多元函數(shù)的極值與二元函數(shù)的泰勒公式

1、多元函數(shù)的極值和最值條件極值 拉格朗日乘數(shù)法小結(jié) 思考題 作業(yè)第八節(jié) 多元函數(shù)的極值與 拉格朗日乘數(shù)法第七章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1最大面積 一位農(nóng)夫請(qǐng)了工程師、物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家來(lái)，想用最少的籬笆圍出最大的面積。工程師用籬笆圍出一個(gè)圓，宣稱這是最優(yōu)設(shè)計(jì)。物理學(xué)家將籬笆拉開(kāi)成一條長(zhǎng)長(zhǎng)的直線，假設(shè)籬笆有無(wú)限長(zhǎng)，認(rèn)為圍起半個(gè)地球總夠大了。數(shù)學(xué)家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來(lái)，然后宣布：“我現(xiàn)在是在外面?！?2一、多元函數(shù)的極值和最值1.極大值和極小值的定義一元函數(shù)的極值的定義:是在一點(diǎn)附近將函數(shù)值比大小.定義點(diǎn)P0為函數(shù)的極大值點(diǎn). 類似可定義極小值點(diǎn)和極小值.?設(shè)在點(diǎn)P0的某個(gè)鄰

2、域, 為極大值.則稱多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法3 注 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的 函數(shù)的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的多元函數(shù)的極值也是局部的, 一般來(lái)說(shuō):極大值未必是函數(shù)的最大值.極小值未必是函數(shù)的最小值.有時(shí),極值.極值點(diǎn).內(nèi)的值比較.是與P0的鄰域極小值可能比極大值還大.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法4例例例 函數(shù) 存在極值, 在(0,0)點(diǎn)取極小值. 在(0,0)點(diǎn)取極大值.(也是最大值).在(0,0)點(diǎn)無(wú)極值.?橢圓拋物面下半個(gè)圓錐面馬鞍面在簡(jiǎn)單的情形下是容易判斷的.函數(shù)函數(shù)(也是最小值).函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法52.極值的必要條件證定理1(必要條件)則它在該點(diǎn)

3、的偏導(dǎo)數(shù)必然為零:有極大值,不妨設(shè)都有多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法說(shuō)明一元函數(shù)有極大值,必有類似地可證6推廣如果三元函數(shù)具有偏導(dǎo)數(shù),則它在有極值的必要條件為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法均稱為函數(shù)的駐點(diǎn)極值點(diǎn)仿照一元函數(shù),凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn),駐點(diǎn).如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)如,駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn).? 注73.極值的充分條件定理2(充分條件)的某鄰域內(nèi)連續(xù),有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),處是否取得極值的條件如下:(1)有極值,有極大值,有極小值;(2)沒(méi)有極值;(3)可能有極值,也可能無(wú)極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法8求函數(shù) 極值的一般步驟:第一步解方程組求出實(shí)數(shù)解,得駐點(diǎn).第二步

4、對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值第三步定出的符號(hào),再判定是否是極值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法9例 解又在點(diǎn)(0,0)處, 在點(diǎn)(a,a)處, 故故即的極值.在(0,0)無(wú)極值;在(a,a)有極大值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法10解練習(xí)求由方程將方程兩邊分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),由函數(shù)取極值的必要條件知,駐點(diǎn)為將上方程組再分別對(duì)x, y求偏導(dǎo)數(shù),多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法法一11故函數(shù)在P有極值.代入原方程,為極小值;為極大值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法所以所以12求由方程多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法解練習(xí)法二 配方法 方程可變形為 于是 顯然, 根號(hào)中的極大值為4,由可知,為

5、極值.即為極大值,為極小值.13取得.然而,如函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在,這些點(diǎn)當(dāng)然不是駐點(diǎn),如:函數(shù)不存在,但函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處都具有極大值. 在研究函數(shù)的極值時(shí),除研究函數(shù)的駐點(diǎn)外,還應(yīng)研究偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).注由極值的必要條件知,極值只可能在駐點(diǎn)處但也可能是極值點(diǎn).在點(diǎn)(0,0)處的偏導(dǎo)數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法14多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法2003年考研數(shù)學(xué)(一), 4分選擇題已知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(0, 0)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),則(A) 點(diǎn)(0, 0)不是f (x, y)的極值點(diǎn).(B) 點(diǎn)(0, 0)是f (x, y)的極大值點(diǎn).(C) 點(diǎn)(0, 0)是f (x,

6、y)的極小值點(diǎn).(D) 根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0, 0)是否為f (x, y)的極值點(diǎn).15其中最大者即為最大值, 與一元函數(shù)相類似,可利用函數(shù)的極值來(lái)求函數(shù)的最大值和最小值.4.多元函數(shù)的最值求最值的一般方法最小者即為最小值.將函數(shù)在D內(nèi)的所有嫌疑點(diǎn)的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法16解(1) 求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn) 由于所以函數(shù)在D內(nèi)無(wú)極值.(2) 求函數(shù)在 D邊界上的最值(現(xiàn)最值只能在邊界上)圍成的三角形閉域D上的最大(小)值.例多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D17在邊界線在邊界線由于最小, 由于又在端點(diǎn)(1,0)處,所以,最大.有駐點(diǎn) 函數(shù)值

7、有單調(diào)上升.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D18在邊界線所以, 最值在端點(diǎn)處.由于 函數(shù)單調(diào)下降,(3)比較多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法D19解練習(xí)此時(shí)的最大值與最小值.駐點(diǎn)得多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法20對(duì)自變量有附加條件的極值.其他條件.無(wú)條件極值對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無(wú)條件極值多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法二、條件極值 拉格朗日乘數(shù)法21解例已知長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高的和為18,問(wèn)長(zhǎng)、寬、高各取什么值時(shí)長(zhǎng)方體的體積最大？設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為由題意長(zhǎng)方體的體積為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法且長(zhǎng)方體體積一定有最大值,體體積最大.故當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)、寬、高都為6時(shí)長(zhǎng)方由于V在D內(nèi)只有一個(gè)駐

8、點(diǎn),22上例的極值問(wèn)題也可以看成是求三元函數(shù)的極值,要受到條件的限制,這便是一個(gè)條件極值問(wèn)題.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 有時(shí)條件極值目標(biāo)函數(shù)中化為無(wú)條件極值.可通過(guò)將約束條件代入但在一般情形甚至是不可能的. 下面要介紹解決條件極值問(wèn)題的一般方法:下,這樣做是有困難的,拉格朗日乘數(shù)法23拉格朗日乘數(shù)法:現(xiàn)要尋求目標(biāo)函數(shù)在約束條件 下取得利用隱函數(shù)的概念與求導(dǎo)法 如函數(shù)(1)在由條件(1)(2)極值的必要條件.取得所求的極值,那末首先有(3)確定y是x的隱函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法 不必將它真的解出來(lái),則于是函數(shù)(1)即, 取得所取得極值.求的極值.24其中代入(4)

9、得:由一元可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件知:(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法取得極值.在(3) ,(5)兩式取得極值的必要條件.就是函數(shù)(1)在條件(2)下的25 設(shè)上述必要條件變?yōu)? (6)中的前兩式的左邊正是函數(shù):(6)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在的值.函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù),稱為拉格朗日乘子,是一個(gè)待定常數(shù).26拉格朗日乘數(shù)法:極值的必要條件在條件要找函數(shù)下的可能極值點(diǎn),先構(gòu)造函數(shù)為某一常數(shù),其中可由解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法27如何確定所求得的點(diǎn)實(shí)際問(wèn)題中, 非實(shí)際問(wèn)題我們這里不做進(jìn)一步的討論.拉格朗日乘數(shù)法可推廣:判定.可根據(jù)問(wèn)題

10、本身的性質(zhì)來(lái)的情況.自變量多于兩個(gè)是否為極值點(diǎn)?多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法28解則又是實(shí)際問(wèn)題,解得唯一駐點(diǎn)一定存在最值.令?此題是否也可化為無(wú)條件極值做多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法29解為橢球面上的一點(diǎn),令則的切平面方程為在第一卦限內(nèi)作橢球面的使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的例切平面,四面體體積最小,求切點(diǎn)坐標(biāo).多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法30目標(biāo)函數(shù)該切平面在三個(gè)軸上的截距各為化簡(jiǎn)為所求四面體的體積約束條件在條件下求V 的最小值,多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法31約束條件令由目標(biāo)函數(shù)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法32可得即當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為四面體的體積最小多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法33練

11、習(xí)解為簡(jiǎn)化計(jì)算,令是曲面上的點(diǎn),它與已知點(diǎn)的距離為問(wèn)題化為在下求的最小值.目標(biāo)函數(shù)約束條件多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法34設(shè)(1)(2)(3)(4)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法35由于問(wèn)題確實(shí)存在最小值，故得唯一駐點(diǎn)多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法還有別的簡(jiǎn)單方法嗎?用幾何法!36練習(xí)解 為此作拉格朗日乘函數(shù):上的最大值與最小值.在圓內(nèi)的可能的極值點(diǎn);在圓上的最大、最小值.多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法37最大值為最小值為多元函數(shù)的極值與拉格朗日乘數(shù)法38問(wèn)題的提出:已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求它們的近似函數(shù)關(guān)系 yf (x) .需要解決兩個(gè)問(wèn)題: 1. 確定近似函數(shù)的類型 根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布規(guī)律 根據(jù)

12、問(wèn)題的實(shí)際背景2. 確定近似函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有誤差,不能要求最小二乘法簡(jiǎn)介39 偏差有正有負(fù), 值都較小且便于計(jì)算, 可由偏差平方和最小 為使所有偏差的絕對(duì)來(lái)確定近似函數(shù) f (x) .最小二乘法原理:設(shè)有一列實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分布在某條曲線上,通過(guò)偏差平方和最小求該曲線的方法稱為最小二乘法,找出的函數(shù)關(guān)系稱為經(jīng)驗(yàn)公式 ., 它們大體 40特別, 當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)分布近似一條直線時(shí),問(wèn)題為確定 a, b 令滿足:使得解此線性方程組即得 a, b稱為法方程組41觀測(cè)數(shù)據(jù):用最小二乘法確定a, b 通過(guò)計(jì)算確定某些經(jīng)驗(yàn)公式類型的方法:429 二元函數(shù)的泰勒公式問(wèn)題的提出二元函數(shù)的泰勒公式小結(jié)43一 問(wèn)題的提出一元函數(shù)