絕對(duì)值函數(shù)的問(wèn)題解決精華(含答案)

1、關(guān)于絕對(duì)值函數(shù)的問(wèn)題解決有一道某地高三模擬考試題，涉及到絕對(duì)值函數(shù)，用來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)中的分類討論思想非常有代表性。試題已知函數(shù)f(X)二x2-1,g(x)=aIx-11.若關(guān)于X的方程If(x)l=g(x)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若當(dāng)xeR時(shí)，不等式f(x)g(x)恒函數(shù)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；求函數(shù)h(x)=If(x)I+g(x)在區(qū)間-2,2上的最大值(直接寫出結(jié)果，不需給出演算步驟).解答(1)方程If(x)I=g(x)，即Ix2-1I=dx-I，變形得Ix-11(1x+1I-a)=0，顯然，x=1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程Ix+1I=a，有且僅有一個(gè)等于

2、1的*)對(duì)x*)對(duì)xeR恒成立，當(dāng)x=1時(shí)，(*)顯然成立，此時(shí)aeR；x+1,(x+1,(x1),(x+1),(x1).綜合，得所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是aW2.X2-1x2-1當(dāng)x豐1時(shí)，(*)可變形為a-，令申(x)=-=2，當(dāng)x-2,所以p(x)2，故此時(shí)aW2.x2+axa1,(x1),(3)因?yàn)閔(x)=1f(x)I+g(x)=1x2一1|+aIx一11=x2ax+a+1,(1Wx1),x2ax+a1,(x1,即a2時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在2,1上遞減，在1,2上遞增，2且h(2)=3a+3,h(2)=a+3，經(jīng)比較，此時(shí)h(x)在2,2上的最大值為3a+3.當(dāng)0Wa1,即0WaW2

3、時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在2,1，a,1上遞減，22TOC o 1-5 h zaaa2在1,-，1,2上遞增，且h(2)=3a+3,h(2)=a+3，h(-)=+a+1，224經(jīng)比較，知此時(shí)h(x)在2,2上的最大值為3a+3.當(dāng)1Wa0,即-2Wa0時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在2,1，a,1上遞減，22aaa2在1,，1,2上遞增，且h(2)=3a+3,h(2)=a+3，h()=+a+1，224經(jīng)比較，知此時(shí)h(x)在2,2上的最大值為a+3.當(dāng)-Wa1,即-3Wa2時(shí)，結(jié)合圖形可知h(x)在2,a，1,a上遞減,2222aa在一,1，一,2上遞增，且h(-2)=3a+30,h(2)=a+3三

4、0,22經(jīng)比較，知此時(shí)h(x)在2,2上的最大值為a+3.a3當(dāng)-,即a0時(shí)，h(x)在2,2上的最大值為3-+3；當(dāng)3Wa0時(shí)，h(x)在2,2上的最大值為a+3；當(dāng)al,且關(guān)干就的方程f(K)=皿有兩個(gè)不同的正數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；設(shè)函數(shù)g(K)=f(-x),Ke-2,+),g(s)滿足如下性質(zhì)：若存在最丈(小)值，則攝丈小)值與a無(wú)關(guān).試求a的取值范圍解答：解：1)Sx0,Va1,所lt1,:關(guān)于孟的方程f(孟)=m有兩個(gè)不同的正數(shù)解轉(zhuǎn)化為:方程二=択有相異的且均丈于1的兩根，A=；H-S0Ay1、1-用-20解得22m1時(shí),孟孑0時(shí)，護(hù)彥1,g(k)=3aS所以.g(k)E3,+)

5、,-2壬孟VCi時(shí),g(k)=玄姻+2屮,所以(x)=-axina2clna=_1/rtai當(dāng)即1疥0,所以.g(k)在-2,0)上遞増所以如引，-3綜上：g(x)有最小值詁-二與a有關(guān)，不符皆(10-)ii當(dāng)即疥鼻羽時(shí)，由g(k)=0得x=logl,且當(dāng)一2x-tog2時(shí)，g;(k)0,當(dāng)一加。宮/工0,所以(k)在7-站昭/上遞減，在-冬昭尹可上遞増，所扣呼冃綜上：g(x)有最小值垃返與a無(wú)關(guān)，符臺(tái)要求.當(dāng)0N1時(shí)，a)X0時(shí)，0:=：1?g(X)=3a:S所Elg(x)E(0?3b)一2WxVD時(shí)，飛，g(k)=ax+2ax?所以所以（兀）=一農(nóng)一,辺十2護(hù)山農(nóng)=tna0?g（k）在-2

6、,0）上遞減所以E（Z：E3，歩一，綜上：a）b）g（x）有最大值為-二與a有關(guān)，不符合綜上所述，實(shí)數(shù)丑的取值范圍是診卡.（2011定區(qū)一模）已知函數(shù)g（k）=axz-2ax+l+b（aHO,b1）,在區(qū)間厶3上有懾大值4最小值1，設(shè)f（x）=手（I）求a,b的值；（II）不等式f（2X）-k2O在盜E-l,1上恒成立，求實(shí)數(shù)k的范圍；（III）方程尺|-1）-城一-3=。有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的范圍.12-II961一方=4、4&-41一方=1解答5解：(I)(1)g(x)=a(x-961一方=4、4&-41一方=1今當(dāng)80時(shí)，g(x)在今當(dāng)82x2.3=0171、。人。人令-7=r,

7、kt2-2t+l22記口(t)=t2-2t+l2記口(t)=t2-2t+l(t)=0kW0(III)方程(III)方程AI2x-i1)-(亍一-3尸0|21|亠。上化為|2匚11一二-(2-3幻=012j|2X-1|2-(2+3k)|2X-1|+(l+2k)=0,|2X-1|*0令|2X-1|=t,則方程化為H-(2+3k)t+(l+2k)=0(tO)1一方程|2匚1片一-(2-3幻=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，|2A-1|由t=|2x-l|的圖象知，t2-(2+3k)t+(l+2k)二0有兩個(gè)根t、t2，且0七10則(口(0)=1必0或口=一上=0I匚十000.(2006*重慶一模)已知函數(shù)f(k

8、)=|1-|.是否存在實(shí)數(shù)a,b(ab),使得函數(shù)y=f(x)的定義域和値域都是a,b.若存在，求出a,b的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明3若存在實(shí)數(shù)a,b(aQ又f(x)JC1,OX1+1=0的根，但方程無(wú)實(shí)根，所以此時(shí)實(shí)數(shù)加b也不存在.當(dāng)aE(Q,1)fbE(1,+=)時(shí)！i顯然IE呂，b?而f(1)=0Ea?b不可能，此時(shí)且，當(dāng)aE(Q,綜上可知，適告條件的實(shí)數(shù)a,b不存在.CII)若存在實(shí)數(shù)a,b使函數(shù)y=f(x)的定義域曲a,b,值域曲ma,mbCmHQ).由mbitla,ba得itl0,而m宜0?所以.a0由I)知和beCO,1：)或:aECO,1：,bE(1,+=：i時(shí)，適咅祭件的實(shí)埶和b

9、不存在，故只能是加be(1,+=問(wèn)=1一右在E5+*上曲増函數(shù)_2=材白ba,b是方程msz-K+l=0的兩個(gè)不等實(shí)根，且二實(shí)根均丈干1,fA=l-4ffi0m_1_10，m_1_10，解迂得QVmV；,斗亠12m故實(shí)如的取値范圍是0$(2014*浙江模擬設(shè)函數(shù)f小=x|2x-a|,g(x)=匸二La0X(1)當(dāng)an時(shí)，求f(x)在區(qū)間也5上的値域；(2)若VtG3；5；3kE3；5(i=1)2)且宴.工宴：，使f(k)=g(t),求實(shí)數(shù)a的取値范圍函數(shù)ff即二，XSVf(3)=6,f(4)=0,f(5)=10,-f在宇上遞魯在中卻上遞猱在與心上遞魯-.3y5或3?。贺?.6a10或12V5L

10、V2D.函數(shù)ff即二，XSVf(3)=6,f(4)=0,f(5)=10,-f在宇上遞魯在中卻上遞猱在與心上遞魯-.3y5或3?。贺?.6a10或12V5LV2D.12aA|)g(5)A3)!(5)A5)孑Cl，方程f(k)=g(3)無(wú)解.解得討Wt?9；9垃g(3)=0；而nE3；5?f(k)o綜上，實(shí)數(shù)a的取値范圍為訂WX9.”、III-2jcSx,x4f(k)|2x-=、|.2r丄-Ki,4q上遞減，在4刃上遞増，/.f(x)在區(qū)間35上的値域0,10；g(x)=匸二L在乳5上遞増，x-15上至少有兩個(gè)不同的解等價(jià)于g(3)!g(5)三(f)!minf(3),f(5),(D6a0,1-x(

11、k)=(1+k)-s(K)0?h(K)在-+占孑2+eA0,(0,+)上是増函數(shù).1_y_51:=:UjhIXJ=I1+ZJ一它-j.X-l1i一r/(x+1)0,.!?(k)0,xl故h(x)在(-1,0上是減函數(shù).1h(0)+曠,當(dāng)E趨干-1時(shí)，函數(shù)h(X)的値趨于正無(wú)窮大,當(dāng)孟趨于正無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)h(x)的値超于正無(wú)窮大，1TOC o 1-5 h z17故當(dāng)k-+-時(shí)，直線y=k和函數(shù)h(x)的圖驟有2個(gè)交點(diǎn),函數(shù)f(k)與g(x)的圖象有2個(gè)交點(diǎn).(2012*閔行區(qū)一模)記函數(shù)fCx)在區(qū)間D上的最大值與最小值分別maxf(x)|xGD與minf(x)IxGD.設(shè)函數(shù)fCx)=ib3.

12、記dCb)=minh(a)|aR.試寫出h(a)的表達(dá)式，并求mind(b)|bGC1,3)；解答:(3)令ka)=maxgf(x)|x61-mingfCx)|xG1(其中1X)gfCx)的定義域).若1恰奸曲1,3,求b的取值范圍，并求minkCa)IaGR.解答:解：於1=總)訟=嚴(yán)5UtEl.3,(駙)ax+b,xf=(b,3fa1QT函數(shù)E4：在b3單調(diào)遞減，-C，a：0(U1即b2,由*)知xE2b-3,b),但此時(shí)1=2b-3)UbU(b,3H1,3,所以2不合題意.若2b-3Wl即bW2,由*)知xEl,b),此時(shí)1=1,b)UbUb,3=1,3,故1VbW2,松)且gftx)說(shuō)一乩*E1,3l口白一乩jcG(乩3干是,當(dāng)宜WO時(shí),k(a)=(ab+b)-(2ab+b-a)=(1-b)a當(dāng):匸l時(shí),k且;i二(2ab+b