人教版高中數(shù)學(xué)微練（三十三） 余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用

1、微練（三十三） 余弦定理、正弦定理的綜合應(yīng)用第一次作業(yè) 解三角形的綜合應(yīng)用一、單項(xiàng)選擇題1. 在相距2km 的A ，B 兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C ，若CAB=75 ，CBA. 6kB. 2kC. 3kD. 2k解析如圖，在ABC 中，由已知可得ACB=452. ABC 的三個內(nèi)角A ，B ，C 所對的邊分別為a ,b ,c ，若B=120 ，sinC=A. 32B. 23C. 34D. 3 解析解法一：由正弦定理bsinB=csinC ,得b=csinBs解法二：由正弦定理bsinB=csinC ,得b=csinBs3. 2022鄭州市質(zhì)量檢測在ABC 中，三邊長分別為a ,a+2 ,a+4A. 1

2、53B. 154C. 213D. 353解析由條件知長為a 的邊對應(yīng)的角最小，設(shè)為A ，則由余弦定理，得cosA=a+22+a+42a22a+2a+44. 在ABC 中，B=4 ，BC 邊上的高等于1A. 310B. 1010C. 10D. 3解析設(shè)ABC 中角A ，B ，C 的對邊分別是a ,b ,c ，由題意可得13a=csin4=22c 5. 為了測量西藏被譽(yù)為“阿里之巔”的岡仁波齊山峰的高度，通常采用人工攀登的方式進(jìn)行。測量人員從山腳開始，直到到達(dá)山頂分段測量，最后將所有的高度差累加，得到山峰的高度。在測量過程中，已知豎立在點(diǎn)B 處的測量覘標(biāo)高10米，測量人員在A 處測得到覘標(biāo)底點(diǎn)B

3、和頂點(diǎn)C 的仰角分別為70 ，80 ，則A ，B 兩處的高度差約為（參考數(shù)據(jù)：sin100.1736 A. 10 米B. 9.66 米C. 9.40 米D. 8.66 米解析如圖所示，設(shè)與點(diǎn)A 在同一水平面上，且與BC 在同一豎直面上的點(diǎn)為D 。在ABC 因?yàn)锽AC=DACBAD=6. 2022合肥市質(zhì)量檢測在ABC 中，角A ，B ，C 的對邊分別為a ,b ,c 。若asinAA. 6B. 4C. 3D. 2解析由正弦定理可得a2+2c2=2bccosA ，根據(jù)余弦定理得b2二、多項(xiàng)選擇題7. 2022重慶市高三質(zhì)量調(diào)研一艘輪船航行到A 處時看燈塔B 在A 的北偏東75 ，距離126 海里

4、，燈塔C 在A 的北偏西30 ，距離為123 海里，該輪船由A 沿正北方向繼續(xù)航行到D 處時再看燈塔B 在其南偏東60A. ADB. CDC. CDA=D. C解析如圖，在ABD 中，B=AD=24 ,A正確；在ACD 中，由余弦定理得CD2=AC2+AD22ACADcos8. 在ABC 中，角A ，B ，C 所對的邊分別為a ，b ，c ，若b=ccosA ，角A 的平分線交BC 于點(diǎn)DA. ACB. ABC. CDD. ABD 解析如圖，在ABC 中，根據(jù)余弦定理得，即b2+a2=c2 ，所以C=2 ，由二倍角公式得cosBAC=2cos2CAD1=18 ，解得cosC三、填空題9. 公路

5、北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一平面上。一人在公路上向東行走，在點(diǎn)A 處測得樓頂?shù)难鼋菫?5 ，行走80米到點(diǎn)B 處，測得仰角為30 ，再行走80米到點(diǎn)C 處，測得仰角為 ，則tan解析如圖，O 為樓腳，OP 為樓高，則OP=60 OB=603 ，由余弦定理得OA2=AB2+OB210. 如圖，在ABC 中，D 是AB 邊上的點(diǎn)，且滿足AD=3BD ，AD+解析設(shè)BD=x ，則AD=3x ,AC=23x ,BC=2x ，因?yàn)锳DC+BDC= 11. 2022蘭州市診斷考試在ABC 中，D 為BC 的中點(diǎn)，AB=2 ，AD=3解析因?yàn)閟inA2sinB+sinC=cosAcosC

6、，所以2sinBcosA+四、解答題12. 在ABC 中，a ,b ,c 分別為內(nèi)角A ，B ，C 所對的邊,（1） 求A 的大?。淮鸢附?根據(jù)題意和正弦定理得,2a2=2b又由余弦定理a2=得bc=則cosA=12 （2） 求sin答案解 由（1）得,B+C=3所以sin所以當(dāng)3+B=2 ，即B=13. 2022河北衡水中學(xué)調(diào)研如圖，在圓內(nèi)接ABC 中，內(nèi)角A ，B ，C 所對的邊分別為a ,b ,c ，滿足（1） 求B ；答案解 aco由正弦定理得sin得sin因?yàn)?B 所以cosB=1（2） 若點(diǎn)D 是劣弧AC 上一點(diǎn)，AB=2 ，BC=3答案解 在ABC 中，AB=2 ,則由余弦定理得

7、,AC2=AB因?yàn)锳 ，B ，C ，D 均在圓上，且B=所以ADC=23 ,在A所以cos解得DC=2 或所以四邊形ABCD 的面積14. 如圖，已知扇形的圓心角AOB=23 ，半徑為42 ，若點(diǎn)C 是A（1） 若弦BC=43答案解 在OBC 中，BC=所以由余弦定理得cos所以BO于是BC 的長為（2） 求四邊形OAC答案解 設(shè)AOC= ,S四邊形O由于0,2當(dāng)=3 時，四邊形OAC素養(yǎng)提升15. 2022廣東深圳模擬在一個正三角形的三邊上，分別取一個距頂點(diǎn)最近的十等分點(diǎn)，連接形成的三角形也為正三角形（如圖所示，圖中共有2個正三角形）。然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角

8、形，如此重復(fù)多次，可得到如圖所示的優(yōu)美圖形（圖中共有11個正三角形），這個過程稱之為迭代。在邊長為243的正三角形三邊上，分別取一個三等分點(diǎn)，連接成一個較小的正三角形，然后迭代得到如圖所示的圖形（圖中共有10個正三角形），其中最小的正三角形的面積為( A )A. 33B. 1 C. 32D. 34解析設(shè)最大正三角形的邊長為x1 ,構(gòu)造三角形的邊長依次為x2 ,x3 , ,x10 。由余弦定理可知,x22=x132+2x1322第二次作業(yè) 解三角形大題專練1. 已知ABC 的三個內(nèi)角A ，B ，C 的對邊分別是a ,b ,c ，且（1） 求A ；答案解 因?yàn)閎co由正弦定理得，sin所以sin又

9、因?yàn)?A 所以cosA=1（2） 若a=23 ，ABC 的面積為答案解 因?yàn)锳BC 的面積為23 因?yàn)锳=3 ，所以12b由余弦定理a2=得12=b所以b+c2. 2021天津高考在ABC 中，角A ,B ,C 所對的邊分別為a ,b ,c ，已知sin（1） 求a 的值；答案解 因?yàn)閟in由正弦定理可得a:b因?yàn)閎=2 ，所以a=22（2） 求cos答案解 由余弦定理可得cos（3） 求sin答案解 因?yàn)閏osC=3所以sincos所以sin3. 2022東北三校聯(lián)考在銳角ABC 中，角A ，B ，C 的對邊分別為a ,b ,c ，已知（1） 若a=3 ,b=7 答案解 由正弦定理及asi得

10、sin因?yàn)閟inA0 ，sinB由余弦定理b2=得7=9即c23c+2=0當(dāng)c=1 時，b2+c2a當(dāng)c=2故c=2（2） 求aco答案解 由（1）得B=3 ，所以所以aco因?yàn)锳BC 為銳角三角形，所以所以3所以32所以1故acosC4. 平面凸四邊形ABCD 中，BAD=（1） 若ABC=45答案解 連接BD ，在RtBAD 中，由AB=4 ,所以sinAB所以sin所以在RtBCD得CD=（2） 若BC=25 答案解 由（1）知BD=5 ,sin在RtBCD 中，由BC=2所以sinCB所以cos在ABC 中，由余弦定理得AC2所以AC=5. 2022高三八?。ㄊ校W(xué)業(yè)質(zhì)量評價(jià)聯(lián)考已知函

11、數(shù)fx=（1） 設(shè)gx=fx答案解 由已知，fx=則gx=所以當(dāng)gx 單調(diào)遞減時，函數(shù)y=令2+2kx+6所以函數(shù)gx 的單調(diào)遞減區(qū)間是23（2） 設(shè)ABC 的內(nèi)角A ，B ，C 所對的邊分別為a ，b ，c ，D 為BC 邊的中點(diǎn)，若fA=12答案解 因?yàn)閒A=sinA又a=3 ，由余弦定理，得3=b2因?yàn)镈 為BC 的中點(diǎn)，則AD因?yàn)閎2+c22bc所以34AD2所以線段AD 的長的取值范圍是(36. 2022湖北五校聯(lián)考請從下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答。3cosAccos已知ABC 的內(nèi)角A ，B ，C 的對邊分別為a ,b ,c （1） 求A ；答案解 選擇條件，因?yàn)?co由正弦定理得3co即3co在ABC 中，所以3co即tan因?yàn)锳 為ABC 的內(nèi)角，所以選擇條件，cosB