大學(xué)物理相對(duì)論習(xí)題

1、狹義相對(duì)論一、基本要求1理解愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論的兩個(gè)基本假?zèng)]。2理解洛侖茲坐標(biāo)變換。了解狹義相對(duì)論中同時(shí)性的相對(duì)性，以及長(zhǎng)度收縮和時(shí)問(wèn)膨脹的概念。 了解牛頓力學(xué)中的時(shí)空觀和狹義相對(duì)論中的時(shí)空觀以及二者的差異。3理解狹義相對(duì)論中質(zhì)量和速度的關(guān)系、質(zhì)量和能量的關(guān)系，并能用以分析、計(jì)算有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題。二、內(nèi)容提要1經(jīng)典力學(xué)的絕對(duì)時(shí)空觀 伽里略相對(duì)性原理 一切彼此相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的諸慣性系中的力學(xué)規(guī)律都是一樣的。即力學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)形式都是相同的。 伽里略變換 設(shè)想兩個(gè)作相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系（參照系），各以直角坐標(biāo)系和表示，兩者的坐標(biāo)軸分別相互平行，而且軸和軸重合在一起。坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系沿軸方向以速度

2、運(yùn)動(dòng)。設(shè)想在坐標(biāo)系和坐標(biāo)系，當(dāng)原點(diǎn)重合時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的時(shí)鐘校準(zhǔn)為零，即時(shí)，。 同一點(diǎn)在坐標(biāo)系和坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和有如下的關(guān)系： 或 這就是伽利略坐標(biāo)變換公式。它完全體現(xiàn)了絕對(duì)時(shí)空觀，是絕對(duì)時(shí)空觀的數(shù)學(xué)表述。經(jīng)典力學(xué)的絕對(duì)時(shí)空觀 經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀認(rèn)為，時(shí)間和空間是相互獨(dú)立的，對(duì)時(shí)間間隔和空間間隔的測(cè)量不會(huì)因?yàn)閰⒖枷档倪\(yùn)動(dòng)而改變。根據(jù)上述位置變換關(guān)系及速度的定義，可導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度在二慣性系之間的變換關(guān)系 （、）加速度變換關(guān)系 （、）因此，在諸慣性系中，牛頓第二定律可表示為，牛頓第二定律相對(duì)于伽里略變換是不變的。2狹義相對(duì)論的基本假設(shè) 愛(ài)因斯坦相對(duì)性原理 一切彼此相對(duì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)的諸慣性系都是平

3、權(quán)的，其中物理規(guī)律都一樣。 光速不變?cè)?在任何一個(gè)慣性系中測(cè)得的真空中的光速都相等。3洛侖茲變換 設(shè)想兩個(gè)作相對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)的慣性系（參照系），各以直角坐標(biāo)系和表示，兩者的坐標(biāo)軸分別相互平行，而且軸和軸重合在一起。坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系沿軸方向以速度運(yùn)動(dòng)。設(shè)想在坐標(biāo)系和坐標(biāo)系，當(dāng)原點(diǎn)重合時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)的時(shí)鐘校準(zhǔn)為零，即時(shí)，。 同一點(diǎn)在坐標(biāo)系和坐標(biāo)系中的坐標(biāo)和有如下的關(guān)系： 4狹義相對(duì)論的時(shí)空觀“同時(shí)性”的相對(duì)性 在一個(gè)慣性系測(cè)得是同時(shí)發(fā)生的兩事件，在另一個(gè)慣性系中測(cè)量可能不是同時(shí)發(fā)生的。坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系沿軸方向以速度運(yùn)動(dòng)。在坐標(biāo)系中不同空間地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件和 ，即，自坐標(biāo)系中測(cè)量，這兩事件不

4、是同時(shí)發(fā)生的。如果在坐標(biāo)系中不同空間地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生兩個(gè)事件和， 即，在坐標(biāo)系中，這兩事件也是不會(huì)同時(shí)發(fā)生的。時(shí)間膨脹 在一個(gè)慣性系中觀測(cè)，另一個(gè)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系中同地發(fā)生的兩個(gè)事件的時(shí)間間隔變大。這稱為時(shí)間延緩效應(yīng)。設(shè)兩個(gè)事件在系中發(fā)生在同一空間地點(diǎn)，即、，那么，在系中，這兩個(gè)事件是發(fā)生在、。也就是說(shuō)，系跟隨事件，或者說(shuō)，事件的發(fā)生在系是靜止的 （為原時(shí)， 為測(cè)時(shí)）如果設(shè)兩個(gè)事件在系中發(fā)生在同一空間地點(diǎn)，即、，那么，在系中，這兩個(gè)事件是發(fā)生在、， （為原時(shí)，為測(cè)時(shí)）長(zhǎng)度收縮 在不同的慣性系中測(cè)量物體的長(zhǎng)度是不同的。在與物體靜止的慣性系中測(cè)量物體的長(zhǎng)度（原長(zhǎng)）最長(zhǎng)；在與物體有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的慣性系

5、中測(cè)量物體的長(zhǎng)度（測(cè)長(zhǎng)）總要比原長(zhǎng)短一些。這種效應(yīng)稱為長(zhǎng)度收縮效應(yīng)。棒靜止于系中，在系中測(cè)量棒的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)事件：、，在系中測(cè)量棒的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)事件：、， （原長(zhǎng)，測(cè)長(zhǎng)）如果棒靜止于系中，在系中測(cè)量棒的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)事件：、，在系中測(cè)量棒的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)的兩個(gè)事件：、， （原長(zhǎng)，測(cè)長(zhǎng)）5洛侖茲速度變換公式一質(zhì)點(diǎn)，在系測(cè)得其運(yùn)動(dòng)速度為在系測(cè)得其運(yùn)動(dòng)速度為 若坐標(biāo)系相對(duì)于坐標(biāo)系沿軸方向以速度運(yùn)動(dòng)。則速度變換關(guān)系為 6狹義相對(duì)論質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)相對(duì)論質(zhì)量 若在一相對(duì)靜止的慣性系測(cè)得物體的質(zhì)量為，則在相對(duì)物體以的速度運(yùn)動(dòng)的另一慣性系測(cè)得其質(zhì)量為， （為靜止質(zhì)量）相對(duì)論動(dòng)量相對(duì)論動(dòng)能相對(duì)論能量運(yùn)

6、動(dòng)能量：靜止能量：相對(duì)論能量守恒相對(duì)論動(dòng)量能量關(guān)系二、問(wèn)題討論1、根據(jù)愛(ài)因斯坦的時(shí)空觀，討論（1）在一慣性系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同時(shí)不同地發(fā)生，則在其他慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件是否可能同時(shí)發(fā)生？是否可能同地發(fā)生？（2）在一慣性系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同地不同時(shí)發(fā)生，則在其他慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件是否可能同地發(fā)生？是否可能同時(shí)發(fā)生？ （3）在一慣性系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同時(shí)同地發(fā)生，則在其他慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件是否可能同時(shí)發(fā)生？是否可能同地發(fā)生？答：愛(ài)因斯坦相對(duì)時(shí)空觀的數(shù)學(xué)表述為羅倫茲變換 （1）在系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同時(shí)不同地發(fā)生，即事件，在系中觀測(cè)，事件，則即：在一慣性系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同時(shí)不同地發(fā)生

7、，則在其他慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，也不可能同地發(fā)生。（2）在系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同地不同時(shí)發(fā)生，即事件，在系中觀測(cè)，事件，則即：在一慣性系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同地不同時(shí)發(fā)生，則在其他慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件不可能同地發(fā)生，也不可能同時(shí)發(fā)生。（3）在系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同地同時(shí)發(fā)生，即事件，在系中觀測(cè)，事件，則即：在一慣性系中觀測(cè)，兩個(gè)事件同地同時(shí)發(fā)生，則在其他慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件一定同地發(fā)生，也一定同時(shí)發(fā)生。2、如圖所示，在地面上M點(diǎn)固定一光源，在離光源等距的兩點(diǎn)A和B固定有兩個(gè)光接收器。今使光源發(fā)出一閃光，在地面參考系中觀測(cè)，兩個(gè)接收器是否同時(shí)接收到兩個(gè)光信號(hào)?在沿A B方向高速

8、運(yùn)行的火車參考系中觀測(cè)，哪個(gè)接收器先接收到光信號(hào)。答：是；不能，接收器先接收到光信號(hào)。設(shè)在地面坐標(biāo)系中，、接收到信號(hào)的事件為；高速運(yùn)行的火車參考系中，、接收到信號(hào)的事件為，如圖所示。在 系中，事件、的發(fā)生是靜止的，而且是的中點(diǎn)，兩個(gè)事件必定同時(shí)發(fā)生。注意：不同地點(diǎn)（）。由于、是在系中不同地點(diǎn)同時(shí)發(fā)生的兩件事，根據(jù)同時(shí)性的相對(duì)性，在系中必定是不同時(shí)發(fā)生的。根據(jù)羅倫茲變換所以，在系中觀測(cè)，事件先于事件發(fā)生，即在系中觀測(cè)，接收器先接收到光信號(hào)。3、 一觀察者為測(cè)量相對(duì)自己運(yùn)動(dòng)的物體的長(zhǎng)度而測(cè)量物體兩端坐標(biāo)，對(duì)該觀察者而言，測(cè)量?jī)啥俗鴺?biāo)這兩個(gè)事件的最低要求是什么？如果他實(shí)施了正確測(cè)量，他測(cè)得的物體沿運(yùn)

9、動(dòng)方向的長(zhǎng)度是長(zhǎng)于還是短于該物體沿該方向的靜止長(zhǎng)度。答：通過(guò)測(cè)量運(yùn)動(dòng)物體兩端坐標(biāo)的辦法來(lái)測(cè)量物體的長(zhǎng)度，必須同時(shí)測(cè)量?jī)啥俗鴺?biāo)；根據(jù)“長(zhǎng)度收縮”原理，運(yùn)動(dòng)物體的長(zhǎng)度要短于該物體沿該方向的靜止長(zhǎng)度。4、 如果我們說(shuō)，在一個(gè)慣性系中測(cè)得某兩個(gè)事件的時(shí)間間隔是它的固有時(shí)間，這就意味著，在該慣性系中觀測(cè)，這兩個(gè)事件發(fā)生在同一地點(diǎn)；若在其他慣性系中觀測(cè)，它們是發(fā)生在同一地點(diǎn)嗎？時(shí)間間隔是長(zhǎng)于還是短于固有時(shí)間？答：設(shè)兩個(gè)事件在系中發(fā)生在同一空間地點(diǎn)，即、，在系中，這兩個(gè)事件是發(fā)生在、。由于兩個(gè)事件在系中是靜止的，所以，兩個(gè)事件的時(shí)間坐標(biāo)之差就是固有時(shí)間根據(jù)羅倫茲變換，得到可見(jiàn)，在系中觀測(cè)，這兩件事發(fā)生在不同

10、地點(diǎn)。由于是固有時(shí)間，根據(jù)時(shí)間膨脹原理，固有時(shí)間最短，在其他慣性系中測(cè)量同樣的兩件事的時(shí)間間隔都比固有時(shí)間長(zhǎng)。根據(jù)羅倫茲變換在系中觀測(cè)，這兩件事發(fā)生的時(shí)間間隔為5、如果、是在系中互為因果關(guān)系的兩個(gè)事件（是的原因，先于發(fā)生）。問(wèn)：是否能找到一個(gè)慣性系，在該系中測(cè)得先于發(fā)生，出現(xiàn)時(shí)間順序顛倒的現(xiàn)象？答：不可能。設(shè)、在系中的時(shí)空坐標(biāo)分別為、，在系中的時(shí)空坐標(biāo)分別為。由羅倫茲變換，有可見(jiàn)，在的條件下，可能出現(xiàn)兩種情況：（1）如果，則必有，即只要在系中測(cè)得先于發(fā)生，則在系中測(cè)得也是先于發(fā)生。（2）如果，則從數(shù)學(xué)上有可能。但這只是數(shù)學(xué)上的，在物理上是不可能的。如果物理上事件是事件原因，則處的影響必以某種物

11、質(zhì)運(yùn)動(dòng)方式，以速度 （因?yàn)椋﹤鬟f到處，則根據(jù)狹義相對(duì)論的理論：，所以，因此，只要，必有。由此得出結(jié)論，互為因果關(guān)系的兩事件，在任何慣性系中都不會(huì)出現(xiàn)時(shí)序顛倒的情況。這也說(shuō)明，不會(huì)因?yàn)橄鄬?duì)論效應(yīng)，而改變客觀事件的因果規(guī)律?；蛘哒f(shuō)狹義相對(duì)論是自洽的。甚至可以說(shuō)，只有在狹義相對(duì)論下，客觀物質(zhì)世界的因果關(guān)系才不會(huì)顛倒，狹義相對(duì)論是反映客觀規(guī)律的正確理論。四、解題指導(dǎo)例1 兩個(gè)慣性系、沿軸相對(duì)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩坐標(biāo)原點(diǎn)、重合時(shí)計(jì)時(shí)開(kāi)始。若在系中測(cè)得某兩個(gè)事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為，；，而在系中測(cè)得兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，試問(wèn)：（1）系相對(duì)系的速度如何？（2）系中測(cè)得這兩個(gè)事件的空間間隔是多少？解題分析：由于兩個(gè)慣性系是相對(duì)

12、運(yùn)動(dòng)的，在兩個(gè)坐標(biāo)系中測(cè)得的同一事件的時(shí)空坐標(biāo)不同。它們之間的關(guān)系由羅倫茲變換聯(lián)系在一起。 兩個(gè)事件在某坐標(biāo)系中的時(shí)間的間隔，就是這兩個(gè)事件在該坐標(biāo)系中的時(shí)間坐標(biāo)之差；兩個(gè)事件在某坐標(biāo)系中的空間的間隔，就是這兩個(gè)事件在該坐標(biāo)系中的空間坐標(biāo)之差。解：（1）設(shè)系相對(duì)系的速度為，由羅倫茲變換，在系中測(cè)得兩個(gè)事件的時(shí)間坐標(biāo)分別為由題意，即這說(shuō)明系沿系軸正方向運(yùn)動(dòng)。（2）設(shè)系中測(cè)得這兩個(gè)事件的空間坐標(biāo)分別為、，由羅倫茲變換，由于，得到系中測(cè)得這兩個(gè)事件的空間間隔討論：（1）這兩個(gè)事件在系和系中都不是發(fā)生在同一地點(diǎn)，因此兩個(gè)事件在系和系中的時(shí)間坐標(biāo)之差都不是原時(shí)（固有時(shí)間）。無(wú)法應(yīng)用時(shí)間膨脹的概念。（2）

13、這兩個(gè)事件在系中的發(fā)生是靜止的，所以這兩個(gè)事件的空間坐標(biāo)之差可以看作“原長(zhǎng)”；這兩個(gè)事件在系中雖然是運(yùn)動(dòng)的，但在系中這兩個(gè)事件是同時(shí)發(fā)生的，因此在系中這兩個(gè)事件的空間坐標(biāo)之差可以看作測(cè)長(zhǎng)?？梢詰?yīng)用長(zhǎng)度收縮的概念。（3）在系中同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，由于發(fā)生的地點(diǎn)不同，則在另一個(gè)慣性系系中不是同時(shí)發(fā)生的。這就是“同時(shí)性的相對(duì)性”。例2 在慣性系系中，測(cè)得某兩個(gè)事件發(fā)生在同一地點(diǎn)，時(shí)間間隔為；在另一個(gè)慣性系系中，測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔為。求在系中，這兩個(gè)事件的空間間隔。解題分析：在同一地點(diǎn)先后發(fā)生兩個(gè)事件的時(shí)間間隔為固有時(shí)間（原時(shí)），所以在系中測(cè)得的是固有時(shí)間。在另一個(gè)慣性系系中，這兩個(gè)事件不可

14、能發(fā)生在同一地點(diǎn)，測(cè)得這兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔為，是由于相對(duì)論時(shí)間膨脹效應(yīng)的結(jié)果。解：由相對(duì)論時(shí)間膨脹效應(yīng)，根據(jù)羅倫茲變換，在系中，測(cè)得這兩個(gè)事件的空間坐標(biāo)為由于在慣性系系中，這兩個(gè)事件發(fā)生在同一地點(diǎn)，所以在系中，這兩個(gè)事件的空間間隔為討論：由于在系中，兩個(gè)事件的空間坐標(biāo)不是同時(shí)測(cè)量的，不是測(cè)長(zhǎng)，無(wú)法應(yīng)用長(zhǎng)度收縮的概念。例3 一靜止長(zhǎng)度為的火箭，以速率相對(duì)地飛行，現(xiàn)自其尾端發(fā)射一個(gè)光信號(hào)。試根據(jù)羅倫茲變換計(jì)算，在地面系中觀測(cè)，光信號(hào)自火箭尾端到前端所經(jīng)歷的位移、時(shí)間、速度。分析：設(shè)光信號(hào)自火箭尾端發(fā)射為“事件1”，光信號(hào)到達(dá)火箭前端為“事件2”。在火箭系（）中，測(cè)量火箭的長(zhǎng)度是原長(zhǎng)，光信號(hào)是以

15、傳送的，所以，在系中，光信號(hào)自火箭尾端到前端所經(jīng)歷的時(shí)間為。解：根據(jù)羅倫茲變換，在地面系（）中，測(cè)得的光信號(hào)自火箭尾端到前端所經(jīng)歷的位移為在地面系（）中，測(cè)得的光信號(hào)自火箭尾端到前端所經(jīng)歷的時(shí)間為在地面系中觀測(cè)，光信號(hào)自火箭尾端到前端的速度為討論：（1）光信號(hào)在火箭系和地面系中的傳遞速率都為。這完全滿足“光速不變?cè)怼薄＃?）在火箭系（）中，光信號(hào)自火箭尾端發(fā)射的“事件1”，和光信號(hào)到達(dá)火箭前端的“事件2”不是發(fā)生在同一地點(diǎn)，因此，不是原時(shí)。例4 在地球月球系中測(cè)得地月距離為，一火箭以的速率沿著從地球到月球的方向飛行，先經(jīng)過(guò)地球，后經(jīng)過(guò)月球。問(wèn)在地球月球系和火箭系中觀測(cè)，火箭由地球飛向月球各需

16、多少時(shí)間？分析：在火箭看來(lái)，火箭與地球相遇和火箭與月球相遇這兩件事是在同一地點(diǎn)發(fā)生的，這兩件事的時(shí)間間隔是原時(shí)?？梢杂脮r(shí)間膨脹效應(yīng)求解。解：設(shè)地月系為系，火箭與地球相遇為“事件1” ：，火箭與月球相遇為“事件2” ：。設(shè)火箭系為系，火箭與地球相遇為“事件1”：，火箭與月球相遇為“事件2”：。在系中，兩個(gè)事件發(fā)生的空間間隔為所以，在系中，兩個(gè)事件發(fā)生的時(shí)間間隔為由于在系中，兩個(gè)事件是在同一地點(diǎn)發(fā)生的，所以，兩個(gè)事件的時(shí)間間隔是原時(shí)。在系中，兩個(gè)事件的時(shí)間間隔是測(cè)時(shí)。則討論：也可以用羅倫茲變換和長(zhǎng)度收縮效應(yīng)求解。（1）用羅倫茲變換求解（2）用長(zhǎng)度收縮效應(yīng)求解在系中，地球和月球是“靜止的”，它們之間

17、的距離是原長(zhǎng)。而在系中，地球和月球是“運(yùn)動(dòng)的”，它們之間的距離是測(cè)長(zhǎng)，則在系中（火箭），地球和月球運(yùn)動(dòng)速度也是，所以，系測(cè)得的時(shí)間間隔為例5 一靜止面積為，面密度為的正方形板，當(dāng)觀測(cè)者以的速度沿其對(duì)角線運(yùn)動(dòng)。求（1）所測(cè)得圖形的形狀和面積；（2）面密度之比分析：該“正方形”也是沿著其對(duì)角線相對(duì)觀測(cè)者運(yùn)動(dòng)的。長(zhǎng)度收縮只發(fā)生在運(yùn)動(dòng)方向上，在垂直于運(yùn)動(dòng)方向上不發(fā)生長(zhǎng)度收縮。因此，觀測(cè)者測(cè)得的圖形是一個(gè)菱形。 還要考慮到，觀測(cè)者測(cè)得的“質(zhì)量”是“運(yùn)動(dòng)質(zhì)量“。解：（1）根據(jù)相對(duì)論長(zhǎng)度收縮效應(yīng)，觀測(cè)者測(cè)得沿運(yùn)動(dòng)方向平行的對(duì)角線收縮為垂直于運(yùn)動(dòng)方向的對(duì)角線仍然為，所以，觀測(cè)者測(cè)得圖形的形狀為菱形，面積為（2

18、）板的靜止質(zhì)量為板的運(yùn)動(dòng)質(zhì)量為所以，觀測(cè)者測(cè)得的面密度為例6 離地面的高空大氣中，產(chǎn)生一介子，以速度飛向地球。假定介子在自身參照系中的平均壽命為，根據(jù)相對(duì)論理論，試問(wèn)：（1）地球上的觀測(cè)者判斷介子能否到達(dá)地球？（2）與介子一起運(yùn)動(dòng)的參照系中觀測(cè)者的判斷結(jié)果又如何？解：（1）介子在自身參照系中是靜止的，因此，在介子自身參照系中，介子的產(chǎn)生和消失這兩個(gè)事件的時(shí)間間隔（平均壽命），是固有時(shí)間。地球上的觀測(cè)者，由于時(shí)間膨脹效應(yīng)，測(cè)得介子的平均壽命為即在地球上的觀測(cè)者看來(lái)，介子一生可以飛行的距離為所以判斷介子能夠到達(dá)地球。（2）在與介子一起運(yùn)動(dòng)的參照系中，介子是靜止的，但地球以速率接近介子。從地面到介子產(chǎn)生處為是在地球上測(cè)得的。由于空間收縮效應(yīng)，在與介子一起運(yùn)動(dòng)的參照系中，這段距離應(yīng)為在與介子一起運(yùn)動(dòng)的參照系中，在其一生地球的行程為所以判斷地球能夠在介子消失前趕到，即介子能夠到達(dá)地球。討論：實(shí)際上，介子能夠到達(dá)地球，這是客觀事實(shí)，不會(huì)因?yàn)?/p>