第6講 立體幾何（2022年高考真題）（解析版）

1、第6講 立體幾何 一、單選題1（2022全國高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可求出正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，再根據(jù)球心距，圓面半徑，以及球的半徑之間的關(guān)系，即可解出球的半徑，從而得出球的表面積【詳解】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為故選：A2（2022全國高考真題）南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為

2、海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意只要求出棱臺(tái)的高，即可利用棱臺(tái)的體積公式求出【詳解】依題意可知棱臺(tái)的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺(tái)的體積棱臺(tái)上底面積，下底面積，故選：C3（2022全國高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長(zhǎng)與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】 球的體積為，所以球的半徑

3、,設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.4（2022全國高考真題（文）在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A平面平面B平面平面C平面平面D平面平面【答案】A【解析】【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖，以

4、點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，則，設(shè)平面的法向量為， 則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.5（2022全國高考真題（文）已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先證明當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱

5、錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選：C6（2022全國高考真題（理）甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和若，則（）ABCD【答案】C【解析】【分析】設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式

6、即可得解.【詳解】解：設(shè)母線長(zhǎng)為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以.故選：C.7（2022全國高考真題（理）在長(zhǎng)方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則（）ABAB與平面所成的角為CD與平面所成的角為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面角的定義以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征即可求出【詳解】如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，解得對(duì)于A，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)椋?，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，與平面所成角為，而，所以D正確故選：D二、多選題8（2022

7、全國高考真題）如圖，四邊形為正方形，平面，記三棱錐，的體積分別為，則（）ABCD【答案】CD【解析】【分析】直接由體積公式計(jì)算，連接交于點(diǎn)，連接，由計(jì)算出，依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槠矫?，則，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，則，則，則，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確.故選：CD.9（2022全國高考真題）已知正方體，則（）A直線與所成的角為B直線與所成的角為C直線與平面所成的角為D直線與平面ABCD所成的角為【答案】ABD【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合，依次對(duì)所給選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直

8、線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，則，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確.故選：ABD三、解答題10（2022全國高考真題）如圖，是三棱錐的高，E是的中點(diǎn)(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可

9、得證；（2）過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；(1)證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面(2)解：過點(diǎn)作，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又，所以，則，所以，所以，所以，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以；所以設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍二面角，所以，所以故二面角的正弦值為；11（2022全國高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為(1)

10、求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，平面平面，求二面角的正弦值【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.(1)在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；(2)取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，

11、所以二面角的正弦值為.12（2022全國高考真題（文）如圖，四面體中，E為AC的中點(diǎn)(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積【答案】(1)證明詳見解析(2)【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.(1)由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.(2)依題意，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三

12、角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，解得，所以，所以.過作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.13（2022全國高考真題（理）如圖，四面體中，E為的中點(diǎn)(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值【答案】(1)證明過程見解析(2)與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.(1)因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫妫云矫妫?/p>

13、因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋允堑冗吶切?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?在中，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)椋?，所以，設(shè)與平面所成的角的正弦值為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.14（2022全國高考真題（文）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于