專訓1利用矩形的性質巧解折疊問題

1、 專訓1利用矩形的性質巧解折疊問題名師點金：折疊問題往往通過圖形的折疊找出線段或角與原圖形之間的聯(lián)系，從而得到折疊部分與原圖形或其他圖形之間的關系，即折疊前后的圖形全等；在計算時，常常通過設未知數列方程求解 利用矩形的性質巧求折疊中的角1當身邊沒有量角器時，怎樣得到一些特定度數的角呢？動手操作有時可以解“燃眉之急”如圖，已知矩形紙片ABCD(矩形紙片要足夠長)，我們按如下步驟操作可以得到一個特定的角：(1)以點A所在直線為折痕，折疊紙片，使點B落在邊AD上，折痕與BC交于點E；(2)將紙片展平后，再一次折疊紙片，以點E所在直線為折痕，使點A落在BC上，折痕EF交AD于F，求AFE的度數(第1題

2、) 利用矩形的性質巧求折疊中線段的長2【2016臺灣】圖為長方形紙片ABCD，AD26，AB22，直線L，M皆為長方形的對稱軸今將長方形紙片沿著L對折后，再沿著M對折，并將對折后的紙片左上角剪下直角三角形，形成一個五邊形EFGHI，如圖，最后將圖的五邊形展開后形成一個八邊形，如圖，且八邊形的每一邊長恰好均相等(第2題)(1)若圖中的HI長度為x，請用x分別表示剪下的直角三角形的勾長和股長(2)請求出圖中八邊形的一邊長的數值，并寫出完整的解題過程 利用矩形的性質巧證折疊中線段的關系3如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點C落在點E處，BE交AD于F，連接AE.求證：(1)BFDF；(2)A

3、EBD.(第3題) 利用矩形的性質巧求折疊中線段的比4如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點C落在點A處，點D落在點E處，直線MN交BC于點M，交AD于點N.(1)求證：CMCN；(2)若CMN的面積與CDN的面積比為31，求eq f(MN,DN)的值(第4題)答案(第1題)1解：設折疊后，點A的對應點為點A，點B的對應點為點B，如圖，由折疊的性質得AEFAEF，BEAAEB，BABE，BEBE，AEEA.BABABE90，BEB90.BEAAEB45.又BEAAEFFEA180，F(xiàn)EA67.5.ADBC，AFEFEA67.5.2解：(1)分別延長HI與FE，相交于點N，如圖HNeq

4、 f(1,2)AD13，NFeq f(1,2)AB11，HIEFx，NIHNHI13x，NENFEF11x.剪下的直角三角形的勾長為11x，股長為13x.(第2題) (2)在RtENI中，NI13x，NE11x，EIeq r(NI2NE2)eq r(2x248x290).八邊形的每一邊長恰好均相等，EI2HI2xeq r(2x248x290)，整理得：x224x1450，(x5)(x29)0，解得：x5，或x29(舍去)EI2510.故八邊形的邊長為10.3證明：(1)由折疊的性質可知，F(xiàn)BDCBD.因為在矩形ABCD中，ADBC，所以FDBCBD.所以FBDFDB.所以BFDF.(2)因為四

5、邊形ABCD是矩形，所以ABDC，ADBC.由折疊的性質可知，DCEDAB，BCBEAD.又因為AEAE，所以AEBEAD.所以AEBEAD.所以AEBeq f(1,2)(180AFE)由(1)知DBEBDF，所以DBEeq f(1,2)(180BFD)而AFEBFD，所以AEBDBE.所以AEBD.4(1)證明：由折疊的性質可得點A，C關于直線MN對稱，ANMCNM.四邊形ABCD是矩形，ADBC.ANMCMN.CMNCNM.CMCN.(2)解：過點N作NHBC于點H，則四邊形NHCD是矩形，HCDN，NHDC.CMN的面積與CDN的面積比為31，eq f(SCMN,SCDN)eq f(f(1,2)MCNH,f(1,2)DNNH)eq f(MC,DN)3.MC3DN3HC.MH2HC.設DNx，則HCx，MH2x.CM3xCN.在RtCDN中，DCeq r(CN2DN2)2eq