2021課標(biāo)版理數(shù)高考總復(fù)習(xí)專題專題十四數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入（講解練）理科數(shù)學(xué)教學(xué)講練

1、專題十四數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入高考理數(shù)考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的概念及幾何意義考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念形如a+bi(aR,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),其中實(shí)部為a,虛部為b若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù);若a=0且b0,則a+bi為純虛數(shù)復(fù)數(shù)相等a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR) 共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di共軛a=c且b=-d(a,b,c,dR) 復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫實(shí)軸,y軸叫虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù),各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù)復(fù)數(shù)的模設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=a+bi,則向量的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的模

2、(其中a,bR)|z|=|a+bi|=(a,bR)注意(1)復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集,記為C.(2)虛數(shù)單位i具有周期性,且最小正周期為4,其性質(zhì)如下(nN):i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i;i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0.(3)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱.實(shí)數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合,且在實(shí)軸上.2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的.其中a,bR.考向突破考向一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念問(wèn)題例1(2019河北唐山第一次

3、模擬,2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i(其中i為虛數(shù)單位),則下列結(jié)論正確的是()A.|z|=2B.z的虛部為iC.z2=2D.z的共軛復(fù)數(shù)為1-i解析由(1+i)z=2i,得z=1+i,|z|=,z的虛部為1,z2=(1+i)2=2i,z的共軛復(fù)數(shù)為1-i,故選D.答案D考向二復(fù)數(shù)的幾何意義例2(2020屆河南百校聯(lián)盟9月聯(lián)合檢測(cè),2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足=i(i是虛數(shù)單位),則z+2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析由=i可得z=-1+i,所以z+2=1+i,則z+2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限.答案A考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的運(yùn)算考向基礎(chǔ)1.復(fù)數(shù)的

4、加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;(4)除法:=+i(c+di0).2.復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).3.復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量、不共線,則復(fù)數(shù)z1+z2

5、是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義復(fù)數(shù)z1-z2是-=所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).考向突破考向復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例(2018課標(biāo),1,5分)=()A.-iB.-+iC.-iD.-+i解析本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.=-+i,故選D.答案D方法1求解與復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題的技巧(1)復(fù)數(shù)的分類(lèi)、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部有關(guān),所以解答與復(fù)數(shù)概念有關(guān)的問(wèn)題時(shí),需先把所給復(fù)數(shù)化為a+bi(a,bR)的形式,再根據(jù)題意列方程(組)求解.(2)求復(fù)數(shù)的模時(shí),可以根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式|a+bi|=和性質(zhì)|=|z|,|z2|=|2=z,|z1z2|=|z1|z2|,

6、=(z20)進(jìn)行計(jì)算.(3)復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的最基本也是最重要的方法.方法技巧例1(1)(2019廣東六校聯(lián)考)已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)(1+2i)2的共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A.4iB.3C.4D.-4(2)(2017天津文,9,5分)已知aR,i為虛數(shù)單位,若為實(shí)數(shù),則a的值為.解析(1)復(fù)數(shù)z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i,所以=-3-4i,所以復(fù)數(shù)的虛部為-4.故選D.(2)解法一:因?yàn)?為實(shí)數(shù),所以-=0,解得a=-2.解法二:令=t(tR),則a-i=t(2+i)=2t+ti,所以解得a=-2.答案(1)D(2)-2方法2復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解題方法1.利用復(fù)數(shù)

7、相等和相關(guān)性質(zhì)將復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的常用方法.2.在復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算中,加、減、乘運(yùn)算按多項(xiàng)式運(yùn)算法則進(jìn)行,除法則需分母實(shí)數(shù)化.3.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度:(1)(1i)2=2i;=i;=-i.(2)-b+ai=i(a+bi)(a,bR).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN.例2(1)(2019廣東江門(mén)第一次模擬,2)已知i是虛數(shù)單位,則=()A.iB.-iC.1D.-1(2)已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=i(i是虛數(shù)單位),則z=()A.+iB.-iC.+iD.-i解析(1)=i,=i2 019=(i4)504i3=-i.故選B.(2)解法一:由