八年級數(shù)學上冊小專題八用分類討論求解等腰三角形多解問題(新版)新人教版【含答案】

1、 用分類討論求解等腰三角形多解問題(本專題部分習題有難度，請根據(jù)實際情況選做)類型1對對頂角和底角的分類討論方法歸納：對于等腰三角形，只要已知它的一個內(nèi)角的度數(shù)，就能算出其他兩個內(nèi)角的度數(shù)，如果題中沒有確定這個內(nèi)角是頂角還是底角，就要分兩種情況來討論.在分類時要注意：三角形的內(nèi)角和等于180；等腰三角形中至少有兩個角相等1等腰三角形是有一個角為52，它的一條腰上的高與底邊的夾角為多少度？12如果等腰三角形中的一個角是另一個角度數(shù)的一半，求該等腰三角形各內(nèi)角的度數(shù)類型2對腰長和底長的分類討論方法歸納：在解答已知等腰三角形邊長的問題時，當題目條件中沒有明確說明哪條邊是“腰”，哪條邊是“底”時,往往

2、要進行分類討論.判定的依據(jù)是：三角形的任意兩邊之和大于第三邊；兩邊之差小于第三邊.針對訓練若一個等腰三角形的三邊長均滿足(x2)(x4)=0,求此等腰三角形的周長.若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長.類型3對銳角、直角和鈍角三角形的分類討論方法歸納：根據(jù)等腰三角形頂角的大小可以將其分為銳角、直角和鈍角三角形不同的三角形其高、中線、垂直平分線的交點位置均不同，比如銳角三角形腰上的高在這個三角形的內(nèi)部；直角三角形腰上的高在頂角的頂點上；鈍角三角形腰上的高在這個三角形的外部，因此在解答時需要分類討論針對訓練已知ABC中，AB=AC,AB的垂直平分線與

3、AC所在的直線相交成50的角，求底角的度數(shù).6一個等腰三角形一邊上的高等于另一邊的一半，則等腰三角形底角的度數(shù)是多少？7.AC為等腰ABD的腰BD上的高，且ZCAB=60求這個三角形各內(nèi)角的度數(shù).參考答案1.若已知的這個角為頂角，則底角的度數(shù)為(18052)三2=64。，故一腰上的高與底邊的夾角為26:若已知的這個角為底角，則一腰上的高與底邊的夾角為38.故所求的一腰上的高與底邊的夾角為26或38.2.設ZA,ZB,ZC是該等腰三角形的三個內(nèi)角，且ZA=jzB.設ZA=x，則ZB=2x若ZB是頂角，則ZA,ZC是底角，于是有ZC=ZA=x.VZA+ZB+ZC=180，Ax+2x+x=180.解

4、得x=45，故ZA=ZC=45,ZB=90.若ZB是底角，因為ZAZB，所以ZA是頂角，ZC=ZB=2x.VZA+ZB+ZC=180，A2x+2x+x=180.解得x=36，故ZA=36，ZB=ZC=72.綜上所述，等腰三角形的各內(nèi)角為45、45、90或36、72、72.3據(jù)題意，得x=2、x=4都滿足(x2)(x4)=0.從而可知等腰三角形的三邊長有四種可能情況：2、2、4或2、4、4或2、2、2或4、4、4.其中，根據(jù)三角形的三邊關系知，以2、2、4為邊不能構成三角形，而其他三種情況均符合條件.因此，所求等腰三角形的周長為6或10或12.4如圖，由于條件中中線分周長的兩部分，并沒有指明哪一

5、部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形：若設這個等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為ycm形：若設這個等腰三角形的腰長為xcm，底邊長為ycm，于是根據(jù)題意，得x+*x=9,gx+y=12.x+x=12,2或1丄x+y=9.x=6,解得cy=9.5.由題意可判斷該三角形不，5.由題意可判斷該三角形不即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm.y=5.可能是直角三角形、可能是銳角三角形或鈍角三角形，故分兩種情況討論：如圖1,垂直平分線DE與腰AC相交,且ZAED=50。，則ZA=40，所以ZB=ZC=70；如圖2,當AB的垂直平分線DE與腰AC的反向延長線相

6、交,且ZAED=50。，則ZEAD=40,ZBAC=140,所以兩底角ZB=ZC=20.綜上可知，等腰三角形的底角為70或20.DADAABBCB圖4圖DADAABBCB圖4圖3設ZA為頂角，貝ZABC、ZACB為底角.(1)若ZA為銳角，如圖1,作BD丄AC于點D,根據(jù)題意有BD=|aB,ZBDA=90,ZA=30,ZABC=ZACB=75；(2)若ZA為直角，根據(jù)題意“等腰三角形一邊上的高等于另一邊的一半”，這種情況無解；(3)若ZA為鈍角，有三種情況:如圖2,作AD丄BC于點D,根據(jù)題意有：AD=|AB,ZADB=90,AZABC=ZACB=30；如圖3,作BD丄CA的延長線于點D,根據(jù)題意有：BD=2bc,ZADB=90,AZABC=ZACB=30；如圖4,作BD丄CA的延長線于點D,根據(jù)題意有：BD=2ab,ZADB=90,AZBAD=30,ZABC=ZACB=15綜上所述，等腰三角形底角的度數(shù)是75、30。或15.7如圖1,高AC在厶ABD的內(nèi)部，因為ZCAB=60,ZACB=90，所以ZB=30.因為BA=BD，所以ZBAD=ZD=75；如圖2,高AC在厶ABD的外部，因為ZCAB=60,ZACB=90。，所以ZABC