二次函數(shù)與四邊形的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、二次函數(shù)與四邊形一二次函數(shù)與四邊形的形狀例1.(浙江義烏市)如圖，拋物線yx22x3與x軸交A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），直線l與拋物線交于A、C兩點(diǎn)，其中C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作y軸的平行線交拋物線于E點(diǎn)，求線段PE長(zhǎng)度的最大值；A（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上可否存在點(diǎn)F，使A、C、F、G這樣的四個(gè)點(diǎn)為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若是存在，求出所有知足條件的F點(diǎn)坐標(biāo)；若是不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因練習(xí)1.(河南省實(shí)驗(yàn)區(qū))23如圖，對(duì)稱(chēng)軸為直線x7的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)yA（6，0）和B（0，4）27x（1）求拋物線剖析式及

2、極點(diǎn)坐標(biāo)；2（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形求平行四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)B(0,4)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；當(dāng)平行四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷平行四邊形OEAF可否為菱F形？可否存在點(diǎn)E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)Ex的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因OA(6,0)E練習(xí)2.（四川省德陽(yáng)市）25.如圖，已知與x軸交于點(diǎn)A(1，0)和B(5，0)的拋物線l1的極點(diǎn)為C(3，4)，拋物線l2與l1對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)，極點(diǎn)為C（1）求拋物線l2的函數(shù)關(guān)系式；（2）已知原點(diǎn)O，定點(diǎn)D(0，4)，l2

3、上的點(diǎn)P與l1上的點(diǎn)P向來(lái)對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到哪處時(shí)，以點(diǎn)D，O，P，P為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？（3）在l2上可否存在點(diǎn)M，使ABM是以AB為斜邊且一個(gè)角為30o的直角三角形？若存，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明原因yl25E4321AB1O12345x1234C5l1練習(xí)3.（山西卷）如圖，已知拋物線C1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)依次是A(4，0)，B(2，0)，E(0，8)1）求拋物線C1對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線C2的剖析式；2）設(shè)拋物線C1的極點(diǎn)為M，拋物線C2與x軸分別交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)面積為S若點(diǎn)C在點(diǎn)A，點(diǎn)D的左側(cè)），極點(diǎn)為N，四邊形MDNA的D同時(shí)以每秒1個(gè)單位的速度沿水平方向分別向

4、右、向左運(yùn)動(dòng)；與此同時(shí)，點(diǎn)M，點(diǎn)的速度沿堅(jiān)直方向分別向下、向上運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)N同時(shí)以每秒A與點(diǎn)2個(gè)單位D重合為止求出四邊形MDNA的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形MDNA可否形成矩形？若能，求出此時(shí)t的值；若不能夠，請(qǐng)說(shuō)明原因二二次函數(shù)與四邊形的面積2與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點(diǎn)C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，極點(diǎn)F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)以下：x-3-212y-5-4-5022求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)

5、；若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系，并指出m的取值范圍；當(dāng)矩形DEFG的面積S取最大值時(shí)，連結(jié)DF并延伸至點(diǎn)M，使FM=kDF，若點(diǎn)M不在拋物線P上，求k的取值范圍.圖10練習(xí)1.（遼寧省十二市2007年第26題）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有素來(lái)角梯形OMNH，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（8，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，4）1）畫(huà)出直角梯形OMNH繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180的圖形OABC，并寫(xiě)出極點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)（點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，點(diǎn)H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C）；2）求出過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的表達(dá)式；3）截取CE=OF=AG=m，且E，F(xiàn)，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊

6、形BEFG的面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；面積S可否存在最小值?若存在，懇求出這個(gè)最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因；4）在（3）的情況下，四邊形BEFG可否存在鄰邊相等的情況，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說(shuō)明原因練習(xí)3.（吉林課改卷）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，在對(duì)稱(chēng)中心O處有一釘子動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿ABC方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿AD方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止P，Q兩點(diǎn)BCPO用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋聯(lián)系，設(shè)x秒后橡皮筋掃過(guò)的面積為ycm2（1）當(dāng)0 x1時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；AQD

7、BCP（2）當(dāng)橡皮筋恰好波及釘子時(shí)，求x值；O（3）當(dāng)1x2時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出橡皮筋從波及釘子到運(yùn)動(dòng)停止時(shí)POQ的變化范圍；AQDy3（4）當(dāng)0 x2時(shí)，請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y與x之間的函數(shù)圖象21O12x練習(xí)4.（四川資陽(yáng)卷）如圖，已知拋物線l1：=2-4的圖象與x軸訂交于、兩點(diǎn)，B是拋物線yxACl1上的動(dòng)點(diǎn)(B不與A、C重合)，拋物線l2與l1對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)，以AC為對(duì)角線的平行四邊形ABCD的第四個(gè)極點(diǎn)為D.求l2的剖析式；求證：點(diǎn)D必然在l2上；ABCD可否為矩形？若是能為矩形，求這些矩形公共部分的面積(若只有一個(gè)矩形切合條件，則求此矩形的面積)；若是不能夠?yàn)榫?/p>

8、形，請(qǐng)說(shuō)明原因.注：計(jì)算結(jié)果不取近似值.三二次函數(shù)與四邊形的動(dòng)向研究例1.(荊門(mén)市)28.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，有一張矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點(diǎn)P是OA邊上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)O、A不重合)現(xiàn)將PAB沿PB翻折，獲取PDB；再在OC邊上選用適合的點(diǎn)E，將POE沿PE翻折，獲取PFE，并使直線PD、PF重合(1)設(shè)P(x，0)，E(0，y)，求y對(duì)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最大值；如圖2，若翻折后點(diǎn)D落在BC邊上，求過(guò)點(diǎn)P、B、E的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；在(2)的情況下，在該拋物線上可否存在點(diǎn)Q，使PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說(shuō)明原因；若存在

9、，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)yyCBCDBFEDEFOPAxOPAx圖1圖2例2.（2010年沈陽(yáng)市第26題）、已知拋物線yax2bxc與x軸交于、兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，其中點(diǎn)B在x軸的正半軸上，ABC點(diǎn)C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長(zhǎng)（OBOC）是方程x210 x160的兩個(gè)根，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線x21）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；2）求此拋物線的表達(dá)式；3）連結(jié)AC、BC，若點(diǎn)E是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)E作EFAC交BC于點(diǎn)F，連結(jié)CE，設(shè)AE的長(zhǎng)為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量m的取值范圍；（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說(shuō)明S可否存在最大值，若存

10、在，懇求出S的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，判斷此時(shí)BCE的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因例3.(湖南省郴州)27如圖，矩形中，3，4，將矩形沿對(duì)角線A平移，平ABCDABBCABCD移后的矩形為EFGH（A、E、C、G向來(lái)在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)E與C重時(shí)停止搬動(dòng)平移中EF與BC交于點(diǎn)N，GH與BC的延伸線交于點(diǎn)M，EH與DC交于點(diǎn)P，F(xiàn)G與DC的延伸線交于點(diǎn)Q設(shè)S表示矩形PCMH的面積，S表示矩形NFQC的面積（1）S與S相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因（2）設(shè)，寫(xiě)出S和x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x取何值時(shí)S有最大值，最大值是多少？AEx（3）如圖11，連結(jié)BE，當(dāng)AE為何值時(shí)，ABE是等腰三角形ADADxP

11、EHEPHBNCMBNCMFQGFQG圖10圖11練習(xí)1.（07年河池市）如圖12，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)過(guò)點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連結(jié)AC交NP于Q，連結(jié)MQ（1）點(diǎn)（填M或N）能抵達(dá)終點(diǎn)；yCNB2）求AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；Q（3）可否存在點(diǎn)M，使得AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明原因OMPAx圖12練習(xí)2.

12、(江西省)25實(shí)驗(yàn)與研究（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形ABCD的極點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（以以下圖），寫(xiě)出圖1，2，3中的極點(diǎn)C的坐標(biāo)，它們分別是(5，2)，；yyyB(c，d)B(12)，B(c，d)CCCxxA(a，b)D(e，b)O(A)O(A)OxD(4，0)D(e，0)圖1圖2圖3（2）在圖4中，給出平行四邊形ABCD的極點(diǎn)A，B，D的坐標(biāo)（以以下圖），求出極點(diǎn)C的坐標(biāo)（C點(diǎn)坐標(biāo)用含a，b，c，d，e，f的代數(shù)式表示）；yCBc(，d)D(e，f)A(a，b)Ox圖4概括與發(fā)現(xiàn)（3）經(jīng)過(guò)對(duì)圖1，2，3，4的察看和極點(diǎn)C的坐標(biāo)的研究，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：不論平行四邊形ABCD處于直角坐標(biāo)系中

13、哪個(gè)地點(diǎn)，當(dāng)其極點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)（如圖4）時(shí)，則四個(gè)極點(diǎn)的橫坐標(biāo)a，c，m，e之間的等量關(guān)系為；縱坐標(biāo)b，d，n，f之間的等量關(guān)系為（不用證明）；運(yùn)用與實(shí)行（4）在同素來(lái)角坐標(biāo)系中有拋物線yx2(5c3)x1519，c和三個(gè)點(diǎn)Gc，c，S2c，c222H(2c，0)（其中c0）問(wèn)當(dāng)c為何值時(shí)，該拋物線上存在點(diǎn)P，使得以G，S，H，P為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并求出所有切合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)答案：一二次函數(shù)與四邊形的形狀例1.解：（1）令y=0，解得x11或x23A（-1，0）B（3，0）；將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=2代入yx22x3得y=-3，C（2，-3）

14、直線AC的函數(shù)剖析式是y=-x-1（2）設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（-1x2）則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，-x-1），E（(x,x22x3)P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=(x1)(x22x3)x2x2當(dāng)x192時(shí)，PE的最大值=4（3）存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F(1,0),F(3,0),F(47，0),F(47,0)1234練習(xí)1.解：（1）由拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是x7y7，可設(shè)剖析式為7xya(x2k把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得2)2a(67)2k0,225B(0,4)2解之，得a.7,ka(0)2k4.36F2故拋物線剖析式為y27225725OA(6,0)x(x)6，極點(diǎn)為(,).3226E（2）點(diǎn)E(

15、x,y)在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y2(x7)225，326y0,y表示點(diǎn)E到OA的距離OA是YOEAF的對(duì)角線，S2SVOAE21OAy6y4(7)22522因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）的（6，0），因此，自變量x的取值范圍是1x6依照題意，當(dāng)S=24時(shí)，即4(x7)22524化簡(jiǎn)，得(x7)21.解之，得x13,x24.224故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，分別為E1（3，4），E2（4，4）點(diǎn)E1（3，4）知足OE=AE，因此YOEAF是菱形；點(diǎn)E2（4，4）不知足OE=AE，因此YOEAF不是菱形當(dāng)OAEF，且OA=EF時(shí)，YOEAF是正方形，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)只能是（3，3）y而

16、坐標(biāo)為（3，3）的點(diǎn)不在拋物線上，故不存在這樣的點(diǎn)E，5使YOEAF為正方形E4練習(xí)2.解：（1）由題意知點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，4)設(shè)l2的函數(shù)關(guān)系式為3)2y3a(x43)23)2a2又Q點(diǎn)A(10)，在拋物線ya(x4上，(140，解得a11AB12345O1拋物線l2的函數(shù)關(guān)系式為y(x3)4（或yx6x5）2（2）QP與P向來(lái)對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)，PP與y軸平行34C5設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m25，QOD4，54，即m，則其縱坐標(biāo)為6m2m26mm26m52當(dāng)m26m52時(shí)，解得m36當(dāng)m26m52時(shí)，解得m32當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(36，2)或(36，2)或(32，2)或(32，2)時(shí)，PPOD，以點(diǎn)D，O，

17、P，P為極點(diǎn)的四邊形是平行四邊形（3）知足條件的點(diǎn)M不存在原因以下：若存在知足條件的點(diǎn)M在l2上，則AMB90o，QBAM30o（或ABM30o），yBM1AB1425CD223過(guò)點(diǎn)M作MEAB于點(diǎn)E，可得BMEBAM30o2111EBEBBM21，EM3，OE41O221234521A點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4，3)23M可是，當(dāng)x4時(shí)，y464516245335C不存在這樣的點(diǎn)M組成知足條件的直角三角形練習(xí)3.解（1）點(diǎn)A(4，0)，點(diǎn)B(2，0)，點(diǎn)E(0，8)對(duì)于原點(diǎn)l2xl1l2xl1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為D(4，0)，C(2，0)，F(xiàn)(0，8)設(shè)拋物線C2的剖析式是16a4bc0，a1，yax2bx

18、c(a0)，則4a2bc0，解得b6，c8c8因此所求拋物線的剖析式是yx26x8（2）由（1）可計(jì)算得點(diǎn)M(3，1)，N(31)，過(guò)點(diǎn)N作NHAD，垂足為H當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)刻t時(shí)，AD2OD82t，NH12t依照中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)OAOD，OMON，因此四邊形MDNA是平行四邊形因此S2ADN因此，四邊形MDNA的面積S(82t)(12t)4t214t8因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)S至點(diǎn)A與點(diǎn)D重合為止，據(jù)題意可知0t4因此，所求關(guān)系式是S4t214t8，t的取值范圍是0t4（3）S4t781，（0t4）44因此t7時(shí)，S有最大值8144提示：也可用極點(diǎn)坐標(biāo)公式來(lái)求（4）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形MDNA能形成矩形由（2）知四邊

19、形MDNA是平行四邊形，對(duì)角線是AD，MN，因此當(dāng)ADMN時(shí)四邊形MDNA是矩形因此ODON因此OD2ON2OH2NH2因此t24t220解之得t162，t262（舍）因此在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中四邊形MDNA能夠形成矩形，此時(shí)t62議論此題以二次函數(shù)為背景，聯(lián)合動(dòng)向問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題，是一道較傳統(tǒng)的壓軸題，能力要求較高。二二次函數(shù)與四邊形的面積例1.解：（1）解法一：設(shè)yax2bxc(a0)，任取x,y的三組值代入，求出剖析式y(tǒng)=1x2+x-4，2令y=0，求出x1=-4,x2=2；令x=0，得y=-4，A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).解法二：由拋物線P過(guò)

20、點(diǎn)(1，-5)，(-3，-5)可知，22拋物線P的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-1，又拋物線P過(guò)(2，0)、(-2，-4)，則由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).2）由題意，AD=DG，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，AOOC又BE=EF，EF=DG，得BE=4-2m，DE=3m，BOOCsDEFG=DGDE=(4-2m)3m=12m-6m2(0m2).注：也可經(jīng)過(guò)解RtBOC及RtAOC，或依照BOC是等腰直角三角形成立關(guān)系求解.2(3)SDEFG=12m-6m(0m2)，m=1時(shí)，矩形的面積最大，且最大面積是6.當(dāng)矩形面積最

21、大時(shí)，其極點(diǎn)為D(1，0)，G(1，-2)，F(xiàn)(-2，-2)，E(-2，0)，設(shè)直線DF的剖析式為y=kx+b，易知，k=2，b=-2，y=2x-2，13333又可求得拋物線P的剖析式為：2x-4，y=x+2令2x-2=1x2161+x-4，可求出x.設(shè)射線DF與拋物線P訂交于點(diǎn)N，3323則N的橫坐標(biāo)為-1-61，過(guò)N作x軸的垂線交x軸于H，有3FN=HE-2-1-61=3=-5+61，DFDE39點(diǎn)M不在拋物線P上，即點(diǎn)M不與N重合時(shí)，此時(shí)k的取值范圍是k-5+61且k0.9說(shuō)明：若以上兩條件錯(cuò)漏一個(gè)，本步不得分.若選擇另一問(wèn)題：AD=DG，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，AO

22、OC又FG=CP，而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，ABOCsDEFG=DGFG=6.練習(xí)1.解：利用中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，畫(huà)出梯形OABC1分，C三點(diǎn)與，H分別對(duì)于點(diǎn)O中心對(duì)稱(chēng)，ABMNA（0，4），B（6，4），C（8，0）3分（寫(xiě)錯(cuò)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分）（2）設(shè)過(guò)，C三點(diǎn)的拋物線關(guān)系式為，AB拋物線過(guò)點(diǎn)A（0，4），則拋物線關(guān)系式為4分將B（6，4），C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，得5AB，垂足為G，則sinFEGsinCAB分解得6分所求拋物線關(guān)系式為：7分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m8分OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA（04）10分當(dāng)時(shí)，S的取最小值又

23、04，不存在值，使S的獲取最小值12分mm（4）當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)GBGF時(shí)，BE=BG14分練習(xí)3.解（1）當(dāng)0 x1時(shí)，AP2x，AQx，y1AQgAPx2，2即yx2（2）當(dāng)S四邊形ABPQ1S正方形ABCD時(shí)，橡皮筋恰好波及釘子，2BP2x2，AQx，12x2x2122，x4223（3）當(dāng)1x4時(shí)，AB2，3PB2x2，AQx，yAQBPgABx2x223x2，22即y3x2y作OEAB，E為垂足當(dāng)4x2時(shí)，BP2x2，AQx，OE1，312x21x3yS梯形BEOPS梯形OEAQ11x，3x222即y290oPOQ180o或180oPOQ270o（4）以以下圖：練習(xí)4.解(1)設(shè)l2的剖析

24、式為y=ax2+bx+c(a0)，l1與x軸的交點(diǎn)為(-2，0)，(2，0)，極點(diǎn)坐標(biāo)是(0，-4)ACl2過(guò)A(-2,0),C(2,0)，極點(diǎn)坐標(biāo)是(0，4)，321O142x3，l2與l1對(duì)于x軸對(duì)稱(chēng)，4a2bc0,4a2bc0,c4.a=-1,b=0,c=4，即l2的剖析式為y=-x2+4.(還可利用極點(diǎn)式、對(duì)稱(chēng)性關(guān)系等方法解答)(2)設(shè)點(diǎn)(，)為l1：=x2-4上隨意一點(diǎn)，則n=2-4(*).Bmnym四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A、C對(duì)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，B、D對(duì)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為D(-m,-n).由(*)式可知，22-n=-(m-4)=-(-m)+4，即點(diǎn)D的坐標(biāo)知足y=-x+

25、4，ABCD能為矩形.2上，可設(shè)點(diǎn)2，過(guò)點(diǎn)B作BHx軸于H，由點(diǎn)B在l1：y=x-4B的坐標(biāo)為(x0，x0-4)則OH=|x0|，BH=|2x0-4|.易知，當(dāng)且僅當(dāng)=2時(shí)，為矩形.BOAOABCD在RtOBH中，由勾股定理得，2222，|x0|+|x0-4|=222，x0=2(舍去)、x0=3.(x0-4)(x0-3)=0因此，當(dāng)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(3，-1)或B(-3，-1)時(shí)，ABCD為矩形，此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)分別是(-3，1)、(3，1).DD因此，切合條件的矩形有且只有2個(gè)，即矩形ABCD和矩形ABCD.設(shè)直線AB與y軸交于E，顯然，AOEAHB，EOBHEO1AO=AH，223.EO=4-

26、23.由該圖形的對(duì)稱(chēng)性知矩形ABCD與矩形ABCD重合部分是菱形，其面積為S=2SACE114(4-23)=16-83.=22ACEO=22三二次函數(shù)與四邊形的動(dòng)向研究例1.解：(1)由已知PB均分APD，PE均分OPF，且PD、PF重合，則BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPAPOBA即x3y=1x(4x)1x24x(0 x4)OEAPy4x333且當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值13(2)由已知，PAB、POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)a1,c1,23,設(shè)過(guò)此三點(diǎn)的拋物線為y=ax2bxc，則abc0,b16a4bc3

27、.2c1.y=1x23x12由(2)知EPB=90，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)知足條件直線PB為y=x1，與y軸交于點(diǎn)(0，1)將向上平移2個(gè)單位則過(guò)點(diǎn)(0，1)，PBE該直線為y=x1yx1,x5,由1x2得Q(5，6)yy6.3x1,22故該拋物線上存在兩點(diǎn)Q(4，3)、(5，6)知足條件例2.解：（1）解方程x210 x160得x12，x281分點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，且OBOC點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）又拋物線yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線x2由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）4分2）點(diǎn)C（0，8）在拋物線yax2bxc的圖象上c8，將A（6，0）

28、、B（2，0）代入表達(dá)式，得解得yx2x873AEmBE8mOA6OC8AC10EFACBEFBAC即EFFG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）8m88m8mmm24m10m0m8114Sm24mm42804SS812m4E20mBCE143:1ABCDEFGHSEGHSEGF,SECNSECP,SCGQSCGMSEGHSECPSCGMSEGFSECNSCGQ,SS2AB3BC4AC5AExEC5xPC3(5x),MC4x,55SPCgMC12x(5x)S12x212x(0 x5)25255配方得：S12(x5)23，因此當(dāng)x5時(shí)，2522S有最大值3（3）當(dāng)AEAB3或AEBE

29、5或AE3.6時(shí)，ABE是等腰三角形2練習(xí)1解：（1）點(diǎn)M1分（2）經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NBt，OM2t則CN3t，AM42tBCA=MAQ=45oQNCN3tPQ1t1AMgPQ1(4t2129SAMQ2t)(1t)t2St2t2t22240t2當(dāng)t1時(shí)，S的值最大2（3）存在設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，NB=t，OM=2t則CN3t，AM42tBCA=MAQ=45o若AQM90o，則PQ是等腰RtMQA底邊MA上的高PQ是底邊MA的中線PQAP1MA1t1(42t)t1222點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）若QMA90o，此時(shí)QM與QP重合QMQPMA1t42tt1點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）練習(xí)2.解：（1）(ec，d)，(

30、cea，d)（2）分別過(guò)點(diǎn)A，B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為A1，B1，C1，D1，分別過(guò)A，D作AEBB1于E，DFCC1于點(diǎn)FyC在平行四邊形ABCD中，CDBA，又QBB1CC1，B(c，d)FD(e，f)EBAABCBCFABCBCFFCD180oEA(a，b)OxB1A1C1D1EBAFCD又QBEACFD90o，BEACFDAFDFac，BECFdb設(shè)C(x，y)由exac，得xeca由yfdb，得yfdbC(eca，fdb)（3）mcea，ndfb或mace，nbdf（4）若GS為平行四邊形的對(duì)角線，由（3）可得P1(2c7c)P，要使1在拋物線上，則有7c4c2(5c3)(2c)c，即c2c0c10（舍去），c21此時(shí)P1(2，7)若SH為平行四邊形的對(duì)角線，由（3）可