任意角概念和弧度制

1、關(guān)于任意角的概念與弧度制第1頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四任意角的三角函數(shù)之一角的概念的推廣第2頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四2.在數(shù)學(xué)上，我們規(guī)定，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角。1.角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形。 這樣，鐘表的指針在旋轉(zhuǎn)時所形成的角總是負(fù)角。一、角的相關(guān)概念：第3頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四3.在圖1.6中，一條射線的端點是O，它從起始位置OA按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB，形成了一個正角，記作。點O是角的頂點，

2、射線OA、OB分別是的始邊、終邊。 4.如果一條射線它從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，我們稱這樣形成的角為零度角，又稱零角，記作=0 第4頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四角應(yīng)包括正角、負(fù)角和零角 第5頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四為了研究問題方便，我們常在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的正半軸重合圖1-9中的30， 390，-330角，都是第一象限角；圖1-10中的300，-60角，都是第四象限角；585角是第三象限角。 角的終邊(除端點外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角

3、二、象限角終邊在坐標(biāo)軸的角，稱為象限界角，它不屬于象限角第6頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四 所有與角終邊相同的角，連同角在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合 S=|=+k360，kZ，即任一與角終邊相同的角，都可以表示成與周角的整數(shù)倍的和 注意以下幾點（1）kZ ;（2）是任意角；（3）終邊相同的角不一定是等角；但相等的角一定是終邊相同的角；（4）終邊相同的角有無數(shù)個，他們相差360的整數(shù)倍；（5）k360與之間為“+”，k360- 看作k360+（-）三、終邊相同的角第7頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四例1 判定下列各角是第幾象限角(1) -60； (2

4、)585； (3) -95012 例3 在直角坐標(biāo)系中，寫出終邊在y軸上的角的集合(用0到360的角表示) 例2 設(shè)P =銳角，Q =小于90的角，M =第一象限角，S = 小于90的正角，則下列六個關(guān)系： P=Q P=M P=S PQ PM QM中，正確的有 個？（1）四（3）-95012=-2360+（-23012）（2）58012=360+225，三 （3）=| =n180+90，nZ第8頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四例7 設(shè)為第三象限角，求 所在象限，并畫圖表示在該象限的什么區(qū)域內(nèi).例6 若是第四象限角，則180-是第幾象限角？例5 寫出與60角終邊相同的角

5、的集合S，并把S中適合不等式-360720的元素寫出來： 例4 在0- 360間，找出下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個象限的角.（1）-140 （2）670 （3）-85036第9頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四任意角的三角函數(shù)之二弧度制在物理學(xué)和日常生活中，一個量，常常需要用不同的方法進(jìn)行度量，不同的度量方法可以滿足我們的不同需要。第10頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四周角，將它分為360等分，把一等分確定為1個單位，即1度角。 當(dāng)半徑不同時（如圖1-13），同樣的圓心角所對的弧長與半徑之比是常數(shù)。我們稱這個常數(shù)為該角度的弧度值。 我們

6、規(guī)定，在單位圓中長為1的弧所對應(yīng)的圓心角稱為1弧度角，它的單位符號是rad，讀作弧度。 第11頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四一般地，任一正角的弧度數(shù)都是一個正數(shù)；任一負(fù)角的弧度數(shù)都是一個負(fù)數(shù)；零角的弧度數(shù)是0。這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制。 【角度與弧度的互化】 1. 360=2rad，180=rad .第12頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四例1（1）將11230化為弧度；（2）將 弧度化為度；例2、把下列角化為2k +（0 2 ，k Z）的形式.（1） ；（2） ；并指出所在象限.例3、用弧度制表示第一第四象限的角的集合

7、第13頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表 度015 30 45 60 75 90 120 135 150 弧度0度180210 225 240 270 300 315 330 360 弧度第14頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四設(shè)R是圓的半徑，l是所對的弧長，在使用弧度制時，圓心角的弧度值通常也用來表示，由弧度的定義可知，角的弧度數(shù)的絕對值滿足： 即 l=|R 弧長等于弧所對的圓心角弧度數(shù)的絕對值與半徑的積。 角度制時弧長公式為： 其中n表示角度數(shù)。 弧度制時弧長公式為：第15頁，共19頁，2022年，5月20日，18

8、點59分，星期四例4、利用弧度制證明扇形面積公式S= lR，其 中l(wèi)是扇形的弧長，R是圓的半徑。 證明：如圖1-15，因為圓心角為1的扇形的面積為 而弧長為l的扇形的圓心角的大小為 rad所以扇形的面積為 第16頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四幾個需要注意的問題：在表示角的集合時，一定要使用統(tǒng)一單位（統(tǒng)一制度），只能用角度制或弧度制的一種，絕對不能混用；用弧度制表示終邊相同的角 2k + ( k Z) 時，是的偶數(shù)倍，而不是 的整數(shù)倍；1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該?。┑拇笮。? 是圓的 1/360 所對的圓心角（或該?。┑拇笮。徊还苁且浴盎《取边€是以“度”為單位的角的大小都是一個與半徑的大小無關(guān)的定值；用弧度單位表示角的大小時，“弧度”兩字可以省略不寫，如sin2理解為sin（2弧度）；一般弧度表示時，常寫成多少 的形式； 但以度為單位，不能省略；第17頁，共19頁，2022年，5月20日，18點59分，星期四例5、 根據(jù)下列已知條件，解決扇形的有關(guān)問題（1） 已知扇形的周長為10cm，面積為4cm2，求扇形中心角的弧度數(shù)。（2） 已知一扇形的弧為72，半徑為20 cm，求扇形