也論形式主義與多宇宙觀(guān)

1、也論形式主義與多宇宙觀(guān)摘要：文章對(duì)裘江杰在集合論多宇宙觀(guān)與形式主義中的若干觀(guān)點(diǎn)提出挑戰(zhàn)，試圖論證:作為數(shù)學(xué)哲學(xué)的形 式主義是無(wú)法做到徹底地本體論中立的，一些形式主義者對(duì)元數(shù)學(xué)的特別關(guān)注就促進(jìn)數(shù)學(xué)實(shí)踐而言的作用是 有限的。特別地，作者結(jié)合對(duì)一些新進(jìn)研究成果及其背后想法的梳理試圖展示：形式主義在探究數(shù)學(xué)新公理 和關(guān)于集合論多宇宙觀(guān)的研究中是缺席的；反過(guò)來(lái)，集合論多宇宙觀(guān)的有關(guān)研究成果則顯示出其明顯超出形 式主義的價(jià)值。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)哲學(xué)；形式主義；集合論多宇宙觀(guān)什么樣的數(shù)學(xué)研究是值得做的，什么樣的數(shù)學(xué)定理是好的數(shù)學(xué)研究成果?這顯然不是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn) 題。但數(shù)學(xué)工作者對(duì)這個(gè)問(wèn)題的看法無(wú)疑會(huì)影響他的研究志趣

2、，進(jìn)而影響他的具體工作,而數(shù)學(xué)家共同 體對(duì)這個(gè)問(wèn)題看法的分布則會(huì)影響數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的發(fā)展趨勢(shì)。按照典型的形式主義數(shù)學(xué)哲學(xué)的解讀， 所有的數(shù)學(xué)研究都可以被看作是在某個(gè)給定的形式化公理系統(tǒng)中做證明。而一般認(rèn)為,該公理系統(tǒng)的 定理集是能行可枚舉的(詳見(jiàn)后文)，即，存在一個(gè)計(jì)算機(jī)程序來(lái)枚舉該公理系統(tǒng)所有可能的定理。然 而,幾乎沒(méi)有人認(rèn)為數(shù)學(xué)工作應(yīng)該是這樣的。即使利用程序輔助尋找證明，數(shù)學(xué)工作者也至少需要解 讀、挑選有意義的結(jié)果。因此,這個(gè)并非數(shù)學(xué)問(wèn)題的問(wèn)題卻與幾乎所有數(shù)學(xué)工作者的研究工作密切相 關(guān)，難以回避。如果承認(rèn)對(duì)該問(wèn)題以及相關(guān)問(wèn)題的回答并非完全主觀(guān)任意,而是存在主體間就這些問(wèn)題 相互交流、考量、評(píng)

3、判并形成共識(shí)的空間，那么數(shù)學(xué)哲學(xué)便是可能的了。從早期以希爾伯特為代表的經(jīng)典形式主義到科恩等人關(guān)于公理化集合論的形式主義，形式主義在 現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的討論中一直在場(chǎng)。然而，自從哥德?tīng)柕膬蓚€(gè)不完全性定理的發(fā)現(xiàn)揭示希爾伯特形式主 義原版的研究綱領(lǐng)不可實(shí)現(xiàn)，形式主義在嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)哲學(xué)討論中始終處于相對(duì)弱勢(shì)的地位。盡管如此, 形式主義對(duì)數(shù)學(xué)工作者仍然有著強(qiáng)烈的吸引力，盡管這一吸引力主要來(lái)自可以回避進(jìn)一步的追問(wèn)。正 如Reuben Hersh寫(xiě)道:“典型的數(shù)學(xué)工作者是工作日的柏拉圖主義者，又是星期日的形式主義者。叩集合論多宇宙觀(guān)(set-theoretical multiverse view)是近年來(lái)興起的區(qū)

4、別于集合論單宇宙觀(guān)(universe view)的集合論哲學(xué)觀(guān)點(diǎn)。后者是數(shù)學(xué)柏拉圖主義在集合論被廣泛接受為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一語(yǔ)境下的具體 實(shí)現(xiàn),即認(rèn)為存在唯一典范的集合概念以及由滿(mǎn)足這一概念的所有集合組成的集合論宇宙，集合論語(yǔ)言 中的任何一則命題關(guān)于這個(gè)集合論宇宙的描述要么是真的要么是假的。集合論多宇宙觀(guān)則基于人們從 構(gòu)造內(nèi)模型、力迫擴(kuò)張及非標(biāo)準(zhǔn)模型以及在這些模型中“工作”的強(qiáng)健經(jīng)驗(yàn)，宣稱(chēng)存在許多不同的集合概 念或集合論宇宙。筆者曾在集合論多宇宙觀(guān)述評(píng)中論證，集合論多宇宙觀(guān)要么是一種形式主義，要么 是與傳統(tǒng)柏拉圖主義或集合論單一宇宙觀(guān)相容的21裘江杰在集合論多宇宙觀(guān)與形式主義中試圖把形式主義重新詮釋

5、為一種本體論中立的，并且有 助于推動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)踐的數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng)31同時(shí)，裘江杰認(rèn)為集合論多宇宙觀(guān)可以被納入這樣一種形式主義 立場(chǎng),并且正是在這種形式主義的框架下體現(xiàn)出其對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的正面影響。由此,進(jìn)一步佐證了這種本 體論中立的形式主義對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐是有益的。在本文中，筆者試圖挑戰(zhàn)裘江杰的上述觀(guān)點(diǎn)。在第一節(jié)中，筆者擬論證數(shù)學(xué)哲學(xué)的形式主義是無(wú)法 真正做到本體論中立的。在第二節(jié)中，筆者將針對(duì)性地討論形式主義就推動(dòng)數(shù)學(xué)實(shí)踐而言的局限性。 在除去結(jié)論的最后一節(jié)中，筆者將結(jié)合一些新結(jié)果再次審視圍繞集合論多宇宙觀(guān)的集合論研究與有關(guān) 數(shù)學(xué)哲學(xué)立場(chǎng)的關(guān)系，試圖展現(xiàn)集合論多宇宙觀(guān)獨(dú)立于形式主義的價(jià)值。一、形式主義不是本

6、體論中立的在集合論多宇宙觀(guān)與形式主義中，裘江杰承接科里(Haskell Curry)的形式主義立場(chǎng)，認(rèn)為形式主 義應(yīng)該是本體論中立的，它不在形而上學(xué)上做任何假設(shè)，并且形式主義并不拘泥于特定的形式化系統(tǒng)。 特別地，他們認(rèn)為形式主義不應(yīng)該受到希爾伯特所謂有窮數(shù)學(xué)的掣肘。但這種形式主義仍然要求形式 系統(tǒng)滿(mǎn)足一定的可接受條件，其中包括一致性，卻不要求一個(gè)一致性證明。此外，裘江杰和科里都認(rèn)為 關(guān)于這些形式系統(tǒng)的“元數(shù)學(xué)”研究是重要的。在本節(jié)中，筆者首先試圖論證任何有意義的形式主義都無(wú)法做到真正的本體論中立。同時(shí),筆者也 試圖解釋?zhuān)柌仃P(guān)于形式主義“元數(shù)學(xué)”必須是有窮數(shù)學(xué)的限制性立場(chǎng)為何不能任意放寬。

7、在后人的解釋中，一般認(rèn)為希爾伯特的形式主義不是本體論中立的。他將數(shù)學(xué)分割為可靠的有窮 數(shù)學(xué)(finitary mathematics)以及其一致性有待證明的經(jīng)典數(shù)學(xué)，后者包括康托爾發(fā)明的集合論。的確可 以說(shuō)，希爾伯特本人關(guān)于包括集合論在內(nèi)的經(jīng)典數(shù)學(xué)的本體論問(wèn)題試圖展現(xiàn)一種中立的立場(chǎng)，或者說(shuō)試 圖懸置抽象實(shí)體或無(wú)窮集合是否存在的問(wèn)題。同時(shí)，希爾伯特捍衛(wèi)數(shù)學(xué)工作者在“康托爾的樂(lè)園”中自 由探索的價(jià)值，其手段就是將這部分?jǐn)?shù)學(xué)形式化，并在可靠的有窮數(shù)學(xué)中證明這個(gè)形式化了的公理系統(tǒng) 是一致的。這就是所謂的希爾伯特綱領(lǐng)(Hilberts Program)0我們知道，希爾伯特綱領(lǐng)因?yàn)楦绲聽(tīng)柌煌?全性定理而注

8、定無(wú)法在其原本意義上實(shí)現(xiàn)，但是希爾伯特形式主義乃至后哥德?tīng)柖ɡ淼南柌匦问?主義變種在本體論上對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行區(qū)分的做法是一以貫之的。希爾伯特式的形式主義可以懸置那部分需 要通過(guò)形式化方案來(lái)捍衛(wèi)的數(shù)學(xué)的本體論問(wèn)題,但要求對(duì)這部分?jǐn)?shù)學(xué)的形式化給出一致性證明。這一 立場(chǎng)意味著他們必須認(rèn)為其所期望的一致性證明是可靠的，或在某種意義上是真的。無(wú)論這種一致性 證明是基于有窮數(shù)學(xué)或其他構(gòu)造主義數(shù)學(xué)的證明，他們必須或假設(shè)或嘗試論證這部分?jǐn)?shù)學(xué)是有意義的, 它們對(duì)應(yīng)著某種可靠的信念或具體的客觀(guān)概念。例如，竹內(nèi)外史在證明論中為%下歸納原理所作的辯護(hù)。他定義了序數(shù)的可及性(accessible)概 念來(lái)描述人們可以“切

9、實(shí)地看到”或“構(gòu)造性地證明”可及序數(shù)下的每個(gè)嚴(yán)格下降鏈都是有窮的。他試圖 論證，可及性在序數(shù)加法、乘法甚至冪運(yùn)算下保持不變，從而證明4下的序數(shù)都是可及的。竹內(nèi)外史宣 稱(chēng)基于可及序數(shù)下的歸納原理相比完全的集合論是有窮主義的，相比直覺(jué)主義中抽象的“構(gòu)造”“證明” 概念又更加具體。因而，這是所謂“希爾伯特一根岑有窮主義立場(chǎng)”可以接受的數(shù)學(xué)命題。再如,哥德?tīng)枌?duì)他的T系統(tǒng)的辯護(hù)。在論一種迄今未用過(guò)的有窮主義觀(guān)點(diǎn)的擴(kuò)張中，哥德?tīng)柮枋?了一個(gè)擴(kuò)張了有窮主義限制的系統(tǒng)T,并證明了直覺(jué)主義算術(shù)相對(duì)于該系統(tǒng)的一致性田。哥德?tīng)栐噲D讓 讀者相信,T系統(tǒng)基于的“自然數(shù)上的有限類(lèi)型的可計(jì)算函數(shù)”概念是一個(gè)相比更具體的、“

10、意義清晰 的”概念。讀者可以在哥德?tīng)栐跇?gòu)造主義數(shù)學(xué)方面的工作中找到簡(jiǎn)要的介紹50在希爾伯特形式主義及其變種中，數(shù)學(xué)被劃分為可靠的部分與“理想”的部分。這種立場(chǎng)的支持 者有義務(wù)澄清劃分的具體位置,并為這種劃分辯護(hù)。對(duì)劃分的辯護(hù)可能暗含在對(duì)可靠部分可靠性的 辯護(hù)中。這種“區(qū)別對(duì)待”本身揭示了形式主義者對(duì)關(guān)于“理想”數(shù)學(xué)的本體論地位的看法，它顯然不是 中立的前希爾伯特的形式主義者或許可以聲稱(chēng)他們對(duì)所有數(shù)學(xué)一視同仁。一些前希爾伯特的（往往是非 自覺(jué)的）形式主義立場(chǎng)的確沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)做類(lèi)似的劃分，它們斷言所有數(shù)學(xué)都是無(wú)意義的。例如游戲形式 主義，認(rèn)為數(shù)學(xué)工作者只是根據(jù)給定的游戲規(guī)則進(jìn)行操作。但即使極端的游戲

11、形式主義者也不得不承 認(rèn),關(guān)于他們所玩的游戲規(guī)則是否和諧的問(wèn)題是有意義的。人們顯然不會(huì)認(rèn)為，一個(gè)已知走某步就定勝 負(fù)（如證明出矛盾從而可以證明所有命題）的游戲是值得玩的。而在希爾伯特之后，人們逐漸厘清了那 些數(shù)學(xué)游戲的規(guī)則，形成了明確定義的數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，并借助于哥德?tīng)柧幋a等技巧,將關(guān)于游戲規(guī)則的 問(wèn)題明確地翻譯成了對(duì)應(yīng)的算術(shù)問(wèn)題。正如人們很難拒絕承認(rèn)圖靈機(jī)可計(jì)算是對(duì)能行可計(jì)算概念的正 確刻畫(huà)。一旦這樣的工具出現(xiàn)在眼前,人們就很難再拒絕承認(rèn)這些翻譯的正確性，這些關(guān)于游戲規(guī)則的 問(wèn)題就是數(shù)學(xué)問(wèn)題，而且這些數(shù)學(xué)問(wèn)題是有意義的。因此，希爾伯特式的形式主義對(duì)數(shù)學(xué)基于本體論地 位的劃分對(duì)一般的形式主義而言

12、也是難以避免的。或許,形式主義者可以聲稱(chēng)所謂的本體論中立僅僅是指“理想元”部分的本體論中立。例如,作為哥 德?tīng)柖ɡ碇蟮男问街髁x者,科里不要求對(duì)公理系統(tǒng)的一致性證明。因此，也不需要承認(rèn)一個(gè)用以證明 一致性的具有更高本體論地位的“元數(shù)學(xué)”，盡管他仍然認(rèn)為一致性是形式系統(tǒng)重要的屬性。希爾伯特所強(qiáng)調(diào)的正是一致性標(biāo)準(zhǔn)。這樣做的原因大概是他在尋找一個(gè)先天的合法性證明。但是，且不論對(duì)物 理來(lái)說(shuō)，一個(gè)先天的合法性證明的問(wèn)題是不相關(guān)的，我堅(jiān)持認(rèn)為一 一致性證明既不是可接受性的必要條件也不是充分 條件。它顯然不是充分的。至于必要性，只要沒(méi)有不一致性被認(rèn)識(shí)到，一 一致性證明盡管帶給我們關(guān)于系統(tǒng)的知識(shí)，但 并不改變

13、它的有用性。即使不一致性被發(fā)現(xiàn)，這也不意味著這一理論被完全拋棄，而是意味著它的修改與提煉因此， 希爾伯特在關(guān)于一致性方面的這一奇怪的立場(chǎng)并不是數(shù)學(xué)形式主義觀(guān)念的一部分。6皿血科里不要求一個(gè)先行的一致性證明，這是對(duì)自弗雷格以來(lái)人們探索數(shù)學(xué)基礎(chǔ)基本動(dòng)機(jī)的忽視。人們希 望為數(shù)學(xué)尋找一個(gè)安全的基礎(chǔ),或是邏輯或是形式化的公理系統(tǒng),以避免可能的謬誤。弗雷格作為典型 的實(shí)在論者可以不像希爾伯特那樣尋求一個(gè)有窮數(shù)學(xué)的一致性證明。因?yàn)樵谒磥?lái):“公理不會(huì)彼此矛 盾，因?yàn)樗鼈兪钦娴?而這不需要一個(gè)證明?！眻A這里的證明是指希爾伯特在幾何基礎(chǔ)中給出的相對(duì)一 致性證明或是基于有窮數(shù)學(xué)的一致性證明。顯然,一則數(shù)學(xué)命題（在

14、弗雷格看來(lái)是這則命題所表達(dá)的思 想）作為公理仍然是需要辯護(hù)的，正如他在算術(shù)基礎(chǔ)中所做的工作那樣。無(wú)論希爾伯特的形式主義綱 領(lǐng)、布勞威爾及其后繼者的直覺(jué)主義宣言還是引領(lǐng)當(dāng)代集合論研究的哥德?tīng)柧V領(lǐng)都繼承了自弗雷格以 來(lái)的這一訴求。科里訴諸物理學(xué)的比較來(lái)說(shuō)明先天合法性證明是不需要的。然而在早已數(shù)學(xué)化了的物 理學(xué)中，對(duì)一致性的辯護(hù)顯然是必要的。任何物理學(xué)理論被要求與其他理論和已知現(xiàn)象一致。例如，關(guān) 于量子力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)模型一致性的討論乳正是由于量子力學(xué)與廣義相對(duì)論之間顯然的沖突，人們清楚地意 識(shí)到一個(gè)涵蓋所有四種基本力的萬(wàn)物理論尚付闕如。因此,尋找一個(gè)兼容量子力學(xué)與相對(duì)論的一致的 理論始終是理論物理學(xué)的核心

15、問(wèn)題。的確，無(wú)論在物理學(xué)還是數(shù)學(xué)實(shí)踐中，人們往往（甚至注定）是在 某個(gè)理論的一致性證明或其他“安全保證”尚未確立的情況下工作于其中的。但這不妨礙這類(lèi)基礎(chǔ)問(wèn)題 始終是數(shù)學(xué)、物理及其哲學(xué)的核心關(guān)切。而只要直面這一數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題，無(wú)論柏拉圖主義者、直覺(jué)主義 者還是形式主義者（正如前文所分析的）都無(wú)法做到所謂的本體論中立。關(guān)于科里的形式主義立場(chǎng)，一個(gè)有趣的事實(shí)是，他非常重視關(guān)于形式系統(tǒng)的“元數(shù)學(xué)”,甚至以此為 數(shù)學(xué)的本質(zhì)：“數(shù)學(xué)是關(guān)于形式系統(tǒng)的科學(xué)叩。他所關(guān)注的“元命題”主要是關(guān)于形式系統(tǒng)本身（諸如 “命題x是在形式系統(tǒng)X中可證的”），以及形式系統(tǒng)之間關(guān)系（諸如，一個(gè)系統(tǒng)是另一個(gè)系統(tǒng)的子系統(tǒng)） 這樣的命

16、題。而“形式系統(tǒng)X是一致的”無(wú)非是某個(gè)具體的謬誤（如0=1或aA-a）“不是在形式系統(tǒng)X中 可證的”。因此，無(wú)論科里對(duì)系統(tǒng)一致性證明持有怎樣的看法，他對(duì)所謂“元數(shù)學(xué)”地位的特別關(guān)注使他 無(wú)法避免本體論上的二分立場(chǎng)。事實(shí)上，在關(guān)于數(shù)學(xué)的“形式主義”定義中，科里明確將“非構(gòu)造性命題 排除在真正的數(shù)學(xué)的領(lǐng)域之外”。因?yàn)?，“這些命題的真取決于與構(gòu)造主義命題中所蘊(yùn)涵的形式不同的 理想假設(shè)?！钡?6在結(jié)束本節(jié)之前，我們?cè)噲D進(jìn)一步厘清形式主義的“元數(shù)學(xué)”概念。科里聲稱(chēng)他的“元數(shù)學(xué)”并不局 限于希爾伯特的有窮數(shù)學(xué)。而正如前文中提到的，科里所舉的“元命題”的例子主要是關(guān)于公理系統(tǒng)可 證性以及公理系統(tǒng)之間證明論強(qiáng)

17、度的命題。一般認(rèn)為，一個(gè)公理系統(tǒng)的公理集必須是能行可判定的。 也就是說(shuō)，至少要有一個(gè)有窮的機(jī)械的程序，任給一則表達(dá)式，該程序能夠在有窮時(shí)間內(nèi)判斷該表達(dá)式 是否是一條公理。進(jìn)一步，我們要求該公理系統(tǒng)下的證明是能行可檢測(cè)的。也即,原則上存在一個(gè)有窮 的機(jī)械程序,任給一個(gè)表達(dá)式序列，該程序能夠在有窮時(shí)間內(nèi)判斷這個(gè)序列是否構(gòu)成一個(gè)有效的證明。 上述這些要求恐怕是對(duì)公理系統(tǒng)最低的要求。事實(shí)上，數(shù)學(xué)家社區(qū)對(duì)公理系統(tǒng)及其證明的可檢測(cè)性有 著更高的要求。例如，經(jīng)驗(yàn)上可以被其他數(shù)學(xué)家所理解等。由于證明有效性是能行可檢測(cè)的，原則上， 人們就可以設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算機(jī)程序來(lái)枚舉某個(gè)公理系統(tǒng)所有可能的數(shù)學(xué)定理。因此，關(guān)于公理

18、系統(tǒng)內(nèi)部 可證性的問(wèn)題，也就成了關(guān)于上述程序能否枚舉到某個(gè)命題的問(wèn)題。我們可以通過(guò)哥德?tīng)柧幋a和克萊 尼謂詞（Kleenes Predicate）將它變成一個(gè)算術(shù)問(wèn)題，更準(zhǔn)確地說(shuō)，它是一個(gè)珥的一階算術(shù)問(wèn)題。相對(duì)一 致性命題，如Con（Con（T）是關(guān)于公理系統(tǒng)間證明論強(qiáng)度的典型問(wèn)題。一個(gè)相對(duì)一致性證明往往來(lái) 自具體給出一個(gè)統(tǒng)一的程序，將任何L中到謬誤的證明轉(zhuǎn)換為T(mén)1中到某個(gè)謬誤的證明。絕大多數(shù)的相 對(duì)一致性證明，包括利用力迫法得到的關(guān)于集合論諸公理系統(tǒng)間的相對(duì)一致性證明甚至可以在原始遞 歸算術(shù)（PRA）中得到，即上述證明轉(zhuǎn)換程序往往是原始遞歸的。按照一般理解，原始遞歸算術(shù)符合希爾 伯特對(duì)有窮數(shù)學(xué)

19、的要求。因此，科里所謂關(guān)于形式系統(tǒng)之間關(guān)系的“元數(shù)學(xué)”大多可以被希爾伯特有窮 數(shù)學(xué)覆蓋。我們知道，任何珥的真命題都在皮亞諾算術(shù)甚至更弱的算術(shù)系統(tǒng)中可證明。哥德?tīng)柌煌耆?性定理告訴我們，任何一致的且足夠的算術(shù)公理系統(tǒng)中總有不可證的n 0真命題。但無(wú)論如何，關(guān)于形 式系統(tǒng)的上述“元數(shù)學(xué)”命題不會(huì)超出一階算術(shù)的范圍?？评镌陉P(guān)于什么是“元數(shù)學(xué)”的界定中，的確還留下了進(jìn)一步解釋的空間。他認(rèn)為“涉及關(guān)系到外在 （extraneous，相對(duì)于形式系統(tǒng)本身而言）考量或無(wú)窮主義假設(shè)的元定理，例如對(duì)塔斯基和哥德?tīng)栮P(guān)于一 階謂詞邏輯完全性證明的語(yǔ)義研究”10也可以被算作元數(shù)學(xué)。筆者未能在科里的著作中找到關(guān)于這類(lèi) 元

20、定理的明確例子。我們知道哥德?tīng)柾耆远ɡ硇枰辽僭诙A算術(shù)語(yǔ)言中陳述，并且可以在二階算 術(shù)公理系統(tǒng)WKL。中被證明。另一方面，我們不能無(wú)限擴(kuò)大對(duì)這部分“元數(shù)學(xué)”的解釋。一般被認(rèn)為，下 行的勒文海姆-斯寇倫定理是哥德?tīng)柾耆远ɡ碜C明的推論。但其證明中使用了某種形式的選擇公理。 準(zhǔn)確地說(shuō)，在ZF基礎(chǔ)之上，針對(duì)可數(shù)語(yǔ)言的下行的勒文海姆-斯寇倫定理與依賴(lài)選擇公理(dependent choice,DC)是等價(jià)的；而針對(duì)任意基數(shù)語(yǔ)言的下行的勒文海姆-斯寇倫定理與選擇公理等價(jià)叫。顯然， 科里不會(huì)承認(rèn)選擇公理是否為真也是他所謂的關(guān)于形式系統(tǒng)“元數(shù)學(xué)”的問(wèn)題。二、形式主義對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐的影響筆者在結(jié)構(gòu)主義是一種有

21、效的數(shù)學(xué)哲學(xué)嗎?中質(zhì)疑結(jié)構(gòu)主義是有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)，21在同樣的意 義上,形式主義無(wú)疑是有效的數(shù)學(xué)哲學(xué)。希爾伯特的形式主義綱領(lǐng)直面數(shù)學(xué)工作者的困惑。無(wú)論是希 爾伯特本人關(guān)于幾何的公理化工作，還是一階謂詞邏輯和集合論的公理化,抑或前文提到的根岑和哥德 爾關(guān)于皮亞諾算術(shù)的一致性和相對(duì)一致性證明，都是在希爾伯特形式主義綱領(lǐng)啟發(fā)下的數(shù)學(xué)工作。在 這個(gè)意義上，形式主義的確對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)踐有著積極的影響。裘江杰在集合論多宇宙觀(guān)與形式主義中認(rèn)為，元數(shù)學(xué)“作為對(duì)數(shù)學(xué)的反思性研究”是“形式主義的 重要組成部分”，并且形式主義,尤其是被納入形式主義框架的集合論多宇宙觀(guān)有助于為集合論搜尋新 公理。本節(jié)中，筆者則試圖說(shuō)明:形式

22、主義者尤其關(guān)注的元數(shù)學(xué)研究恰恰非常依賴(lài)超出形式主義的思想 和直觀(guān)；而形式主義對(duì)探究集合論新公理的作用是有限的。的確，當(dāng)代集合論研究中大量使用力迫法得到的結(jié)果都可以寫(xiě)成Co心一Cong)這樣的形式。 這種相對(duì)一致性結(jié)果可以被看作是典型的元數(shù)學(xué)命題，并且本質(zhì)上可以在弱如PRA這樣的算術(shù)公理系 統(tǒng)中得到證明。但實(shí)際上,幾乎沒(méi)有集合論工作者是在算術(shù)公理系統(tǒng)中工作來(lái)發(fā)現(xiàn)這些證明的。一般 關(guān)于力迫法的直觀(guān)是構(gòu)造一個(gè)已有集合論宇宙中不存在的泛型(泛型,generic)對(duì)象，例如R個(gè)實(shí)數(shù)，來(lái) 得到滿(mǎn)足某個(gè)命題的“更大的”集合論宇宙，并稱(chēng)之為力迫擴(kuò)張(forcing extension)o按照樸素的單一宇 宙觀(guān)

23、，把集合論宇宙理解成所有集合組成的宇宙，就無(wú)法解釋何以能夠再造出一個(gè)在集合論宇宙中 不存在的泛型對(duì)象。對(duì)此,一般可以借助可數(shù)傳遞模型或力迫語(yǔ)言來(lái)解釋。用可數(shù)傳遞模型來(lái)解釋 Con(T)Con(T+(p)的力迫法證明，首先假設(shè)存在T的可數(shù)傳遞的玩具模型由于可數(shù)模型上的泛型對(duì) 象總存在，我們可以證明存在M的力迫擴(kuò)張MG滿(mǎn)足T+p。在這個(gè)解釋下，我們處理的只是玩具模型， 無(wú)論玩具模型M、泛型對(duì)象G還是M的力迫擴(kuò)張MG都真實(shí)地存在于我們的宇宙中。關(guān)于這個(gè)解釋需 要注意的是，滿(mǎn)足T的可數(shù)傳遞模型M的存在往往嚴(yán)格強(qiáng)于Con(T)這個(gè)假設(shè)。實(shí)際上，我們?nèi)〉氖羌?論公理集T的任意一個(gè)有窮部分T(ZF可以證明

24、任何ZF有窮子集都有可數(shù)傳遞模型)。由此，上述解釋 本質(zhì)上提供了一個(gè)證明轉(zhuǎn)換的能行方法:如果T+p不一致，即存在一個(gè)有窮的T+p可以證明荒謬，那么 我們就可以從ConT這個(gè)假設(shè)出發(fā)證明出存在T+p的模型這個(gè)荒謬，因而T也是不一致的。通過(guò)力迫 語(yǔ)言的解釋一定程度上可以避免這種曲折的處理方式。我們先定義力迫語(yǔ)言的“語(yǔ)義”一力迫關(guān)系： pl Ha (T)，其中T是一串“力迫名詞”，“力迫名詞”可以被理解為在原有集合論宇宙中指稱(chēng)可能的力迫擴(kuò)張 中對(duì)象的名稱(chēng)，它們構(gòu)成了原有集合論宇宙中的一個(gè)可定義的真類(lèi)。因此，力迫語(yǔ)言的“語(yǔ)義”作為一個(gè) 關(guān)系也是原有集合論宇宙中的一個(gè)可定義的真類(lèi)。在這種解釋下，為了證明

25、Con(T)Con(T+p),一般假 設(shè)我們?cè)赥宇宙中定義了力迫語(yǔ)言，試圖證明存在力迫條件。由此，如果T+p不一致,即Tp，可以 證明任何力迫條件都有pIH-p,從而我們得到了 T中的矛盾:pHp且plH-p(這與力迫關(guān)系的性質(zhì)不符)。 我們還可以借助布爾值模型使得基于力迫語(yǔ)言的解釋顯得更直觀(guān)。布爾值模型可以被理解為對(duì)通常 基于二值布爾代數(shù)的語(yǔ)義的推廣，在其中每個(gè)語(yǔ)句的真值是B中的元素。我們從一個(gè)ZFC宇宙V出發(fā) 構(gòu)造的布爾值模型V中,ZFC和ZFC的推論的“真值”都是B中的最大元，而如果一個(gè)語(yǔ)句在V中能取到 除最小元以外的真值，它就是與ZFC是一致的了。上述力迫法的解釋無(wú)不涉及無(wú)窮模型，甚至

26、真類(lèi)(布 爾值模型V和力迫關(guān)系都是V中的真類(lèi))。即使知道基于力迫法的相對(duì)一致性證明,要還原出其在PRA 中的版本也往往是一件非常困難的任務(wù),很難想象對(duì)著ZF的形式定義就能夠找到Con(ZF)Con(ZF+ 2s=2)所需要的證明變換程序。我們舉一個(gè)極端的例子來(lái)解釋為什么形如Con(T)的典型的形式主義“元數(shù)學(xué)”問(wèn)題必須援引“外在 的”直觀(guān)。我們通常只關(guān)心可公理化的理論T,也即T是遞歸可枚舉的。由此,Con(T)可以被寫(xiě)成一則 的一階算術(shù)語(yǔ)句。例如，Con(ZFC)就是一則即使在ZFC中也無(wú)法證明的n?語(yǔ)句(假設(shè)ZFC 一致)。甚 至，無(wú)論我們?nèi)绾翁砑有碌墓韥?lái)擴(kuò)張ZFC，只要所得到的仍然是一個(gè)

27、一致的集合論公理系統(tǒng)，其中就 仍然有不可證的真的n 1語(yǔ)句。這些是哥德?tīng)柕诙煌耆远ɡ砀嬖V我們的。一般認(rèn)為Con(ZFC)作為 對(duì)ZFC的擴(kuò)張，并不是很強(qiáng)的命題。例如,ZFC+存在不可達(dá)基數(shù)就可以證明它。但下面的事實(shí)告訴我 們，在處理形如Con(T)的語(yǔ)句時(shí)，我們必須對(duì)T的具體編碼方式保持謹(jǐn)慎。通過(guò)一些處理，我們甚至可 以把“ZFC是一致的”這則n語(yǔ)句變得任意強(qiáng)。事實(shí)固定對(duì)集合論語(yǔ)言的編碼，令。,同是對(duì)集合論語(yǔ)言語(yǔ)句的能行枚舉。對(duì)任意語(yǔ)句Vxp(x) (其中弦(x)是一個(gè)公式)，存在一個(gè)自然數(shù)e使得：Vxp(x)蘊(yùn)含?: ieW=ZFC;ZFC+Con(、: ieW)lVxp(x)。這里我們

28、援引遞歸論中的術(shù)語(yǔ)，用W表示編碼為e的圖靈機(jī)的定義域，或“第e個(gè)遞歸可枚舉集”。 我們說(shuō),ZFC是一個(gè)遞歸可枚舉的(實(shí)際上是遞歸的)公理集，也即存在一個(gè)自然數(shù)d使得ZFC=&定 W,。所以事實(shí)陳述中的弓ieW=ZFC實(shí)際上是億=仍這樣一則一階算術(shù)命題。此外，W,又可以被表 示為一個(gè)遞歸函數(shù)3的值域：Wd=3(i): i如。事實(shí)的證明假設(shè)ZFC=3(i): 3。我們可以構(gòu)造一個(gè)部分遞歸函數(shù)e：3 (n ),如果Vxn(p (x),中 e(n )=,3(n)A0=1,否則。我們先驗(yàn)證(1):如果Vx(x)成立，那么W=ranQ=ZFC。此時(shí),Con(W)等價(jià)于Con(ZFC)。驗(yàn)證(2)：我們?cè)赯

29、FC中工作，如果-Vxp(x),那么W中就包含0=1。因而，-Con(W)。證畢。因此，對(duì)任何真的n 0語(yǔ)句(例如，“ZFC+存在任意大的武丁基數(shù)是一致的”)，我們都可以找到ZFC 的某個(gè)編碼，使得Con(ZFC)蘊(yùn)含這則語(yǔ)句。在弗雷格這樣的實(shí)在論者看來(lái),這并沒(méi)有什么吊詭的地方， 因?yàn)樗鼈兌际钦娴?。科里認(rèn)為，當(dāng)我們證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題的時(shí)候，重要的是我們證明了這個(gè)命題在某個(gè)公理系統(tǒng)中可證 這一元數(shù)學(xué)事實(shí)。一度作為ZFC形式主義者的謝赫拉(Saharon Shelah)在已知ZFC關(guān)于正則基數(shù)為指 數(shù)的冪所知甚少的情況下,提議盡可能在ZFC中證明關(guān)于奇異基數(shù)為指數(shù)的冪的取值上限，并證明了著 名的不等

30、式：2。跖。證明使用了謝赫拉發(fā)明的相比基數(shù)冪運(yùn)算更精細(xì)的共尾可能性理論(pcftheory), 涉及在各種超積模型中可能的共尾數(shù)。這依賴(lài)于相當(dāng)深刻的集合直觀(guān)。盡管所有在ZFC公理系統(tǒng)中的 證明自然都會(huì)有相應(yīng)的元定理作為副產(chǎn)品，但即使在ZFC形式主義者看來(lái),他所證明的是一則關(guān)于集合 的事實(shí)，而不是一則有窮的算術(shù)“元數(shù)學(xué)”命題。事實(shí)上，沒(méi)有人真正給出過(guò)見(jiàn)證ZFC-2電童的形式化 證明的編碼。裘江杰在集合論多宇宙觀(guān)與形式主義中認(rèn)為形式主義能夠幫助探究集合論新公理。后者是哥德 爾綱領(lǐng)的核心議題,也被認(rèn)為是柏拉圖主義面對(duì)不完全性現(xiàn)象的標(biāo)準(zhǔn)回應(yīng)。裘江杰寫(xiě)道“為獲得具有 某種獨(dú)立性的常規(guī)數(shù)學(xué)結(jié)果所必須的命題

31、可能可以作為新公理的候選。這一進(jìn)路是形式主義的。叩對(duì) 這句話(huà)可以有兩種解讀。一種是，得到獨(dú)立性結(jié)果這種“元數(shù)學(xué)”結(jié)果所必須的命題可以作為新公理的 候選;第二種是,要證明已知獨(dú)立命題(如獨(dú)立于ZF的CH)所必須的命題可以作為新公理的候選。已知 的獨(dú)立性元數(shù)學(xué)結(jié)果(由一對(duì)相對(duì)一致性命題組成)往往是在弱如PRA這樣的有窮主義公理系統(tǒng)中可證 的，并不需要什么擴(kuò)張了現(xiàn)有集合論公理系統(tǒng)的新公理候選。因此，第一種解讀可以排除。關(guān)于第二種 解讀，來(lái)自形式主義對(duì)新公理的要求是證明目標(biāo)已知獨(dú)立命題所必須的命題。筆者認(rèn)為，這是不合理 的。按照哥德?tīng)柧V領(lǐng)對(duì)新公理的標(biāo)準(zhǔn)的討論,集合論新公理除了必須滿(mǎn)足符合我們關(guān)于集合概

32、念的直 觀(guān)這一內(nèi)在性要求，還應(yīng)該具有成果豐富性這一外在性要求，即可以加深我們關(guān)于集合論宇宙的理解。 除去豐富性要求，最“安全的”新公理無(wú)疑是將目標(biāo)獨(dú)立問(wèn)題或其否定本身作為新公理，這恰好符合形式 主義者的上述要求。目前關(guān)于集合論新公理的主要候選理論(W. Hugh Woodin的終極L、力迫公理和內(nèi) 模型假設(shè))都有遠(yuǎn)超連續(xù)統(tǒng)假設(shè)問(wèn)題的豐富后承。又或許形式主義者思考的對(duì)新公理的探究是類(lèi)似反 推數(shù)學(xué)的工作，后者試圖厘清被廣泛接受的數(shù)學(xué)成果所需要的最小二階算術(shù)公理系統(tǒng)是什么。由此，構(gòu) 造主義者可以在選擇他們所認(rèn)可的公理系統(tǒng)之前就了解他們能夠保留什么以及必須放棄什么。反推數(shù) 學(xué)的一些工作的確被宣稱(chēng)為希爾

33、伯特綱領(lǐng)的部分實(shí)現(xiàn)13。但筆者認(rèn)為這類(lèi)工作意義在于為部分懷疑論 者在選擇可接受的極小系統(tǒng)時(shí)提供參考，所涉及的都是在柏拉圖主義者看來(lái)顯然成立的公理系統(tǒng)。它 與為集合論乃至全部數(shù)學(xué)尋找新公理的哥德?tīng)柧V領(lǐng)的志趣相去甚遠(yuǎn)。綜上，形式主義思想對(duì)探究新公 理的作用十分有限。三、集合論多宇宙觀(guān)與形式主義筆者曾在集合論多宇宙觀(guān)述評(píng)中論證集合論多宇宙觀(guān)要么就是一種形式主義，要么與集合論單 一宇宙觀(guān)相容氣近年來(lái)，圍繞集合論多宇宙觀(guān)的研究出現(xiàn)了更多的結(jié)果。這讓我們有理由再次審視集 合論多宇宙觀(guān)是如何推動(dòng)有關(guān)數(shù)學(xué)實(shí)踐的。本節(jié)中，筆者嘗試通過(guò)展示這些基于集合論多宇宙觀(guān)的新 進(jìn)成果以顯示形式主義的思想何以在其中缺位，相反

34、它們的靈感仍然主要來(lái)自多宇宙觀(guān)與柏拉圖主義 單一宇宙觀(guān)的對(duì)話(huà)。近年來(lái)，與集合論多宇宙觀(guān)密切相關(guān)的成果中最引人注目的是薄蕖季路在2017年證明的下述定理。 定理假設(shè)V滿(mǎn)足ZFC，那么V的地基是強(qiáng)向下直的(strongly downward directed) 0即對(duì)任意索引集I 和V的地基“集”N,K,存在V的地基NC,N,假設(shè)集合論宇宙V中存在超巨基數(shù)(hyper-huge cardinal)，那么V的地幔(mantle)就是V的地基 ground )14其中，我們稱(chēng)V的一個(gè)內(nèi)模型M是V的地基，當(dāng)且僅當(dāng)V是M的一個(gè)集合力迫擴(kuò)張，也即存在一個(gè) 偏序 PwM 以及一個(gè)(M, P)-泛型濾 G使得，

35、V=MG。Richard Laver 和 Woodin-Joel D. Hamkins 獨(dú)立證明 了V的地基可以被統(tǒng)一地在V中參數(shù)定義。V的地幔被定義為V的所有地基的交。由于地基們可以被 統(tǒng)一的參數(shù)定義，地幔也是V的一個(gè)可定義的子類(lèi)。但地幔是一個(gè)ZFC內(nèi)模型或進(jìn)一步是V的地基并 不是一個(gè)平凡的事實(shí)。集合論地質(zhì)學(xué)(set-theoretic geology)由 Gunter FuchsHamkins 和 Jonas Reitz 提出15，目的是研究 V 的地基組成的結(jié)構(gòu)，它可以被看作包含V的整個(gè)泛型復(fù)宇宙(generic multiverse)的一段向下的錐形 (downward cone)子結(jié)

36、構(gòu)，因而也是多宇宙觀(guān)框架下研究的一部分。其中的一個(gè)重要的問(wèn)題是V的地基 們是否是向下直的(downward direct，即V的任何兩個(gè)地基的交包含一個(gè)V的地基)或強(qiáng)向下直的。地基 是向下直的對(duì)整個(gè)泛型復(fù)宇宙是很重要的性質(zhì)。如果V的地基是向下直的，那么V地幔就是一個(gè)力迫 不變的概念，即，V的任意集合力迫擴(kuò)張VG的地基仍然是V的地基。例如，可構(gòu)成集類(lèi)L和Woodin設(shè) 想的終極L都是力迫不變的。并且V的地幔也是V的內(nèi)模型(V中可定義，V中傳遞，與V等高的ZFC模 型)。事實(shí)上，V的地幔是V的最大的力迫不變的內(nèi)模型。此外，V的地幔是V所在泛型復(fù)宇宙中任何一 個(gè)宇宙的地幔，也是包含V的整個(gè)泛型復(fù)宇宙

37、的交。由向下直性可以證明，泛型復(fù)宇宙中的任何兩個(gè)宇 宙No, N、之間可以通過(guò)先取一次地基再做一次力迫擴(kuò)張從而兩步連接起來(lái)。注意,我們?nèi)匀恍枰銐驈?qiáng)的大基數(shù)假設(shè)，也即在上述薄蕖季路的第二個(gè)定理下，才能得到V的地 幔也是V的一個(gè)地基,從而屬于包含V的泛型復(fù)宇宙。薄蕖季路的第二個(gè)結(jié)論來(lái)自假設(shè)V中存在足夠強(qiáng) 的大基數(shù)花,那么V的任何地基都是通過(guò)一個(gè)花的力迫得到V的。因此，V的地?？梢酝ㄟ^(guò)一步集合力 迫得到V。他將這里的大基數(shù)假設(shè)進(jìn)一步削弱為存在一個(gè)可擴(kuò)張基數(shù)(extendible cardinal)160每個(gè)超 巨基數(shù)是可擴(kuò)張基數(shù)的極限，它本身也是可擴(kuò)張基數(shù)。在整個(gè)大基數(shù)強(qiáng)度層譜中，可擴(kuò)張基數(shù)相比超

38、緊 基數(shù)并沒(méi)有強(qiáng)很多。Woodin的終極L計(jì)劃來(lái)自他的下述發(fā)現(xiàn):對(duì)V中的存在的任何已知的大基數(shù)x(可 能遠(yuǎn)強(qiáng)于超緊基數(shù))，如果N是V的一個(gè)超緊基數(shù)的弱張子模型(weak extender model)，那么k大基數(shù)性 質(zhì)相對(duì)于N是絕對(duì)的。因此，如果我們能找到一個(gè)包含超緊基數(shù)的具有精細(xì)結(jié)構(gòu)的類(lèi)似L的弱張子模 型(終極L),那么它也兼容任何V中存在的大基數(shù)。由此，假設(shè)V=終極L在大基數(shù)層譜上不會(huì)損失任何 解釋力強(qiáng)度。注意，薄蕖季路的結(jié)果表明,如果存在可擴(kuò)張基數(shù)k,那么k以上的大基數(shù)在整個(gè)泛型復(fù)宇 宙中(相對(duì)地幔)是絕對(duì)的(無(wú)法通過(guò)Levy力迫坍塌k及以上的基數(shù))。地幔的這個(gè)性質(zhì)與上述終極L的 性質(zhì)相呼應(yīng)。加之，地幔本身是最大的力迫不變的(作為一種類(lèi)似L的性質(zhì),Woodin要求終極L也是力 迫不變的)內(nèi)模型，無(wú)怪乎Woodin為這一結(jié)果歡呼并聲稱(chēng):“任何V=終極L的公理候選都蘊(yùn)含V就是 泛型復(fù)宇宙的那個(gè)極小元?！苯行枰⒁獾氖牵鶕?jù)Fuchs等人的證明15，任何一個(gè)ZFC模型可以是某 個(gè)ZFC模型的地幔。所以假設(shè)V=V的地幔并不能直接帶來(lái)多少有價(jià)值的推論，這與V=終極L仍然相 去甚遠(yuǎn)。另一個(gè)值得注意的有關(guān)多宇宙觀(guān)的進(jìn)展來(lái)自Hamkins等人關(guān)于集合論潛在主義系統(tǒng)的模態(tài)邏輯刻 畫(huà)。Hamkins和Bened