衡水一輪復(fù)習(xí)第五章 平面向量和復(fù)數(shù)

1、第五章平面向量與復(fù)數(shù)第一講平面向量的概念及其線性運(yùn)算知識(shí)梳理雙基自測(cè)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書學(xué)案P104)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(識(shí))eq x(梳)eq x(理)知識(shí)點(diǎn)一向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共線向量規(guī)定：0與任一向量平行.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量知識(shí)點(diǎn)二向量的線

2、性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差，即a(b)ab三角形法則aba(b)數(shù)乘實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量記作a(1)模：|a|a| ；(2)方向：當(dāng)0時(shí)，a與a的方向相同；當(dāng)|b|解析解法一：利用向量加法的平行四邊形法則在ABCD中，設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup6()b，由|ab|ab|知，|eq o(AC,sup6()|eq o(DB,sup6()|，從而四邊形ABCD為矩形，即ABAD，故ab.解法二：|ab|

3、ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.角度2向量的線性運(yùn)算例3 (2022長(zhǎng)沙模擬)如圖，在梯形ABCD中，BC2AD，DEEC，設(shè)eq o(BA,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，則eq o(BE,sup6()(D)Aeq f(1,2)aeq f(1,4)bBeq f(1,3)aeq f(5,6)bCeq f(2,3)aeq f(2,3)bDeq f(1,2)aeq f(3,4)b解析解法一：如圖所示，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，因?yàn)锽C2AD，所以ADCF，又ADCF，所以四邊形ADCF為平行四邊形，則AFCD，所以eq o(CD,sup6(

4、)eq o(FA,sup6().因?yàn)镈EEC，所以eq o(CE,sup6()eq f(1,2)eq o(CD,sup6()eq f(1,2)eq o(FA,sup6()，所以eq o(BE,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CE,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(FA,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(BF,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(BA,sup6()f(1,2)o(BC,sup6()eq f(1,2)

5、eq o(BA,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)aeq f(3,4)b，故選D解法二：如圖，連接BD，因?yàn)镈EEC，所以eq o(BE,sup6()eq f(1,2)(eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)(eq o(BA,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(o(BA,sup6()f(1,2)o(BC,sup6()o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(BA,sup6()eq f(3,4)eq o(BC,sup6(

6、)eq f(1,2)aeq f(3,4)b，故選D角度3根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)例4 (2021濟(jì)南模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，eq o(CE,sup6()2eq o(DE,sup6()，若eq o(EF,sup6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()，則xy(C)A1B6Ceq f(1,6)Deq f(1,3)解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以eq o(AB,sup6()eq o(DC,sup6()，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，因?yàn)閑q o(CE,sup6()2eq o(DE,sup6()，所以eq o(ED

7、,sup6()eq f(1,3)eq o(DC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()，連接AF，在AEF中，所以eq o(EF,sup6()eq o(EA,sup6()eq o(AF,sup6()eq o(ED,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BF,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6()eq f(2,3)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，又因?yàn)閑q o(EF,sup

8、6()xeq o(AB,sup6()yeq o(AD,sup6()，所以xeq f(2,3)，yeq f(1,2)，故xyeq f(1,6).名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO平面向量線性運(yùn)算問題的常見類型及解題策略(1)考查向量加法或減法的幾何意義(2)求已知向量的和或差一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則；求首尾相連的向量的和用三角形法則(3)與三角形綜合，求參數(shù)的值求出向量的和或差，與已知條件中的式子比較，求得參數(shù)(4)與平行四邊形綜合，研究向量的關(guān)系畫出圖形，找出圖中的相等向量、共線向量，將所求向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊形或三角形中求解變式訓(xùn)練1(1)(角度1)(

9、2022湖北宜昌一中月考)已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|ab|a|b|，則下列說法正確的是(D)Aab0BabCa與b共線反向D存在正實(shí)數(shù)，使ab(2)(角度2) (2021西安五校聯(lián)考)如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則eq o(AB,sup6()(D)Aeq o(AC,sup6()eq o(AD,sup6()B2eq o(AC,sup6()2eq o(AD,sup6()Ceq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()D2eq o(AD,sup6()2eq o(AC,sup6()(3)(角度3)在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，O

10、為AD的中點(diǎn)，若eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()，其中，R，則等于(D)A1Beq f(1,2)Ceq f(1,3)Deq f(2,3)解析(1)因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|ab|a|b|，所以a與b共線同向，故D正確(2)連接CD(圖略)，因?yàn)镃，D是半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以CDAB，且AB2CD，所以eq o(AB,sup6()2eq o(CD,sup6()2(eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AD,sup6()2eq o(AC,sup6()，故選D(3)由題意易得eq o(AD,sup6()eq o

11、(AB,sup6()eq o(BD,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，則2eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()，即eq o(AO,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,6)eq o(BC,sup6().所以eq f(1,2)，eq f(1,6)，故eq f(1,2)eq f(1,6)eq f(2,3).考點(diǎn)三共線向量定理及其應(yīng)用師生共研例5 設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線(1)若eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8

12、b，eq o(CD,sup6()3(ab)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線；(2)試確定實(shí)數(shù)k，使kab和akb共線分析(1)利用向量證明三點(diǎn)共線時(shí)，首先要證明兩個(gè)非零向量共線，然后再說明兩向量有公共點(diǎn)，這時(shí)才能說明三點(diǎn)共線；(2)利用共線向量定理求解解析(1)證明：eq o(AB,sup6()ab，eq o(BC,sup6()2a8b，eq o(CD,sup6()3(ab)，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5eq o(AB,sup6().eq o(AB,sup6()，eq o(BD,sup6()共線，又

13、它們有公共點(diǎn)B，A，B，D三點(diǎn)共線(2)kab與akb共線，存在實(shí)數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a，b是不共線的兩個(gè)非零向量，eq blcrc (avs4alco1(k0，,k10，)解得k1.引申本例(2)中，若kab與akb反向，則k1；若kab與akb同向，則k1.解析由本例可知kab與akb反向時(shí)0，從而k1.名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO平面向量共線的判定方法(1)向量b與非零向量a共線的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使ba.要注意通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量，要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用(2)證明三點(diǎn)共線問題，可用向量共線來解決，

14、但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線變式訓(xùn)練2(1)(2022濟(jì)南模擬)已知向量a，b不共線，且cab，da(21)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)的值為(B)A1Beq f(1,2)C1或eq f(1,2)D1或eq f(1,2)(2)已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，并且ab與c共線，bc與a共線，那么abc等于(D)AaBbCcD0解析(1)由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使ckd(k0)，于是abka(21)b，整理得abka(2kk)b.由于a，b不共線，所以有eq blcrc (avs4alco1(k，,2kk1，)整理得2210，解得

15、1或eq f(1,2).又因?yàn)閗0，所以0，故eq f(1,2).故選B(2)解法1：ab與c共線，ab1c.又bc與a共線，bc2a.由得：b1ca.bc1cac(11)ca2a.eq blcrc (avs4alco1(110，,21，)即eq blcrc (avs4alco1(11，,21.)abccc0.故選D解法2：得ac1c2a11、21，abc0.名師講壇素養(yǎng)提升(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書學(xué)案P107)MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG易錯(cuò)警示都是零向量“惹的禍” 例6 下列命題正確的是(D)A向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使baB在ABC中，

16、eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0C不等式|a|b|ab|a|b|中兩個(gè)等號(hào)不可能同時(shí)成立D若向量a，b不共線，則向量ab與向量ab必不共線解析易知ABC錯(cuò)誤對(duì)于D向量a與b不共線，向量a，b，ab與ab均不為零向量若ab與ab共線，則存在實(shí)數(shù)使ab(ab)，即(1)a(1)b，所以eq blcrc (avs4alco1(10，,10，)此時(shí)無解，故假設(shè)不成立，即ab與ab不共線故D正確名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO在向量的有關(guān)概念中，定義長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且規(guī)定：0與任一向量平行由于零向量的特殊性，在兩個(gè)

17、向量共線或平行問題上，如果不考慮零向量，那么往往會(huì)得到錯(cuò)誤的判斷或結(jié)論在向量的運(yùn)算中，很多學(xué)生也往往忽視0與0的區(qū)別，導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤變式訓(xùn)練3下列敘述正確的是(D)A若非零向量a與b的方向相同或相反，則ab與a，b其中之一的方向相同B|a|b|ab|a與b的方向相同Ceq o(AB,sup6()eq o(BA,sup6()0D若0，ab，則ab解析對(duì)于A，當(dāng)ab0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同；對(duì)于B，當(dāng)a，b中有一個(gè)為零向量時(shí)結(jié)論不成立；對(duì)于C，因?yàn)閮蓚€(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以eq o(AB,sup6()eq o(BA,sup6()0；對(duì)于D，(ab)0時(shí)，0，此時(shí)一定有ab.故選

18、D第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識(shí)梳理雙基自測(cè)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書學(xué)案P107)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(識(shí))eq x(梳)eq x(理)知識(shí)點(diǎn)一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使a1e12e2.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)任一向量a，有唯一一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使得：axiyj，(x，y)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a(x，y)，顯然i(1,0)，j(0,1)，0(0,0).知識(shí)點(diǎn)三平面向

19、量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq o(AB,sup6()(x2x1，y2y1)，|eq o(AB,sup6()|eq r(x2x12y2y12).知識(shí)點(diǎn)四向量共線的坐標(biāo)表示若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1y2x2y10.eq x(歸)eq x(納)eq x(拓)eq x(展)兩個(gè)向量

20、作為基底的條件：作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的平面向量的基底可以有無窮多組eq x(雙)eq x(基)eq x(自)eq x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)的任意兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12，12.()(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成eq f(x1,x2)eq f(y1,y2).()(4)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變()(5)當(dāng)向量的起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo)()題組二走進(jìn)教材2(必修2P30T1改編)(2021北京十五中模

21、擬)如果向量a(1,2)，b(4,3)，那么a2b(B)A(9,8)B(7，4)C(7,4)D(9，8)解析a2b(1,2)(8,6)(7，4)，故選B3(必修2P60T2(6)改編)下列各組向量中，可以作為基底的是(B)Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5,7)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,4)解析A選項(xiàng)中，零向量與任意向量都共線，故其不可以作為基底；B選項(xiàng)中，不存在實(shí)數(shù)，使得e1e2.故兩向量不共線，故其可以作為基底；C選項(xiàng)中，e22e1，兩向量共線，故其不可以作為基底；D選項(xiàng)中

22、，e14e2，兩向量共線，故其不可以作為基底故選B4(必修2P60T6改編)若向量a(2,1)，b(1,2)，ceq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)，則c可用向量a，b表示為(A)Aeq f(1,2)abBeq f(1,2)abCeq f(3,2)aeq f(1,2)bDeq f(3,2)aeq f(1,2)b解析設(shè)cxayb，則eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)(2xy，x2y)，所以eq blcrc (avs4alco1(2xy0，,x2yf(5,2)，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,y1，)則ceq f(1,2

23、)ab.題組三走向高考5(2015新課標(biāo)全國(guó)，2,5分)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量eq o(AC,sup6()(4，3)，則向量eq o(BC,sup6()(A)A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)解析設(shè)C(x，y)，A(0,1)，eq o(AC,sup6()(4，3)，eq blcrc (avs4alco1(x4，,y13，)解得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y2，)C(4，2)，又B(3,2)，eq o(BC,sup6()(7，4)，選A6(2018全國(guó)卷，13,5分)已知向量a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，則eq f(1,2

24、).解析由題意得2ab(4,2)，因?yàn)閏(2ab)，c(1，)，所以42，得eq f(1,2).考點(diǎn)突破互動(dòng)探究(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書學(xué)案P108)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用師生共研例1 (1)在ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且eq o(BD,sup6()2eq o(DC,sup6()，eq o(CE,sup6()3eq o(EA,sup6()，若eq o(AB,sup6()a，eq o(AC,sup6()b，則eq o(DE,sup6()等于(C)Aeq f(1,3)aeq f(5,12)bBeq f(1,3)aeq f(13

25、,12)bCeq f(1,3)aeq f(5,12)bDeq f(1,3)aeq f(13,12)b(2)已知向量eq o(AC,sup6()，eq o(AD,sup6()和eq o(AB,sup6()在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則3.解析(1)eq o(DE,sup6()eq o(DC,sup6()eq o(CE,sup6()eq f(1,3)eq o(BC,sup6()eq f(3,4)eq o(CA,sup6()eq f(1,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(3

26、,4)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)eq o(AB,sup6()eq f(5,12)eq o(AC,sup6()eq f(1,3)aeq f(5,12)b.(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xAy，則eq o(AC,sup6()(2，2)，eq o(AB,sup6()(1,2)，eq o(AD,sup6()(1,0)由題意可知(2，2)(1,2)(1,0)，即eq blcrc (avs4alco1(2，,22，)解得eq blcrc (avs4alco1(1，,3，)所以3.故填3.名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵(1)基底必須是兩個(gè)不共線的向

27、量(2)選定基底后，通過構(gòu)造平行四邊形(或三角形)利用向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(3)注意幾何性質(zhì)在向量運(yùn)算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等易錯(cuò)提醒：在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便變式訓(xùn)練1(1) (2022長(zhǎng)沙模擬)如圖，在正方形ABCD中，E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足eq o(CF,sup6()2eq o(FB,sup6()，那么eq o(EF,sup6()(C)Aeq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(1,3)eq o(AD,sup6()Beq f(1,3)eq o(AB,s

28、up6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()Ceq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()Deq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()(2)已知在ABC中，點(diǎn)O滿足eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且eq o(OP,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()，則mn的取值范圍是(2,0).解析(1)因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以eq o(EC,sup6()eq f(1,2)eq

29、 o(DC,sup6().因?yàn)閑q o(CF,sup6()2eq o(FB,sup6()，所以eq o(CF,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6().所以eq o(EF,sup6()eq o(EC,sup6()eq o(CF,sup6()eq f(1,2)eq o(DC,sup6()eq f(2,3)eq o(CB,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(DA,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()，故選C(2)依題意，設(shè)eq o(OP,sup6()eq o(OC

30、,sup6()(01)，由eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()0，知eq o(OC,sup6()(eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，所以eq o(OP,sup6()eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()，由平面向量基本定理可知，mn2，所以mn(2,0)考點(diǎn)二平面向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算自主練透例2 (1)已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(BC,sup6()b，eq o(CA,sup6()c，且eq o(CM,sup6()3c，eq o(CN,sup6()2

31、b.求3ab3c；求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；求M，N的坐標(biāo)及向量eq o(MN,sup6()的坐標(biāo)(2)設(shè)向量a，b滿足|a|2eq r(5)，b(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為(4，2).解析(1)由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42)因?yàn)閙bnc(6mn，3m8n)，所以eq blcrc (avs4alco1(6mn5，,3m8n5，)解得eq blcrc (avs4alco1(m1，,n1.).設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)閑q o(CM,sup6()eq o(OM,sup6()eq o(OC

32、,sup6()3c，所以eq o(OM,sup6()3ceq o(OC,sup6()(3,24)(3，4)(0,20)，所以M(0,20)又因?yàn)閑q o(CN,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(OC,sup6()2b，所以eq o(ON,sup6()2beq o(OC,sup6()(12,6)(3，4)(9,2)所以N(9,2)所以eq o(MN,sup6()(9，18)(2)設(shè)a(x，y)，x0，y0)，eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BN,sup6()eq o(AB,sup6()(eq

33、 o(AN,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)o(AC,sup6()o(AB,sup6()(1)eq o(AB,sup6()eq f(,4)eq o(AC,sup6()，因?yàn)閑q o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AC,sup6()，所以eq f(2,9)eq f(,4)，得eq f(8,9)，所以m1eq f(1,9)，故選B解法二：eq o(AP,sup6()meq o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AC,sup6()meq o(AB,sup

34、6()eq f(8,9)eq o(AN,sup6()，meq f(8,9)1，meq f(1,9).第三講平面向量的數(shù)量積知識(shí)梳理雙基自測(cè)(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書學(xué)案P110)ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CEeq x(知)eq x(識(shí))eq x(梳)eq x(理)知識(shí)點(diǎn)一向量的夾角兩個(gè)非零向量a與b，過O點(diǎn)作eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則AOB叫做向量a與b的夾角；范圍是0，.a與b的夾角為eq f(,2)時(shí)，則a與b垂直，記作ab.知識(shí)點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b

35、的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab|a|b|cos ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a0.(2)幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示(1)設(shè)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，為向量a，b的夾角數(shù)量積：ab|a|b|cos x1x2y1y2.模：|a|eq r(aa)eq r(xoal(2,1)yoal(2,1).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點(diǎn)間的距離|AB|eq o(AB,sup6()|eq r(x1x22y1y22).夾角：cos eq f(ab,|a|b|)eq f(x1

36、x2y1y2,r(xoal(2,1)yoal(2,1)r(xoal(2,2)yoal(2,2).已知兩非零向量a與b，abab0 x1x2y1y20；abab|a|b|.(或|ab|a|b|)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2y1y2|eq r(xoal(2,1)yoal(2,1)eq r(xoal(2,2)yoal(2,2).(2)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律abba(交換律)ab(ab)a(b)(結(jié)合律)(ab)cacbc(分配律)eq x(歸)eq x(納)eq x(拓)eq x(展)1兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)0a0而0a0.2數(shù)量積不滿足結(jié)合律(ab)ca(bc)3ab中

37、的“”不能省略aaa2|a|2.4兩向量a與b的夾角為銳角ab0且a與b不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角ab0，則a與b的夾角為銳角；ab0，則a與b的夾角為鈍角()(4)若ab0，則a0或b0.()(5)(ab)ca(bc)()(6)若abac(a0)，則bc.()題組二走進(jìn)教材2(必修2P36練習(xí)T2改編)向量a(2，1)，b(1,2)，則(2ab)a(A)A6B5C1D6解析由題意知2ab(3,0)，(2ab)a(3,0)(2，1)6，故選A3(必修2P20T3改編)已知向量a與b的夾角為eq f(,3)，|a|eq r(2)，則a在b方向上的投影為(C)Aeq r(3)Beq r(2)

38、Ceq f(r(2),2)Deq f(r(3),2)解析a在b方向上的投影為|a|cos a，beq r(2)cos eq f(,3)eq f(r(2),2).選C4(必修2P24T24改編)在圓O中，長(zhǎng)度為eq r(2)的弦AB不經(jīng)過圓心，則eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()的值為1.解析設(shè)向量eq o(AO,sup6()，eq o(AB,sup6()的夾角為，則eq o(AO,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AO,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos |eq o(AO,sup6()|cos |eq o(AB,sup6()|eq f(1

39、,2)|eq o(AB,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq f(1,2)(eq r(2)21.題組三走向高考5(2021全國(guó)甲，13,5分)若向量a，b滿足|a|3，|ab|5，ab1，則|b|3eq r(2).解析利用|a|eq r(a2)求解依題意可得|ab|eq r(ab2)eq r(|a|22ab|b|2)eq r(92|b|2)5，解得|b|3eq r(2).6(2021全國(guó)乙，14,5分)已知向量a(1,3)，b(3,4)，若(ab)b，則eq f(3,5).解析根據(jù)(ab)b得(ab)b0，再轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，得到關(guān)于的方程求解即可解法一：由a(1,3)，b(3,4)

40、，得ab(13，34)，由(ab)b得(ab)b0，故3(13)4(34)015250eq f(3,5).解法二：由(ab)b得(ab)b0，即abb20，ab133415，b2334425，則15250，eq f(3,5).7(2019全國(guó)卷，5分)已知非零向量a，b滿足|a|2|b|，且(ab)b，則a與b的夾角為(B)Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(2,3)Deq f(5,6)解析解法一：由題意得，(ab)b0ab|b|2，|a|b|cos a，b|b|2，|a|2|b|，2|b|2cos a，b|b|2cos a，beq f(1,2)，a，beq f(,3)，故選B解法

41、二：如圖所示，設(shè)eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，則eq o(BA,sup6()ab，Beq f(,2)，|eq o(OA,sup6()|2|eq o(OB,sup6()|，AOBeq f(,3)，即a，beq f(,3).考點(diǎn)突破互動(dòng)探究(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書學(xué)案P111)KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的運(yùn)算師生共研例1 (1)已知向量e1，e2，|e1|1，e2(1，eq r(3)，e1，e2的夾角為60，則(e1e2)e2(C)Aeq f(3r(5),5)Beq f(2r(5),5)C5Deq r(5)(2)已知點(diǎn)A

42、，B，C滿足|eq o(AB,sup6()|3，|eq o(BC,sup6()|4，|eq o(CA,sup6()|5，則eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()的值是25.解析(1)e2(1，eq r(3)|e2|2，所以(e1e2)e2e1e2eeq oal(2,2)12cos 6045.故選C(2)解法一：如圖，根據(jù)題意可得ABC為直角三角形，且Beq f(,2)，cos Aeq f(3,5)，cos Ceq f(4,5)，eq o(AB,sup6()eq o(

43、BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()45cos(C)53cos(A)20cos C15cos A20eq f(4,5)15eq f(3,5)25.解法二：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(3,0)，B(0,0)，C(0,4)eq o(AB,sup6()(3,0)，eq o(BC,sup6()(0,4)，eq o(CA,sup6()(3，4)eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6(

44、)30040，eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()034(4)16，eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()3(3)(4)09.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()25.解法三：eq o(CA,sup6()在eq o(CB,sup6()上的投影為向量eq o(CB,sup6()，eq o(AC,sup6()在eq o(AB,sup6()上的投影為向量eq o(BA,sup6()，因此eq o(BC,sup6()eq o(CA,s

45、up6()eq o(BC,sup6()216，eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()29，eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()0.eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()25.解法四：eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AB,sup6()0eq o(CA,sup6()(eq o(BC,sup

46、6()eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(AC,sup6()eq o(AC,sup6()225.解法五：eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0，將其兩邊平方可得eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()2eq o(CA,sup6()22(eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(CA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()0，故eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(

47、CA,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CA,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()2eq o(BC,sup6()2eq o(CA,sup6()2)25.名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO向量數(shù)量積的四種計(jì)算方法(1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即ab|a|b|cos .(2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.(3)轉(zhuǎn)化法：當(dāng)模和夾角都沒給出時(shí)，即用已知?；驃A角的向量作基底來表示要求數(shù)量積的向量求解(4)坐標(biāo)法：結(jié)合圖形特征適當(dāng)建立坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求其數(shù)量積

48、(如本例(2)變式訓(xùn)練1(1)已知向量a，b滿足a(ba)2，且a(1,2)，則向量b在a方向上的投影為(D)Aeq f(r(5),5)Beq f(r(5),5)Ceq f(2r(5),5)Deq f(3r(5),5)(2)(2021貴陽(yáng)市第一學(xué)期監(jiān)測(cè)考試)在ABC中，|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，AB2，AC1，E，F(xiàn)為BC的三等分點(diǎn)，則eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()(A)Aeq f(10,9)Beq f(25,9)Ceq f(26,9)Deq f(8,9)解析(1)由a(1,

49、2)，可得|a|eq r(5)，由a(ba)2，可得aba22，ab3，向量b在a方向上的投影為eq f(ab,|a|)eq f(3r(5),5).(2)解法一：因?yàn)閨eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，即BAC90.所以eq o(AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq blcrc(avs4alco1(o(AC

50、,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()o(AE,sup6()eq blcrc(avs4alco1(o(AB,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AB,sup6()f(1,3)o(AC,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)o(AC,sup6()f(1,3)o(AB,sup6()eq f(2,9)eq o(AB,sup6()2eq f(2,9)eq o(AC,sup6()2eq f(10,9)，故選A解法二：因?yàn)閨eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()

51、|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|，所以|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2|eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|2，所以eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()0，即eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在的直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(0,1)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3)，所以eq o(

52、AE,sup6()eq o(AF,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(1,3)eq f(8,9)eq f(2,9)eq f(10,9)，故選A考點(diǎn)二向量的模、夾角多維探究角度1向量的模例2 (1)(2021四川雙流中學(xué)月考)若平面向量a、b的夾角為60，且a(1，eq r(3)，|b|3，則|2ab|的值為(C)A13Beq r(37)Ceq r(13)D1(2)(2022黃岡調(diào)研)已知平面向量m，n的夾角為eq f(,6)，且|m|eq r(3)，|n|2，在ABC中，eq o(AB,su

53、p6()2m2n，eq o(AC,sup6()2m6n，D為BC的中點(diǎn)，則|eq o(AD,sup6()|2.分析(1)求出|a|，再由|2ab|eq r(2ab2)求解；解析(1)a(1，eq r(3)，|a|2.ab|a|b|cos 603，|2ab|eq r(2ab2)eq r(4a24abb2)eq r(13).故選C(2)由題意知mneq r(3)2cos eq f(,6)3.ABC中，D為BC的中點(diǎn)，eq o(AD,sup6()eq f(1,2)(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()eq f(1,2)(2m2n2m6n)2m2n.|eq o(AD,sup6()|

54、2m2n|2eq r(mn2)2eq r(m22mnn2)2eq r(3234)2.名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO平面向量的模的解題方法(1)若向量a是以坐標(biāo)(x，y)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永脇a|eq r(x2y2).(2)若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2a2aa，或|ab|2(ab)2a22abb2，先求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即“模的問題平方求解”角度2向量的夾角例3 (1)(2021新高考八省聯(lián)考)已知單位向量a，b滿足ab0，若向量ceq r(7)aeq r(2)b，則sin(B)Aeq f(r(7),3)Beq f(

55、r(2),3)Ceq f(r(7),9)Deq f(r(2),9)(2)(2020全國(guó)理，6)已知向量a，b滿足|a|5，|b|6，ab6，則cosa，ab(D)Aeq f(31,35)Beq f(19,35)Ceq f(17,35)Deq f(19,35)分析(1)利用夾角公式求解解析(1)解法1：設(shè)a(1,0)，b(0,1)，則c(eq r(7)，eq r(2)，coseq f(ac,|a|c|)eq f(r(7),13)eq f(r(7),3)，sineq f(r(2),3)，故選B解法2：如圖，sina，ceq f(r(2),3).(2)|a|5，|b|6，ab6，a(ab)|a|2a

56、b19.又|ab|eq r(a22abb2)eq r(251236)7，cosa，abeq f(aab,|a|ab|)eq f(19,57)eq f(19,35).故選D名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO求兩向量夾角的方法及注意事項(xiàng)(1)一般是利用夾角公式：cos eq f(ab,|a|b|).(2)注意：數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于0說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于0且兩向量不共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角(3)a在b方向上的投影等于|a|cos eq f(ab,|b|)；b在a方向上的投影等于|b|cos eq f(ab,|a|).角度3平面向量的垂直例4 (1

57、)(2020全國(guó)，5)已知單位向量a，b的夾角為60，則在下列向量中，與b垂直的是(D)Aa2bB2abCa2bD2ab(2)(2022安徽宣城調(diào)研)已知在ABC中，A120，且AB3，AC4，若eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()，且eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，則實(shí)數(shù)的值為(A)Aeq f(22,15)Beq f(10,3)C6Deq f(12,7)解析(1)解法1：本題考查向量的數(shù)量積由題意得ab|a|b|cos 60eq f(1,2)，b2|b|21.對(duì)于A，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(

58、5,2)0，故A錯(cuò)；對(duì)于B，(2ab)b2abb21120，故B錯(cuò)；對(duì)于C，(a2b)bab2b2eq f(1,2)2eq f(3,2)0，故C錯(cuò)；對(duì)于D，(2ab)b2abb2110，所以(2ab)b，故選D解法2：可以考慮幾何意義(2)因?yàn)閑q o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()，所以eq o(AP,sup6()eq o(BC,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()2(1)eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()

59、0，因此3242(1)34cos 1200，所以eq f(22,15).故選A名師點(diǎn)撥MING SHI DIAN BO平面向量垂直問題的解題思路解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件ab0求解變式訓(xùn)練2(1)(角度3)(2020全國(guó)，13)已知單位向量a，b的夾角為45，kab與a垂直，則keq f(r(2),2).(2)(角度1)(2021山西康杰中學(xué)五校期中)已知向量a、b滿足|b|2|a|2，a與b的夾角為120，則|a2b|(B)Aeq r(13)Beq r(21)C13D21(3)(角度2)(2021江西七校聯(lián)考)已知向量a(1，eq r(3)，b(3，m)，且b在a上的投影為3

60、，則向量a與b的夾角為eq f(2,3).解析(1)本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算由題意知|a|b|1，所以ab|a|b|cos 45eq f(r(2),2).因?yàn)閗ab與a垂直，所以(kab)a0，即ka2ab0，即keq f(r(2),2)0，得keq f(r(2),2).(2)|a|1，|b|2，ab1，|a2b|eq r(a2b2)eq r(|a|24ab4|b|2)eq r(21).故選B(3)由題意可知eq f(ab,|a|)3，eq f(3r(3)m,2)3.m3eq r(3)，|b|eq r(323r(3)2)6，記a與b的夾角為，則cos eq f(ab,|a|b|)eq f(