每日一練(2011.7.29三道特色數(shù)列題目)

1、三道特色數(shù)列題目1、設(shè)S111111111. 1112222232324222 ，則不大于 S120082009的最大整數(shù) s等于 ()A 2007B 2008C 2009D 30002、設(shè)an 是正項(xiàng)等比數(shù)列，令Snlg a1lg a2.lg an ,nN * . 如果存在互異正整數(shù)m、n ，使得 SnSm ，則 Sn m =_3、（本題滿分14 分）已知數(shù)列 an ， bn 中，對(duì)任何正整數(shù)n 都有：a1b1a2b2a3b3an 1bn 1anbn(n1) 2n1（ 1）若數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為 1和公比為 2 的等比數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ 2）若數(shù)列 an 是等差數(shù)列，數(shù)列 b

2、n 是否為等比數(shù)列？若是，請(qǐng)求出通項(xiàng)公式，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）按照（ 1）的條件，求證：n13i 1 ai bi21、選 B解析： 觀察111，設(shè) Tn111，則：20092n2n120082222n2n222n n 1 1 n n 1 1Tnn2 n 1n 1n 1n2n 12n22n n 1n 1111( 11)n n1nn1S1 1. 111111120082008200822.200820092008200932009所以不大于 S 的最大整數(shù) s等于 20082、 0解析 由 an是正項(xiàng)等比數(shù)列，可知 lg an為等差數(shù)列，又因?yàn)镾n Sm ，根據(jù)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式可得 S

3、=0n m、解：（1）依題意，數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為bn2n 1，由 a1b1a2 b2a3b3an 1bn 1an bn(n 1) 2n1，可得 a1b1a2b2a3b3an 1bn 1(n 2) 2n 11 n 2 ，兩式相減可得 abn 2n 1 ，即 an .nnn當(dāng) n1時(shí)， a11，從而對(duì)一切 nN，都有 ann .所以數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式是 an n .n（2）：設(shè)等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為 a1 ，公差為 d ，則 ana1 (n 1)d .由（ 1）得， anbnn 2n 1,即bna1n 2n 1n2(n1)dbnn 2n 12n 1(ad)a1dnd1d要使 bn 1n是

4、一個(gè)與 n 無(wú)關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a1d0bn即：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 an 的滿足 a1d02n1時(shí)，數(shù)列 bn 是等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式是 bn；d當(dāng)?shù)炔顢?shù)列 an 的滿足 a1 d 時(shí)，數(shù)列 bn 不是等比數(shù)列（3）證法 1：由（ 1）知 anbnn 2n 1.n111111i 1 aibi1122 3224 23n 2n 1n1111111 n3i 1 aibi11222223n2 22 21n21111 (2)14811211131442n131證法 2 ：證明其加強(qiáng)命題：ai bi22ni1證明： n1 時(shí)，左邊 =1 ，右邊 =1，不等式成立；假設(shè) nk 時(shí)，不等式成立 .則 nk1 時(shí)，k

5、11k11311i 1 aibii 1 k 2k 1(k 1)2k2 2k(k 1)2k31131；22k2k22k 12n131n成立 .由知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式i1 ai bi22n13綜上，知i 1 ai bi2證法 3 ：由（ 1）知 anbn n 2n 1.當(dāng) n3時(shí)， 2nCn0Cn1Cnn1Cnn2(Cn0Cn1 )2n 2 2n ，2n 1 n11n 2n 122 n 2n111111114 3當(dāng) n 3 時(shí)，4ni 1 ai bi14242622n 2113 2413又當(dāng) n1時(shí)，1a1b1，2當(dāng) n2時(shí)， 111153，a1b1a2b24 4 2n13 .綜上，對(duì)一切自然

6、數(shù)n ，都有i 1aibi2出師表兩漢：諸葛亮先帝創(chuàng)業(yè)未半而中道崩殂， 今天下三分， 益州疲弊， 此誠(chéng)危急存亡之秋也。 然侍衛(wèi)之臣不懈于內(nèi)，忠志之士忘身于外者，蓋追先帝之殊遇，欲報(bào)之于陛下也。誠(chéng)宜開(kāi)張圣聽(tīng)，以光先帝遺德，恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄，引喻失義，以塞忠諫之路也。宮中府中，俱為一體；陟罰臧否，不宜異同。若有作奸犯科及為忠善者，宜付有司論其刑賞，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使內(nèi)外異法也。侍中、侍郎郭攸之、費(fèi)祎、董允等，此皆良實(shí)，志慮忠純，是以先帝簡(jiǎn)拔以遺陛下：愚以為宮中之事，事無(wú)大小，悉以咨之，然后施行，必能裨補(bǔ)闕漏，有所廣益。將軍向?qū)?，性行淑均，曉暢軍事，試用于昔日，先帝稱(chēng)之曰“能

7、”，是以眾議舉寵為督：愚以為營(yíng)中之事，悉以咨之，必能使行陣和睦，優(yōu)劣得所。親賢臣，遠(yuǎn)小人，此先漢所以興隆也；親小人，遠(yuǎn)賢臣，此后漢所以?xún)A頹也。先帝在時(shí)，每與臣論此事，未嘗不嘆息痛恨于桓、靈也。侍中、尚書(shū)、長(zhǎng)史、參軍，此悉貞良死節(jié)之臣，愿陛下親之、信之，則漢室之隆，可計(jì)日而待也。臣本布衣，躬耕于南陽(yáng)，茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顧臣于草廬之中，咨臣以當(dāng)世之事，由是感激，遂許先帝以驅(qū)馳。后值傾覆，受任于敗軍之際，奉命于危難之間，爾來(lái)二十有一年矣。先帝知臣謹(jǐn)慎，故臨崩寄臣以大事也。受命以來(lái)，夙夜憂嘆，恐托付不效，以傷先帝之明；故五月渡瀘，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，當(dāng)獎(jiǎng)率三軍，北定中原，庶竭駑鈍，攘除奸兇，興復(fù)漢室，還于舊都。此臣所以報(bào)先帝而忠陛下之職分也。至于斟酌損益，進(jìn)盡忠言，則攸之、