(浙江版)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.5導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用(講)

1、內(nèi)部文件，版權(quán)追溯專題3.5 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【考綱解讀】考 點(diǎn)考綱內(nèi)容5年統(tǒng)計(jì)分析預(yù)測導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用了解函數(shù)極值的概念及函數(shù)在某點(diǎn)取到極值的條件，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.2023浙江文科21，理科8，22；2023浙江文科21，理科22；2023浙江卷7，20. 1.以研究函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間、極值最值等問題為主，與不等式、函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象相結(jié)合； 2.單獨(dú)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的某一性質(zhì)以小題呈現(xiàn)，綜合研究函數(shù)的性質(zhì)以大題呈現(xiàn)；3.適度關(guān)注生活中的優(yōu)化問題.3.備考重點(diǎn)： (1) 熟練掌握導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四那么

2、運(yùn)算法那么是根底；(2) 熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值的根本方法，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)方程思想等，分析問題解決問題.【知識(shí)清單】1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)圖象的識(shí)別主要利用函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性以及函數(shù)值的符號(hào)等.解決此類問題應(yīng)先觀察選項(xiàng)的不同之處，然后根據(jù)不同之處研究函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而得到正確的選項(xiàng).如該題中函數(shù)解析式雖然比擬復(fù)雜，但借助函數(shù)的定義域與函數(shù)的單調(diào)性很容易利用排除法得到正確選項(xiàng).對點(diǎn)練習(xí)：【2023浙江卷】函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如下圖，那么函數(shù)y=f(x)的圖像可能是【答案】D2與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題1方程

3、有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)2求極值的步驟：先求的根定義域內(nèi)的或者定義域端點(diǎn)的根舍去；分析兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：假設(shè)左側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)右側(cè)導(dǎo)數(shù)正，那么為極小值點(diǎn)；假設(shè)左側(cè)導(dǎo)數(shù)正右側(cè)導(dǎo)數(shù)負(fù)，那么為極大值點(diǎn).3求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值是統(tǒng)一的，極值是函數(shù)的拐點(diǎn)，也是單調(diào)區(qū)間的劃分點(diǎn)，而求函數(shù)的最值是在求極值的根底上，通過判斷函數(shù)的大致圖像，從而得到最值,大前提是要考慮函數(shù)的定義域.4函數(shù)的零點(diǎn)就是的根，所以可通過解方程得零點(diǎn)，或者通過變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo).對點(diǎn)練習(xí)：【2023新課標(biāo)1卷】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：.【答案】【解析】

4、i設(shè),那么,只有一個(gè)零點(diǎn)ii設(shè),那么當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增又,取滿足且,那么,故存在兩個(gè)零點(diǎn)不妨設(shè),由知,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即由于,而,所以設(shè),那么所以當(dāng)時(shí),而,故當(dāng)時(shí),從而,故3與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題不等式的恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變別離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理 ：對點(diǎn)練習(xí)：設(shè)，函數(shù)，假設(shè)對任意的，都有成立，那么的取值范圍為【答案】4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題無論不等式的證明還是解不等式，

5、構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性和最值，到達(dá)解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問題，是解題的法寶.對點(diǎn)練習(xí)：【2023課標(biāo)II，理】函數(shù)，且。(1)求；(2)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且?！敬鸢浮?1)；(2)證明略?！窘馕觥?由1知 ，。設(shè)，那么。當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ，所以 在 單調(diào)遞減，在 單調(diào)遞增。【考點(diǎn)深度剖析】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，它的突出作用是用于研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、函數(shù)的零點(diǎn)等從題型看，往往有一道選擇題或填空題，有一道解答題.其中解答題難度較大，常與不等式的證明、方程等結(jié)合考查，且有綜合化更強(qiáng)的趨勢【重點(diǎn)難點(diǎn)突破】

6、考點(diǎn)1 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)【1-1】【2023河南開封10月月考】函數(shù)y=4cosx-e|x|e為自然對數(shù)的底數(shù)的圖象可能是 ABC D:【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，排除B、D，假設(shè)時(shí)，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，那么，函數(shù)在上為減函數(shù)，選A.【1-2】【2023全國卷】函數(shù)y2x2e|x|在2,2的圖象大致為()【答案】D【領(lǐng)悟技法】導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：假設(shè)導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，那么為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【觸類旁通】【變式一】【2023江西新余二?！繉⒑瘮?shù)圖象上各點(diǎn)的

7、橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍縱坐標(biāo)不變后得到的圖象，設(shè)，那么的圖象大致為 【答案】A【變式二】【2023麗水模擬】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如下圖，那么以下結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)【答案】D【解析】由題圖，當(dāng)x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)2x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值考點(diǎn)2 與函數(shù)

8、零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題【2-1】【2023浙江杭州二?！吭O(shè)方程，為自然對數(shù)的底數(shù)，那么 A. 當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根 B. 當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根C. 當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根 D. 當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根【答案】D【2-2】【2023課標(biāo)3，理11】函數(shù)有唯一零點(diǎn)，那么a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點(diǎn)滿足，設(shè)，那么，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，設(shè) ，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值 ，【領(lǐng)悟技法】1.確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問題：可利用數(shù)形結(jié)合的方法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象. 2.方程的有解問題

9、就是判斷是否存在零點(diǎn)的問題，可參變別離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題處理.3.與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍問題，往往利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)，并結(jié)合特殊點(diǎn)，從而判斷函數(shù)的大致圖像，討論其圖象與 軸的位置關(guān)系，進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍；或通過對方程等價(jià)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題【觸類旁通】【變式一】【2023湖南長沙二?！亢瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，那么對任意，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有 A. 3個(gè) B. 4個(gè) C. 6個(gè) D. 9個(gè)【答案】A【解析】當(dāng)時(shí),由此可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，,且,數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，而時(shí)，,所以的圖象如圖，令,那么，由圖可知，當(dāng)時(shí)方程至多3個(gè)根，當(dāng)時(shí)方程沒

10、有根，而對任意，至多有一個(gè)根，從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至多有3個(gè).【變式二】【2023安徽阜陽二?！亢瘮?shù)是自然對數(shù)的底數(shù) .1當(dāng)是，求證：；2假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】見解析;試題解析：，.得：且在上單增，在上單減故等價(jià)于在上有唯一極大值點(diǎn)得：故令，那么又在上單增，由，得綜上，考點(diǎn)3 與不等式恒成立、有解、無解等問題有關(guān)的參數(shù)范圍問題【3-1】假設(shè)不等式對恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】所以在上是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以，所以.(2)令，那么，因?yàn)?，所以，所以易知，所以在上是增函?shù).易知當(dāng)時(shí)，故在上無最小值，所以在上不能恒成立.綜上所述，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【3-2】函數(shù)1求在

11、上的最小值；2假設(shè)關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】1 ；2.【解析】假設(shè)，的最小值為，4分假設(shè)，的最小值為，綜上，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)，的最小值為2由1知，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，且在上，又，那么又時(shí)，由不等式得或，而解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；時(shí)，由不等式得，解集為，整數(shù)解有無數(shù)多個(gè)，不合題意；時(shí)，由不等式得或，解集為無整數(shù)解，假設(shè)不等式有兩整數(shù)解，那么，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是【領(lǐng)悟技法】含參數(shù)的不等式恒成立、有解、無解的處理方法：的圖象和圖象特點(diǎn)考考慮；構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為的最值處理；參變別離法，將不等式等價(jià)變形為，或，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值. 【觸類

12、旁通】【變式一】函數(shù)，假設(shè)存在，使得不等式成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為 A BC D【答案】C【解析】【變式二】【2023福建三明5月質(zhì)檢】函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，求證：過點(diǎn)有三條直線與曲線相切；當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】I詳見解析；II.【解析】解法一：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線相切，其切點(diǎn)為，那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，設(shè)，在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻€(gè)根，所以方程恰有三個(gè)根，故過點(diǎn)有三條直線與曲線相切1當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立在上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，從而當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，即于是當(dāng)時(shí)，2當(dāng)時(shí)，令，得，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時(shí)，從

13、而當(dāng)時(shí)，解法二：當(dāng)時(shí)，設(shè)直線與曲線相切，其切點(diǎn)為，那么曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，設(shè)，那么，令得當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：+0-0+極大值極小值考點(diǎn)4利用導(dǎo)數(shù)證明、解不等式問題【4-1】假設(shè)的定義域?yàn)?，恒成立，那么解集為A B C D【答案】B【解析】構(gòu)造函數(shù)，那么，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，又，所以解集為.【4-2】【2023浙江溫州二?！縡(1當(dāng)x0，當(dāng)0|x|【答案】1詳見解析；2詳見解析.【解析】試題解析：證明：1考慮函數(shù)(x)=那么(x)從而故(x)在(-,0)因此對任意xR，都有即ex-1-x所以當(dāng)x2由可知當(dāng)0|x|ln即當(dāng)0 xg(x)在區(qū)間D上恒成立的根

14、本方法是構(gòu)造函數(shù)h(x)f(x)g(x)，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，或者函數(shù)的最值證明函數(shù)h(x)0，其中一個(gè)重要技巧就是找到函數(shù)h(x)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問題的一個(gè)突破口.2.利用導(dǎo)數(shù)解不等式的根本方法是構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性 ，從而解不等式的方法.【觸類旁通】【變式一】【2023廣東佛山二?！吭O(shè)函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù).假設(shè)是上的增函數(shù)，求的取值范圍；假設(shè)，證明：.【答案】;見解析.【解析】試題分析：I由于函數(shù)單調(diào)遞增，故導(dǎo)函數(shù)恒為非負(fù)數(shù)，別離常數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由此得到的取值范圍；II將原不等式，轉(zhuǎn)化為，令，求出的導(dǎo)數(shù)，對分成兩類，討論函數(shù)的最小值，由此

15、證得，由此證得.試題解析：令，是上的減函數(shù)，又，故1是的唯一零點(diǎn)，當(dāng)，遞增；當(dāng)，遞減；故當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，所以，即的取值范圍是.令，以下證明當(dāng)時(shí)，的最小值大于0.求導(dǎo)得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，令，那么，又，取且使，即，那么，因?yàn)?，故存在唯一零點(diǎn)，即有唯一的極值點(diǎn)且為極小值點(diǎn)，又，【變式二】【2023課標(biāo)3，理21】函數(shù).1假設(shè) ，求a的值；2設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n，求m的最小值.【答案】(1)；(2)【解析】【易錯(cuò)試題常警惕】易錯(cuò)典例：函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；設(shè)，假設(shè)對任意，均存在，使得，求的取值范圍易錯(cuò)分析：無視定義域致誤；對全稱量詞和特稱量詞理解不深刻致誤正確解析：. 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間

16、上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是. 當(dāng)時(shí)， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故.由可知，所以， 綜上所述，,溫馨提醒：(1)研究函數(shù)問題應(yīng)豎立定義域優(yōu)先原那么；(2) 任意，指的是區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)自變量；存在，指的是區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)自變量，故此題是恒成立問題和有解問題的組合.【學(xué)科素養(yǎng)提升之思想方法篇】化抽象為具體數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)和“以數(shù)輔形兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來說明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比方應(yīng)用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和標(biāo)準(zhǔn)嚴(yán)密性來說明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來精確地說明曲線的幾何性質(zhì).數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意