2022年秋新教材高中數(shù)學(xué)第四章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.1等差數(shù)列的概念第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第二冊(cè)

1、第二課時(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用題型一等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 學(xué)透用活若an是公差為d的等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q滿(mǎn)足mnpq，則amanapaq.(1)特別地，當(dāng)mn2k(m，n，kN*)時(shí)，aman2ak.(2)對(duì)有窮等差數(shù)列，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，即a1ana2an1akank1.(3)若an是公差為d的等差數(shù)列，則can(c為任一常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列；can(c為任一常數(shù))是公差為cd的等差數(shù)列；anank(k為常數(shù)，kN*)是公差為2d的等差數(shù)列(4)若an，bn分別是公差為d1，d2的等差數(shù)列，則數(shù)列panqbn(p，q是常數(shù))是公差為pd1qd2的

2、等差數(shù)列典例1(1)設(shè)an，bn都是等差數(shù)列，且a125，b175，a2b2100，則a37b37()A0 B37C100 D37(2)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1a5a9a13a17117，則a3a15_.解析(1)設(shè)cnanbn，由于an，bn都是等差數(shù)列，則cn也是等差數(shù)列，且c1a1b12575100，c2a2b2100，cn的公差dc2c10.c37100，即a37b37100.(2)在等差數(shù)列an中，若mnpq，則amanapaq，a1a17a5a13.由條件等式，得a9117.a3a152a92117234.答案(1)C(2)234本例(1)應(yīng)用了等差數(shù)列的性質(zhì)：若an，bn是

3、等差數(shù)列，則anbn也是等差數(shù)列本例(2)求解主要用到了等差數(shù)列的性質(zhì)：若mnpq，則amanapaq.對(duì)于此性質(zhì)，應(yīng)注意：必須是兩項(xiàng)相加等于兩項(xiàng)相加，否則不一定成立例如，a15a7a8，但a6a9a7a8；a1a21a22，但a1a212a11.靈活運(yùn)用等差數(shù)列的某些性質(zhì)，可以提高我們分析、解決數(shù)列綜合問(wèn)題的能力，應(yīng)注意加強(qiáng)這方面的鍛煉對(duì)點(diǎn)練清1已知an為等差數(shù)列，a4a7a1030，則a32a5的值為()A10 B10 C15 D15解析：法一：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則30(a13d)(a16d)(a19d)3a118d，即a16d10.故a32a5(a12d)2(a14d)a16d1

4、0.法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)知30a4a7a103a7，則a710.故a32a5a3(a3a7)a710.答案：B2在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a7450，則a2a8_.解析：a3a7a4a62a5，(a3a7)(a4a6)a55a5450，解得a590.a2a82a5180.答案：180題型二靈活設(shè)元求解等差數(shù)列 學(xué)透用活典例2(1)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其和為9，前兩項(xiàng)之積為后一項(xiàng)的6倍，求這三個(gè)數(shù)(2)四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為8，求這四個(gè)數(shù)常見(jiàn)的設(shè)元技巧(1)某兩個(gè)數(shù)是等差數(shù)列中的連續(xù)兩個(gè)數(shù)且知其和，可設(shè)這兩個(gè)數(shù)為：ad，ad，公差為2d；(2)三個(gè)數(shù)成等

5、差數(shù)列且知其和，常設(shè)這三個(gè)數(shù)為：ad，a，ad，公差為d；(3)四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列且知其和，常設(shè)這四個(gè)數(shù)為：a3d，ad，ad，a3d，公差為2d.對(duì)點(diǎn)練清已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列an的前三項(xiàng)之和為21，前三項(xiàng)之積為231，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式題型三等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 學(xué)透用活典例3某公司經(jīng)銷(xiāo)一種數(shù)碼產(chǎn)品，第1年可獲利200萬(wàn)元從第2年起，由于市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)等方面的原因，其利潤(rùn)每年比上一年減少20萬(wàn)元，按照這一規(guī)律，如果公司不開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，也不調(diào)整經(jīng)營(yíng)策略，那么從哪一年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)這一產(chǎn)品將虧損？解設(shè)從第1年起，第n年的利潤(rùn)為an，則a1200，anan120(n2，nN)，每年的利潤(rùn)an可構(gòu)成一個(gè)等差

6、數(shù)列an，且公差d20，ana1(n1)d200(n1)(20)22020n.若an0，則該公司經(jīng)銷(xiāo)這種產(chǎn)品將虧損，由an22020n0，得n11，故從第12年起，該公司經(jīng)銷(xiāo)此產(chǎn)品將虧損解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)題意，根據(jù)題目條件，尋找有用的信息若一組數(shù)按次序“定量”增加或減少，則這組數(shù)成等差數(shù)列合理地構(gòu)建等差數(shù)列模型是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在解題過(guò)程中，一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵的問(wèn)題對(duì)點(diǎn)練清某縣2018年12月末人口總數(shù)為57萬(wàn)，若人口總數(shù)每月按相同數(shù)目增加，到2019年12月末人口總數(shù)為57.24萬(wàn)，則2019年10月末的人口總數(shù)為()A57.1萬(wàn) B57.2萬(wàn)C57.22萬(wàn) D57.

7、23萬(wàn)解析：由題意知，人口總數(shù)可以看成是一個(gè)以57為首項(xiàng)，d為公差的等差數(shù)列an，則a157，a1357.24，則由a13a112d，得57.245712d，解得d0.02，于是2019年10月末的人口總數(shù)是a11a110d570.257.2(萬(wàn))，故選B.答案：B課堂思維激活一、綜合性強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1在兩個(gè)等差數(shù)列2,5,8，197與2,7,12，197中，求它們的公共項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式及公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)解：設(shè)兩數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大依次排列構(gòu)成的數(shù)列為cp，則c12.兩數(shù)列為等差數(shù)列，且易知它們的公差分別為3,5，數(shù)列cp仍為等差數(shù)列，且公差d15.cpc1(p1)d2(p1)

8、1515p13.令215p13197，知1p14.兩數(shù)列共有14個(gè)公共項(xiàng)二、應(yīng)用性強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2.如圖所示，三個(gè)正方形的邊AB，BC，CD的長(zhǎng)組成等差數(shù)列，且AD21 cm，這三個(gè)正方形的面積之和是179 cm2.(1)求AB，BC，CD的長(zhǎng)；(2)以AB，BC，CD的長(zhǎng)為等差數(shù)列的前三項(xiàng)，以第10項(xiàng)為邊長(zhǎng)的正方形的面積是多少？三、創(chuàng)新性強(qiáng)調(diào)創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新思維3對(duì)于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列an滿(mǎn)足：ankank1an1an1ank1ank2kan，對(duì)任意正整數(shù)n(nk)總成立，則稱(chēng)數(shù)列an是“P(k)數(shù)列”(1)證明：等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”；(2)若數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：an是等差數(shù)列證明：(1)因?yàn)閍n是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則ana1(n1)d，從而，當(dāng)n4時(shí)，ankanka1(nk1)da1(nk1)d2a12(n1)d2an，k1,2,3，所以an3an2an1an1an2an36an，因此等差數(shù)列an是“P(3)數(shù)列”(2)數(shù)列an既是“P(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，因此，當(dāng)n3時(shí)，an2an1an1an24an，當(dāng)n4時(shí)，an3an2an1an1an2an36an.由知，an3an24an