(gè)證明，其實(shí)說的目的只有一個(gè)：連接小三角形和大三角形過度的那條輔助線, 特別重要！3蝴蝶模型任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶 S = S4 或者G父S3 = S2父S4 AO:OC = S S : S4 s3S1左上 S4右上 S1左上-S4右上;上面旗 上線上下比 Sz左下=S3右下= S 2左下+ S3右下=下面積 =F線S1左上 S2左下 S1左

4、上+ S2左下=左面積 左線【上上比】S二右上二I右F = 右，、； 一下 行而出 =一出由上述比例可以按數(shù)學(xué)運(yùn)算原則推出很多規(guī)則：如S1左上S4右上面積交叉相乘的乘積相等 2左下=3右下=S父S3 = S2父S4 梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）222. 2 S ： S3 = a : b 上：下二a : b2 . 22. 2 S ： S3: S2: S4 = a ：b :ab：ab一上：下：左：右=a : b : ab: ab2s的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a + b）-a2+2ab+b 2=a2+b2+ab+ab有木有T4相似三角形形狀相同，大小不同的三角形，只要形狀不變，無論大小怎么改變, 他們都相似。1相似三

5、角形的一切對(duì)應(yīng)線段的長度成比例，并且=它們的相似比2相似三角形的面積比=相似比的平方3連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長 =它所對(duì)應(yīng)的底邊長的一半就是三角形任2邊中點(diǎn)連由來的中位線就是第三邊長的一半！由題幾率：多產(chǎn)生于 2條平行線造成的相似三角形金字塔模型沙漏模型SADE: SABC=AF2: AG2特別注意！相似三角形的面積比是等于相似比的平方5共邊定理燕尾模型、風(fēng)箏模型、塞瓦定理共邊定理說明如圖一想知道 PAB和QAB的面積比？我們就如圖二做個(gè)高，因?yàn)?同底（就是共用一個(gè)邊）所以面積比 =高之比，再想辦法偷懶，延長PQ、AB的線相交于 M ,那么剛

6、學(xué)的相似三角形可以派上用場(chǎng)，因?yàn)镻DM Q QEM如圖三PPD PM所以.二丁共邊定理：若直線AB和PQ相交于點(diǎn) M（4種情況）則有PAB-PMqAB = qm圖三圖四最常應(yīng)用到的其實(shí)是圖一，無論在三角形或四邊形上我們喜歡用共邊2方的不同三角形面積比來比曲線段比。（圖形不重疊）圖二的比例圖形有重疊，所以線段長度也是重疊比圖三就是“燕尾定理”圖形不重疊，所以線段比不重疊。圖四是四邊形，做比的三角形有重疊，而比值是四邊形的頂：延長 線段QM（切記，唯一對(duì)比線段不在圖形內(nèi)的哈 ）共邊定理的證明S PABS qAB =PMQM1 , M點(diǎn)是PQ和AB延長后的交點(diǎn)2,取N ,使得MN長度=ABS PAB s PNM3、丁/屋=S QNMPNM 和QNM 是等高，塞瓦定理（燕尾定理模型補(bǔ)充）三邊比例互乘為1在AABC內(nèi)任取一點(diǎn) O,直線AO、BO、CO分別交對(duì)邊于 E、F、D ,則得出BE C