線性代數(shù)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、Matlab實(shí)驗(yàn)報(bào)告學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程專業(yè) 信息管理與信息系統(tǒng)班級(jí)402作者曾金偉學(xué)號(hào)0900340230實(shí)驗(yàn)一 Matlab的基本運(yùn)算一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆誱atlab軟件的矩陣賦值方法，以及矩陣的相關(guān)運(yùn)算；通過matlab軟件進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)矩陣的運(yùn)算規(guī)則.二、實(shí)驗(yàn)指1.與本實(shí)驗(yàn)相關(guān)的Matalb命令創(chuàng)建矩陣 例如：A=1 2，一一矩陣行元素的分隔符號(hào)例如：A=1, 2;矩陣列元素的分隔符號(hào)例如：A=1, 2；3,4%注釋行eye(n)創(chuàng)建n階單位矩陣zeros(m,n)創(chuàng)建mXn階零矩陣zeros(n)創(chuàng)建n階方陣ones(m,n)創(chuàng)建mXn階元素全為1的矩陣rand(m,n)創(chuàng)建mXn

2、階元素從0到1均勻分布的隨機(jī)數(shù)矩陣round(A)對(duì)矩陣A中所有元素進(jìn)行四舍五入運(yùn)算inv(A)求矩陣A的逆AJ1用幕運(yùn)算求矩陣A的逆三、實(shí)驗(yàn)習(xí)題1 .利用函數(shù)rand和round構(gòu)造一個(gè)5X5隨機(jī)整數(shù)矩陣A與B,驗(yàn)證下列等 式是否成立？AB=BA(A+B)(A-B)=A2-B2(AB)t=AtBt解：clear all A=round(rand(5)A = TOC o 1-5 h z 1000110100 HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 011111101111111 B=round(rand(5) B = 11100 10100 00011

3、 10111 00001 (1) A*B=B*A A*B=B*AError: The expression to the left of the equals sign is not a valid target for an assignment (A-B)(A+B)=AA2-BA2(A-B)(A+B)=AA2-BA2IError: Unbalanced or unexpected parenthesis or bracket. (AB)、=A、*B、(AB)=A*B、Error: The input character is not valid in MATLAB statements o

4、r expressions.所以上等式均不成立。1 -1 -21.已知 BA-B=A,其中 B = 210 0矩陣A.00 ，用求逆矩陣和矩陣左除兩種方法求2clear all B=1 -2 0;2 1 0; 0 0 2 B =1-20210002 E=eye(3) E =100010001 C=B-E C =0-20200001 A=inv(C)*B A = TOC o 1-5 h z 1.00000.50000-0.50001.00000002.0000 A=CB A = 1.00000.50000-0.50001.00000002.0000實(shí)驗(yàn)二行列式與方程組的求解一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握ma

5、tlab軟件求行列式的命令；2掌握matlab軟件對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換的命令；3掌握matlab軟件求滿秩線性方程組的各種方法；4掌握matlab軟件的符號(hào)變量的應(yīng)用.二、實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)1 .與本實(shí)驗(yàn)相關(guān)的Matlab命令clear清除工作空間的各種變量clc清除工作窗口m,n=size(A)m,n分別為A的行數(shù)與列數(shù)det(A)計(jì)算A的行列式rank(A)計(jì)算 A 的秩U=rref(A) -對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換，U為A的行最簡(jiǎn)型矩陣A(:, i)=b將b賦值給A的第i列A(:,1： 4)取 矩陣A的第1列到第4列A(i,j)引用矩陣A的第i行第j列的元素syms x定義 x 為符號(hào)變量=關(guān)系運(yùn)算

6、符號(hào)：等于factor(D)對(duì)符號(hào)變量多項(xiàng)式D進(jìn)行因式分解solve(D)求符號(hào)變量多項(xiàng)式D = 0的解三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容-23x 一13尤 +14尤 +14尤 一 7 尤=一104一2尤 一 2 x + x + 6 x 一 14 x = -114123451.求解非齊次線性方程組 一4x1 一 5x2 - 9x3 + 2x4 一 9x5 = -2124 x 7 x + x + 0 x + 0 x = 56123459 x - x + x - 9 x +10 x = 120解：A=-23 -13 14 14 -7;-2 -2 1 6 -14;-4 -5 -9 2 -9;-4 -7 1 0 0;9 -

7、1 1 -9 10A =-23-131414-7-2-216-14-4-5-92-9-4-71009-11-910 b=-104;-114;-212;-56;120 b =-104-114-212-56120 u=rref(A,b)u =1000060100060010010000102000018仔31-7-10 )2.設(shè)2-18-5315，求其逆.A 二-6032-11-1-7000口2-10-10110 /解： A=5 31 -7-10;2-18 -5315;-6 03 2 -11;-1 -7 0 0 0;12 -10 -10 110531-7-102-18-5315-6032-11-1

8、-700012-10-10110 An1=ATWarning: Matrix is close to singular or badly scaled.Results may be inaccurate. RCOND = 4.375535e-018.An1 =1.0e+015 *-0.4193-0.7402-0.45351.44910.19210.05990.10570.0648-0.2070-0.0274-0.5990-1.0574-0.64782.07010.2744-0.3594-0.6344-0.38871.24210.1647-0.00000.0000-0.0000-0.0000-0

9、.00001 - a a 00 -1 1 - a a 03.已知A =，求符號(hào)變量的行列式，并將結(jié)果因011 - a a:0011 - a)式分解.解：clear all syms a A=1-a a 00;-1 1-a a 0;0 0 1 1-aA =:1-a,a,0,0-1, 1- a,a,00,0,1, 1-a D=det(A)D = a 2 - a + 1 F=Factor(A)F =:1- a,a,0,0-1, 1- a,a,00,0,1, 1- a實(shí)驗(yàn)三向量組的線性相關(guān)性與方程組的通解一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?掌握matlab軟件分析向量組線性相關(guān)的方法；2掌握matlab軟件求解線性方程組通

10、解的各種方法；3通過matlab軟件進(jìn)一步理解和認(rèn)識(shí)齊次線性方程組解空間的概念；二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容(2 1 -111)1將矩陣A =4 2 - 2 1 2化為最簡(jiǎn)行階梯形矩陣。1 -1 -1 1 ?解： clear all A=2 1 -1 1 1;4 2 -2 1 2;2 1 -1 -1 1 A =21-11142-21221-1-11 rref(A)ans =1.00000.5000-0.500000.50000001.0000000000 x + x + x + x + x = 7123453 x + 2 x + x + x 3x = 2123452求解線性方程組x + 2 x + 2 x +

11、 6 x = 232求解線性方程組5 x + 4 x + 3x + 3 x x = 12解；clear all B=1 1 1 1 1 7;3 211 -3 -2;0 1 2 2 6 23;5 4 3 3 -1 12B =1111173211-3-201226235433-112 rref(B)ans =10-1-1-5-160122623000000000000所以原方程組等價(jià)于方程組x x x 5 x =16x + 2 x + 2 x + 6 x = 232345故方程組的通解為:XX= Cf1:21+ cf1 :20+cf5:60+f-16 230100 u J210 u J301V J

12、00v J3求下列符號(hào)變量的行列式，并要求把結(jié)果因式分解。abbbbabb（1）bbabbbba解；clearall symsa symsb A=a b b b;b a b b;b b b a A = a, b, b, bb, a, b, bb, b, b, a D=det(A)D =a2*b - 2*a*b2 + b3 f=factor(A)f =a, b, b, bb, a, b, bb, b, b, aX=solve(D)X=-1/3*aa a實(shí)驗(yàn)4特征向量與二次型一實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆誐ATLAB對(duì)向量組正交化的方法；求矩陣特征值與特征向量的方法；求矩陣對(duì)角化；化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型；判定矩陣的正

13、定性。二實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)P=Poly(A)求A的特征多項(xiàng)式roots(P )求多項(xiàng)式P的零點(diǎn)orth(A)求出矩陣A的列向量構(gòu)成空間的一個(gè)規(guī)范正交基。V,D=eig(A) A的特征值與特征向量，V為A的單位特征向量，D為A的特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣三實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2 1 11求矩陣A= 212的特征值與特征向量。1 2 I,解： clear all A=-2 1 1;2 1 2;-1 2 1A =-211212-121 F=eig(A)F =-2.1926-1.00003.1926 V,D=eig(A)V =0.4890-0.00000.2605-0.6621-0.70710.76950.56790.70710

14、.5831D =-2.1926000-1.00000003.1926(5 1 4)2將矩陣A =1 8 1對(duì)角化。、4 1 3,解：clear all A=5 1 4;1 8 1;4 1 3A =514181413 F,D=eig(A)F =-0.61230.55670.5614-0.0219-0.72180.69180.79030.41130.4541D =-0.12690006.65890009.4680 B=inv(F)*A*FB =-0.1269-0.00000.000006.6589-0.00000.00000.00009.46803判斷二次型f 3 ,x ,x ) = 2x2 +

15、4x2 + 5x2 - 4xx的正定性。(提示：可以考慮利用1231231 2特征值) 解:clear all A=2 -2 0;-2 4 0;0 0 5A =2-20-240005 E=eig(A)E =0.76395.00005.2361所以，二次型的特征值人=0.7639,人=5.0000,人=5.2361均大于0，即二次型f= （x f= （x , x , x）為正定性。x ,x）為正定性。f=實(shí)驗(yàn)5綜合實(shí)驗(yàn)一實(shí)驗(yàn)?zāi)康亩?shí)驗(yàn)指導(dǎo)三試驗(yàn)內(nèi)容A小行星的軌道模型問題一天文學(xué)家要確定一顆小行星繞太陽運(yùn)行的軌道，他在軌道平面內(nèi)建立以太陽 為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，在兩坐標(biāo)軸上取天文測(cè)量單位（一天文單位

16、為地球到太陽的平均距離: 1.4959787X101m）.在5個(gè)不同的時(shí)間對(duì)小行星作了 5次觀察，測(cè)得軌道上5個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù) 據(jù)如表6.1.表6.1坐標(biāo)數(shù)據(jù)xxx2x3xX坐標(biāo)5.764y16.286y26.759y37.168yY坐標(biāo)0.6481.2021.8232.526_5_7.408y53.360由Kepler （開普勒）第一定律知，小行星軌道為一橢圓.現(xiàn)需要建立橢圓的方程以供研 究（注：橢圓的一般方程可表示為a x2 + 2a xy + a y 2 + 2a x + 2a y +1 = 0.12345問題分析與建立模型天文學(xué)家確定小行星運(yùn)動(dòng)的軌道時(shí)，他的依據(jù)是軌道上五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)：（

17、X, y1）,（x2, y2）,（x3, y3）,（x4, y4）,（x5, y5）.由Kepler第一定律知，小行星軌道為一橢圓.而橢圓屬于二次曲線，二次曲線的一般方 程為a x2 + 2a xy + a y2 + 2a x + 2a y +1 = 0 .為了確定方程中的五個(gè)待定系數(shù)，將五個(gè) TOC o 1-5 h z 12345點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上面的方程，得a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1, 1 12 1 13 14 15 1a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1, 1 22223 24 25 2 a

18、 x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1 x2 + 2a x y + a y2 + 2a x + 2a y = -1,1 42 443 44 45 4a x2 + 2a x y + a y 2 + 2a x + 2a y = -1. 152 553 54 55 5這是一個(gè)包含五個(gè)未知數(shù)的線性方程組，寫成矩陣求解這一線性方程組，所得的是個(gè)二次曲線方程求解這一線性方程組，所得的是個(gè)二次曲線方程.為了知道小行星軌道的一些參數(shù)，還x 212 x1 y1y122x12 y1a 1-x 222 x2 y 2y222x22，2a2-1x232 x3 y3y232x32，3a3=-1x242 x4y 4y 22x42，4a4-1x252 x5 y5y252x52，5 Ia5-1必須將二次曲線方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式:X 2 Y 21+=1a 2 b 2由于太陽的位置是小行星軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，這時(shí)可以根據(jù)橢圓的長(zhǎng)半軸a和短半軸計(jì)算出小行星的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)距離，以及橢圓周長(zhǎng)L .根據(jù)二次曲線理論，可得橢圓經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移兩種變換后的方程如下:=0.所以,橢圓長(zhǎng)半軸:所以,橢圓長(zhǎng)半軸:a