模型五：數(shù)列中的存在、恒成立問(wèn)題（解析版）

1、模型五：數(shù)列中的“存在、恒成立問(wèn)題”在“知識(shí)交匯處命題”是高考試題的主要特色，不等式中的“存在、恒成立問(wèn)題”是高考經(jīng)久不衰、?？汲Ｐ碌臒狳c(diǎn)問(wèn)題。數(shù)列作為特殊函數(shù)，“存在、恒成立問(wèn)題”能巧妙地植入數(shù)列中，甚至是以數(shù)列形式進(jìn)行巧妙“包裝”。一、探究數(shù)列中的存在性問(wèn)題例1.在公差不為零的等差數(shù)列 HYPERLINK 和等比數(shù)列 b中 , b , = b, = b,問(wèn)是否存在常數(shù)、b使得一切nN，都有=log+b成立，若存在，求出所有n的值，若不存在說(shuō)明理由。【解析】易得數(shù)列 HYPERLINK 的公差d=5, 數(shù)列 b的公比q=6,假設(shè)存在常數(shù)、b使=log+b 成立，即1+5(n-1)= log,

2、(5- log)n=4+b- log 對(duì)一切nN成立于解得a=6 b=1存在常數(shù) =6 b=1 滿足題意?！军c(diǎn)睛】是否存在的探索性題的一般解法：假設(shè)存在，再演繹推理，導(dǎo)出矛盾或找出結(jié)論。 二、與分組求和整合例2.已知數(shù)列 HYPERLINK 中，（1）求證：數(shù)列與都是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列前的和；（3）若數(shù)列前的和為，不等式對(duì)恒成立，求的最大值。【解析】（1）， 數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；數(shù)列是以 HYPERLINK 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。（2）（3）當(dāng)且僅當(dāng) HYPERLINK 時(shí)取等號(hào)，所以，即，的最大值為48 【點(diǎn)睛】數(shù)列中的恒成立問(wèn)題“參變分離”后等價(jià)轉(zhuǎn)化成以正整數(shù)n為自

3、變量的函數(shù)問(wèn)題來(lái)求解。如本題中通過(guò)分組把非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化成兩個(gè)等比數(shù)列求和，再利用分離常數(shù)法求函數(shù)最值即可。三、與裂項(xiàng)相消求和交匯例3.已知各項(xiàng)為正的數(shù)列的前項(xiàng)和為 。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)不等式（）恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 (eq f(1,2n1)eq f(1,2n1)所以Tn (1eq f(1,3)(eq f(1,3)eq f(1,5)(eq f(1,2n1)eq f(1,2n1) (1eq f(1,2n1)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，要使不等式（）恒成立，只需不等式恒成立即可，等號(hào)在時(shí)取得， 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，要使不等式（）恒成立，只需不等式恒成立即可，是隨的增大而增大

4、，時(shí)，取得最小值， 綜合可得的取值范圍是 四、與錯(cuò)位相減求和聯(lián)合例4.（2015.成都一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為27，且滿足.數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)n,點(diǎn)(n，Sn)都在函數(shù)的圖象上.(I) 求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； (II)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，若對(duì)恒成立,試證明：（2） 由- 可得點(diǎn)評(píng)：對(duì)等差數(shù)列和等比數(shù)列乘積型數(shù)列求和適合用錯(cuò)位相減法求和，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)恒成立，分離參數(shù)時(shí)注意對(duì)n的奇偶的討論。四、與函數(shù)思想-數(shù)列單調(diào)性解整合例5在Sn2bn1，4bnbn1(n2)，bnbn12(n2)這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中若問(wèn)題中的k存在，求出k的值；若k不存在

5、，說(shuō)明理由已知數(shù)列an為等比數(shù)列，a1eq f(2,3)，a3a1a2，數(shù)列bn的首項(xiàng)b11，其前n項(xiàng)和為Sn，_，是否存在kN*，使得對(duì)任意nN*，anbnakbk恒成立？【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍1eq f(2,3)，a3a1a2，所以qeq f(a3,a2)eq f(2,3)，故aneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n).若選，解答過(guò)程如下：因?yàn)镾n2bn1，所以Sn12bn11(n2)，兩式相減并整理得eq f(bn,bn1)2(n2)，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，所以bn2n1.所以anbneq blc(rc)

6、(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)2n1eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)eq sup12(n).由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，數(shù)列anbn為遞增數(shù)列，沒(méi)有最大項(xiàng)，所以不存在kN*，使得對(duì)任意nN*，anbnakbk恒成立若選，解答過(guò)程如下：由4bnbn1(n2)，b11，知數(shù)列bn是首項(xiàng)為1，公比為eq f(1,4)的等比數(shù)列，所以bneq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq sup12(n1).所以anbneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)eq blc(rc)(avs4alco1(

7、f(1,4)eq sup12(n1)(4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)eq sup12(n)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,6)eq sup12(n)4eq f(1,6)eq f(2,3).所以存在k1，使得對(duì)任意nN*，anbnakbk恒成立若選，解答過(guò)程如下：由bnbn12(n2)知數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列又b11，所以bn2n1.設(shè)cnanbneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)(2n1)，則cn1cneq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n1)(2n1)eq bl

8、c(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)(2n1)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)eq sup12(n)eq f(52n,3).所以當(dāng)n2時(shí)，cn1cn，當(dāng)n3時(shí)，cn1cn.即c1c2c3，c3c4c5.所以存在k3，使得對(duì)任意nN*，anbnakbk恒成立五、與主干知識(shí)“聯(lián)誼”例6、（2022屆浙江省高考仿真模擬（5）T20）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，（）數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（）若，求使成立(表示不超過(guò)的最大整數(shù))的最大整數(shù)的值（）由得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，解得由，得，所以是一個(gè)以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，所以，解得（）由得，記，所以

9、為單調(diào)遞減且，所以，因此，當(dāng)時(shí)，的的最大值為44；當(dāng)時(shí)，的的最大值為43；故的的最大值為44【強(qiáng)化演練】1.已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，且對(duì)任意的，都有.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【解析】 () 當(dāng)時(shí)， ，又各項(xiàng)均為正數(shù) 數(shù)列是等差數(shù)列， ()，若對(duì)于任意的恒成立，則 令，當(dāng)時(shí) 因，所以 則實(shí)數(shù)的最大值2.設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=2，an12Sn2 （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （）若數(shù)列bn的各項(xiàng)均為正數(shù)，且bn是eq f(n,an)與eq f(n,an2)的等比中項(xiàng)，求bn的前n項(xiàng)和為Tn；若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】（）當(dāng)n2

10、時(shí)，由，得，兩式相減得，故，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，. 6分（）. 8分 所以. 則. ，則. 則得：. 所以，由于單調(diào)遞增，則的最小值為， 由，得或者，解得或者. 12分注：本題對(duì)人教A版必修1第75頁(yè)習(xí)題2.2 B組第2題）：原題：若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.進(jìn)行巧妙的改編與整合。本題對(duì)新教材2019人教A版必修一第141頁(yè)習(xí)題4.4B組第12題）：原題：若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.進(jìn)行巧妙的改編與整合。3.(2021屆天津市濱海新區(qū)高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）T19）已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列前項(xiàng)和；（）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來(lái)的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，說(shuō)明理由.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，即，又，即，解得，對(duì)于，有，故，（2）（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來(lái)的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1，下面說(shuō)明理由若，則由，得化簡(jiǎn)得，此式左邊為偶數(shù)，右邊