《大學(xué)物理》畢奧-薩伐爾定律

1、8-3 畢奧薩伐爾定律1. 畢奧薩伐爾（Biot-Savart）定律 載流導(dǎo)線中的電流為I，導(dǎo)線半徑比到觀察點(diǎn)P的距離小得多，即為線電流。在線電流上取長(zhǎng)為dl的定向線元，規(guī)定 的方向與電流的方向相同， 為電流元。 電流元在給定點(diǎn)所產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小與Idl成正比，與到電流元的距離平方成反比，與電流元和矢徑夾角的正弦成正比。畢奧薩伐爾（Biot-Savart）定律磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量式：Biot-Savart定律的微分形式Biot-Savart定律的積分形式其中0=410-7NA-2，稱為真空中的磁導(dǎo)率。畢奧薩伐爾（Biot-Savart）定律2. 運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)電 流電荷運(yùn)動(dòng)形成磁 場(chǎng)激發(fā)激發(fā)

2、 設(shè)電流元 ，橫截面積S，單位體積內(nèi)有n個(gè)定向運(yùn)動(dòng)的正電荷, 每個(gè)電荷電量為q，定向速度為v。 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橫截面S的電量即為電流強(qiáng)度I:電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度IIdlP運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng) 設(shè)電流元內(nèi)共有dN個(gè)以速度v運(yùn)動(dòng)的帶電粒子： 每個(gè)帶電量為q的粒子以速度v通過(guò)電流元所在位置時(shí)，在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為： 其方向根據(jù)右手螺旋法則， 垂直 、 組成的平面。q為正， 為 的方向；q為負(fù)， 與 的方向相反。 +q0運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)矢量式： 運(yùn)動(dòng)電荷除激發(fā)磁場(chǎng)外，同時(shí)還在其周圍空間激發(fā)電場(chǎng)。運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)電荷所激發(fā)的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是緊密聯(lián)系的。運(yùn)動(dòng)電荷的磁場(chǎng)IIr用矢量形式表示的畢奧薩伐爾

3、定律adlI應(yīng)用畢奧-薩伐爾定律求磁場(chǎng)的解題步驟（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。（2）劃分電流元，寫出任一電流元在空間某點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB的表達(dá)式。（4）按 ，求出 B 的各坐標(biāo)的分量，最后得到（3）將dB沿所建立的坐標(biāo)系分解，寫出其對(duì)應(yīng)的分量式。畢奧薩伐爾定律的應(yīng)用3.1 載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng) 設(shè)有長(zhǎng)為L(zhǎng)的載流直導(dǎo)線，通有電流I。計(jì)算與導(dǎo)線垂直距離為d的p點(diǎn)的磁感強(qiáng)度。取Z軸沿載流導(dǎo)線，如圖所示。 3. 畢奧-薩伐爾定律的應(yīng)用 所有dB的方向相同，所以P點(diǎn)的 的大小為：按畢奧薩伐爾定律有：載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)由幾何關(guān)系有：載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)考慮三種情況： (1)導(dǎo)線無(wú)限長(zhǎng)，即(2)導(dǎo)線半無(wú)限長(zhǎng)，場(chǎng)點(diǎn)與一

4、端的連線垂直于導(dǎo)線 (3)P點(diǎn)位于導(dǎo)線延長(zhǎng)線上，B=0載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)IB 電流與磁感強(qiáng)度成右螺旋關(guān)系半無(wú)限長(zhǎng)載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng) 無(wú)限長(zhǎng)載流長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁場(chǎng)*PIBX P點(diǎn)位于導(dǎo)線延長(zhǎng)線上，B=0該例題結(jié)論的意義：(1)可直接計(jì)算載流直導(dǎo)線、無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線及折線電流的磁場(chǎng)；(2)可計(jì)算以長(zhǎng)直電流為基礎(chǔ)的其它電流的磁場(chǎng)。IPABCIaI P 補(bǔ)充例題1：在一半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)半圓筒形金屬薄片中，沿長(zhǎng)度方向有電流I流過(guò)，且電流在橫截面上均勻分布。求半圓筒軸線上一點(diǎn)的磁場(chǎng)強(qiáng)度。 解 用長(zhǎng)直導(dǎo)線公式積分。Bx =2Rsin-IodBxyRd3.2 載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)在場(chǎng)點(diǎn)P的磁感強(qiáng)度大小為設(shè)有圓形

5、線圈L，半徑為R，通以電流I。 各電流元的磁場(chǎng)方向不相同，可分解為 和 ，由于圓電流具有對(duì)稱性，其電流元的 逐對(duì)抵消，所以P點(diǎn) 的大小為：載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)（1）在圓心處討論：（2）在遠(yuǎn)離線圈處載流線圈的磁矩引入載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)I圓電流的磁力線BI該例題結(jié)論的意義：（1）可計(jì)算均勻帶電體旋轉(zhuǎn)形成的磁場(chǎng)；（2） 可計(jì)算由圓形電流組合而成的復(fù)雜電流分布產(chǎn)生的磁場(chǎng)。oI（5）* Ad（4）*o（2R）I+R（3）oIIRo（1）x補(bǔ)充例題2：一均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密度為, 繞通過(guò)盤心且垂直于盤面的軸以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求盤心的磁場(chǎng)。解 將圓盤分為若干個(gè)圓環(huán)積分。

6、 帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的電流強(qiáng)度為環(huán)上的電量.oRqdIsrdr補(bǔ)充例題2一均勻帶電圓盤，半徑為R，電荷面密度為, 繞通過(guò)盤心且垂直于盤面的軸以的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，求盤心的磁場(chǎng)。解 將圓盤分為若干個(gè)圓環(huán)積分。 帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的電流強(qiáng)度為.oRqdIsrdr2 ro補(bǔ)充例題3一半徑為R的均勻帶電半圓弧，單位長(zhǎng)度上的電量為，繞其直徑所在的直線以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，求圓心o處的磁場(chǎng)。 解 半圓弧旋轉(zhuǎn)起來(lái)，象一個(gè)球面，可劃分為若干圓電流積分。RoxroRodxrp*注意到：r=Rsin, 于是Rodxr建立如圖所示的坐標(biāo)系。3.3 載流直螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng) 設(shè)螺線管的半徑為R，電流為I，每單位長(zhǎng)度有線圈n匝。R

7、 由于每匝可作平面線圈處理， ndl匝線圈可作Indl的一個(gè)圓電流，在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：R載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)R載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)討論： 實(shí)際上，LR時(shí)，螺線管內(nèi)部的磁場(chǎng)近似均勻，大小為（1）螺線管無(wú)限長(zhǎng)（2）半無(wú)限長(zhǎng)螺線管的端點(diǎn)圓心處載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)例 一個(gè)半徑R為的塑料薄圓盤，電量+q均勻分布其上，圓盤以角速度繞通過(guò)盤心并與盤面垂直的軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)。求圓盤中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：帶電圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)形成圓電流，取距盤心r處寬度 為dr的圓環(huán)作圓電流，電流強(qiáng)度：+o返回載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)例題8-4亥姆霍茲線圈在實(shí)驗(yàn)室中，常應(yīng)用亥姆霍茲線圈產(chǎn)生所需的不太強(qiáng)的均勻磁場(chǎng)。特征是由一對(duì)相同半

8、徑的同軸載流線圈組成，當(dāng)它們之間的距離等于它們的半徑時(shí)，試計(jì)算兩線圈中心處和軸線上中點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。從計(jì)算結(jié)果將看到，這時(shí)在兩線圈間軸線上中點(diǎn)附近的場(chǎng)強(qiáng)是近似均勻的。RO1RQ1PO2Q2R 解 設(shè)兩個(gè)線圈的半徑為R，各有N匝，每匝中的電流均為I，且流向相同（如圖）。兩線圈在軸線上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向均沿軸線向右，在圓心O1、O2處磁感應(yīng)強(qiáng)度相等，大小都是載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)兩線圈間軸線上中點(diǎn)P處，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)此外，在P點(diǎn)兩側(cè)各R/4處的O1、O2 兩點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度都等于載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)在線圈軸線上其他各點(diǎn)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的量值都介乎B0、BP 之間。由此可見，在P點(diǎn)附

9、近軸線上的場(chǎng)強(qiáng)基本上是均勻的，其分布情況約如圖所示。圖中虛線是每個(gè)圓形載流線圈在軸線上所激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)分布，實(shí)線是代表兩線圈所激發(fā)場(chǎng)強(qiáng)的疊加曲線。O1Q1PQ2O2載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)例題8-5在玻爾的氫原子模型中，電子繞原子核運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)圓電流，具有相應(yīng)的磁矩，稱為軌道磁矩。試求軌道磁矩與軌道角動(dòng)量L之間的關(guān)系，并計(jì)算氫原子在基態(tài)時(shí)電子的軌道磁矩。解 為簡(jiǎn)單起見，設(shè)電子繞核作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的半徑為r，轉(zhuǎn)速為n。電子的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一個(gè)圓電流，電流的量值為I=ne，圓電流的面積為S=r2，所以相應(yīng)的磁矩為載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)角動(dòng)量和磁矩的方向可分別按右手螺旋規(guī)則確定。因?yàn)殡娮舆\(yùn)動(dòng)方向與電流方向

10、相反，所以L和的方向恰好相反，如圖所示。上式關(guān)系寫成矢量式為這一經(jīng)典結(jié)論與量子理論導(dǎo)出的結(jié)果相符。由于電子的軌道角動(dòng)量是滿足量子化條件的，在玻爾理論中，其量值等于（h/2）d的整數(shù)倍。所以氫原子在基態(tài)時(shí)，其軌道磁矩為L(zhǎng)載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)它是軌道磁矩的最小單位（稱為玻爾磁子）。將e=1.60210-19 C，me= 9.1110-31kg ，普朗克常量h= 6.62610-34Js代入，可算得原子中的電子除沿軌道運(yùn)動(dòng)外，還有自旋，電子的自旋是一種量子現(xiàn)象，它有自己的磁矩和角動(dòng)量，電子自旋磁矩的量值等于玻爾磁子。載流圓線圈軸線上的磁場(chǎng)xmldI.BdS=B=2odxxI2o=I2ollnaab+=dS=ldxm.BdS=abxdxlI,+B 例1 在真空中有一無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線，試求：通過(guò)其右側(cè)矩形線框的磁通量。aab+ 例2 半