第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用(優(yōu)秀經(jīng)典公開(kāi)課比賽課件)

1、第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 返回目錄 1.函數(shù)的單調(diào)性 在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x)在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0. f(x)0 f(x)為 ; f(x)0 f(x)為 .減函數(shù) 增函數(shù) 考點(diǎn)分析返回目錄 2.函數(shù)的極值 (1)判斷f(x0)是極值的方法 一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí), 如果在x0附近的左側(cè), 右側(cè) ,那么f(x0)是極大值. 如果在x0附近的左側(cè) ,右側(cè) ,那么f(x0)是極小值. (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟 求f(x); 求方程 的根;f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)=0返回目錄 考察在每個(gè)根x0附近,從左到右導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號(hào)如何變化.如果左

2、正右負(fù),那么f(x)在x0處取得 ;如果左負(fù)右正,那么f(x)在x0處取得 . 3.函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a,b上必有最大值與最小值. (2)若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則 為函數(shù)的最小值, 為函數(shù)的最大值;若函數(shù)f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則 為函數(shù)的最大值, 為函數(shù)的最小值.極小值 極大值 f(a) f(b)f(a) f(b) (3)設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),求y=f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下: 求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的 ; 將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一

3、個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值.返回目錄 極值 返回目錄 考點(diǎn)一 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 已知f(x)=ex-ax-1.(1)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若f(x)在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;(3)是否存在a,使f(x)在(-,0上單調(diào)遞減,在 0,+)上單調(diào)遞增?若存在,求出a的值;若不存 在,說(shuō)明理由.題型分析返回目錄 【解析】 f(x)=ex-a. (1)若a0,f(x)=ex-a0恒成立,即f(x)在R上遞增. 若a0,ex-a0,exa,xlna. f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+). (2)f(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增,f(x)0在R上恒成立.ex-a0,即aex在R上恒成立

4、.a(ex)min,又ex0,a0. 【分析】 (1)通過(guò)解f(x)0求單調(diào)遞增區(qū)間; (2)轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求a; (3)假設(shè)存在a,則x=0為極小值點(diǎn),或利用恒成立問(wèn)題.返回目錄 (3)解法一:由題意知ex-a0在(-,0上恒成立.aex在(-,0上恒成立.ex在(-,0上為增函數(shù).x=0時(shí),ex最大為1.a1.同理可知ex-a0在0,+)上恒成立.aex在0,+)上恒成立.a1,a=1.解法二:由題意知,x=0為f(x)的極小值點(diǎn).f(0)=0,即e0-a=0,a=1.返回目錄 【評(píng)析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便,但應(yīng)注意f(x)0(或f(x)0)僅是f(x)在某

5、個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)(或減函數(shù))的充分條件,在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在(a,b)上遞增(或遞減)的充要條件應(yīng)是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,這就是說(shuō),函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f(x0)=0,甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處f(x0)=0,只要這樣的點(diǎn)不能充滿(mǎn)所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間,因此,在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)(或減函數(shù))求參數(shù)的取值范圍時(shí),應(yīng)令f(x)0或f(x)0恒成立,解出參數(shù)的取值范圍(一般可用不等式恒成立理論求解),然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去,

6、若f(x)不恒為0,則由f(x)0或f(x)0恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.對(duì)應(yīng)演練設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?，?且f(x)= (a1).(1)當(dāng)-1a0時(shí),由f(x)0時(shí)，由f（x）=0,解得x= .f（x）,f(x)隨x的變化情況如下表：x(-1, )f（x）-0+f（x）極小值返回目錄 從上表可知 當(dāng)x(-1, )時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)在( ,+)上單調(diào)遞增.綜上所述: 當(dāng)-1a0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1,+ )上單調(diào)遞減. 當(dāng)a0時(shí),函數(shù)f(x)在(-1, )上單調(diào)遞減,f(x)在( ,+

7、)上單調(diào)遞增.返回目錄 考點(diǎn)二 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1，x=1時(shí) 取得極值，且極大值比極小值大4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的極大值和極小值. 【分析】求出f(x)，依題意x=-1，x=1是 f(x)=0的兩根，得到a,b的方程，并判斷出x=-1及x=1時(shí)所取的極值是極大值還是極小值，從而建立y極大 y 極小=4的方程.聯(lián)立解出a,b的值和極大、極小值.【解析】 (1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定義域?yàn)镽.f(x)=5x4+3ax2+b.x=1時(shí)有極值,5+3a+b=0.b=-3a-5.將代入f(x)得f(x)=5x4+3a

8、x2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).f(x)僅在x=1時(shí)有極值,5x2+(3a+5)0對(duì)任意x成立.3a+50,a .返回目錄 返回目錄 考查f(x),f(x)隨x的變化情況:由此可知，當(dāng)x=-1時(shí)取得極大值;當(dāng)x=1時(shí)取得極小值.f(-1)-f(1)=4.即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4.整理得a+b=-3. a=-1, b=-2.x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+) +0-0+極大值極小值由解得 【評(píng)析】此題屬于逆向思維，仍可根據(jù)求函數(shù)極值步驟來(lái)求，但要

9、注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：極值點(diǎn)為f(x)=0的根，利用這一關(guān)系，建立字母系數(shù)的方程，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為含字母系數(shù)的方程或方程組問(wèn)題，通過(guò)解方程或方程組確定字母系數(shù).返回目錄 （2）a=-1，b=-2，f(x)=x5-x3-2x+1.f(x)的極大值f(x)極大=f(-1)=3;f(x)的極小值f(x)極小=f(1)=-1.返回目錄 對(duì)應(yīng)演練已知函數(shù)f(x)= +aln(x-1),其中nN*,a為常數(shù).(1)當(dāng)n=2時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;(2)當(dāng)a=1時(shí),證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)x2時(shí),有f(x)x-1.(1)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x1,當(dāng)n=2時(shí),f(x)= +aln(x-1)

10、,所以f(x)= .當(dāng)a0時(shí),由f(x)=0得x1=1+ 1,x2=1- 1,此時(shí)f(x)= .當(dāng)x(1,x1)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增.返回目錄 返回目錄 （2）證明:證法一:因?yàn)閍=1,所以f(x)= +ln(x-1).當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),令g(x)=x-1- -ln(x-1),則g(x)=1+= 0(x2).所以當(dāng)x2,+)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)a0時(shí),f(x)0時(shí),f(x)在x=1+ 處取得極小值,極小值為f(1+ )= (1+ln ).當(dāng)a0時(shí)，f(x)無(wú)極值.又g(2)=0,因此g(x)=x-1- -ln(x-1)g(2) =0恒成立，所以f(x)x-1成立.當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證

11、f(x)x-1,由于 0，所以當(dāng)x2時(shí)，恒有h(x)0,即ln(x-1)0).試問(wèn)當(dāng)x取何值時(shí)，容積V有最大值?返回目錄 V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x. t,0 x .函數(shù)V=V(x)=4x(a-x)2的定義域?yàn)?.顯然 0,得0 xa，此時(shí)V(x)為增函數(shù)；由V0，得 xa，此時(shí)V（x）為減函數(shù).返回目錄 返回目錄 當(dāng) ，即t 時(shí)，在x= 時(shí)，V有最大值 a3;當(dāng) ,即0t 時(shí)，在x= 時(shí)，V有最大值 .返回目錄 1.注意單調(diào)函數(shù)的充要條件,尤其對(duì)于已知單調(diào)性求參數(shù)值(范圍)時(shí),隱含恒成立思想. 2.求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小. 3.在實(shí)際問(wèn)題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定最大