(通用版)高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習考點梳理與過關(guān)練習33《空間向量與立體幾何》(含詳解)

1、考點33 空間向量與立體幾何1空間向量及其運算（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.（2）掌握空間向量的線性運算及其坐標表示.（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能運用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.2空間向量的應用（1）理解直線的方向向量與平面的法向量.（2）能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.一、空間直角坐標系及

2、有關(guān)概念1空間直角坐標系定義以空間一點 SKIPIF 1 0 為原點，具有相同的單位長度，給定正方向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，建立了一個空間直角坐標系 SKIPIF 1 0 坐標原點點O坐標軸x軸、y軸、z軸坐標平面通過每兩個坐標軸的平面在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系，如圖所示.2空間一點M的坐標（1）空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 0 來表示，記作 SKIPIF 1 0 ，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標.（2）建立了空間直角坐標系后

3、，空間中的點M與有序?qū)崝?shù)組 SKIPIF 1 0 可建立一一對應的關(guān)系3空間兩點間的距離公式、中點公式（1）距離公式設點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為空間兩點，則 SKIPIF 1 0 兩點間的距離 SKIPIF 1 0 .設點 SKIPIF 1 0 ，則點 SKIPIF 1 0 與坐標原點O之間的距離為 SKIPIF 1 0 .（2）中點公式設點 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的中點，則 SKIPIF 1 0 .4空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有大小和方向的量單位向量長度(或模)為1的向量零向量長度(或模)為0

4、的向量相等向量方向相同且模相等的向量二、空間向量的有關(guān)定理及運算1.共線向量定理對空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實數(shù)，使得ab.牢記兩個推論：（1）對空間任意一點O，點P在直線AB上的充要條件是存在實數(shù)t，使 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 （其中 SKIPIF 1 0 ）.（2）如果l為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量 SKIPIF 1 0 的直線，那么對空間任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使 SKIPIF 1 0 ，其中向量 SKIPIF 1 0 叫做直線l的方向向量，該式稱為直線方程的向量表示式.2.共面向量定理如果兩個向量a，b不

5、共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使 SKIPIF 1 0 .牢記推論：空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使 SKIPIF 1 0 ；或?qū)臻g任意一點O，有 SKIPIF 1 0 .3.空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc.其中，a，b，c叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量. 注意：（1）空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底.（2）基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.（3） SKIPIF 1 0 不能作為基向量.4.空間向量的運算

6、（1）空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運算都可類比平面向量.（2）空間向量的坐標運算設 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .三、利用空間向量解決立體幾何問題1.直線的方向向量和平面的法向量（1）直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作 SKIPIF 1 0 ，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個.（2）若直線 SKIPIF 1 0 ，則該直線 SKIPIF 1 0 的方向向量即為該平面的法向量，平面的法向量記

7、作 SKIPIF 1 0 ,有無數(shù)多個，任意兩個都是共線向量.平面法向量的求法：設平面的法向量為 SKIPIF 1 0 .在平面內(nèi)找出（或求出）兩個不共線的向量 SKIPIF 1 0 ，根據(jù)定義建立方程組，得到 SKIPIF 1 0 ，通過賦值，取其中一組解，得到平面的法向量.2.利用空間向量表示空間線面平行、垂直設直線 SKIPIF 1 0 的方向向量分別為 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量分別為 SKIPIF 1 0 .（1）線線平行：若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；線面平行：若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；面面平

8、行：若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .（2）線線垂直：若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；線面垂直：若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ；面面垂直：若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 .3.利用空間向量求空間角設直線 SKIPIF 1 0 的方向向量分別為 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 的法向量分別為 SKIPIF 1 0 .（1）直線 SKIPIF 1 0 所成的角為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，計算方法： SKIPIF 1 0 ；（2）直線 SKIPIF 1 0 與平

9、面 SKIPIF 1 0 所成的角為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，計算方法： SKIPIF 1 0 ；（3）平面 SKIPIF 1 0 所成的二面角為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，如圖，AB，CD是二面角l的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小 SKIPIF 1 0 如圖， SKIPIF 1 0 分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小滿足|cos| SKIPIF 1 0 ，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補角)4.利用空間向量求距離（1）兩點間的距離設點 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為空間兩點，

10、則 SKIPIF 1 0 兩點間的距離 SKIPIF 1 0 . （2）點到平面的距離如圖所示，已知AB為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則B到平面的距離為 SKIPIF 1 0 .考向一 空間直角坐標系對于空間幾何問題，可以通過建立空間直角坐標系，把空間中的點用有序?qū)崝?shù)組(即坐標)表示出來,通過坐標的代數(shù)運算解決空間幾何問題，實現(xiàn)了幾何問題(形)與代數(shù)問題(數(shù))的結(jié)合.典例1 如圖，以長方體 SKIPIF 1 0 的頂點 SKIPIF 1 0 為坐標原點，過 SKIPIF 1 0 的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ，

11、則 SKIPIF 1 0 的坐標為_.【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】 如圖所示，以長方體 SKIPIF 1 0 的頂點 SKIPIF 1 0 為坐標原點，過 SKIPIF 1 0 的三條棱所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，因為 SKIPIF 1 0 的坐標為 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ,所以 SKIPIF 1 0 .1如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC=90，AB=AC=AA1=2，點G與E分別是A1B1和CC1的中點，點D與F分別是AC和AB上的動點若GDEF，則線段DF長度的最小值為_.考向二 共線、共面向量定理的應用1.判斷兩非零向量

12、SKIPIF 1 0 平行，就是判斷 SKIPIF 1 0 是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線.2.證明空間三點P、A、B共線的方法： SKIPIF 1 0 (R)； 對空間任一點O， SKIPIF 1 0 (tR)；對空間任一點O， SKIPIF 1 0 3.證明空間四點P、M、A、B共面的方法： SKIPIF 1 0 ； 對空間任一點O， SKIPIF 1 0 ； 對空間任一點O， SKIPIF 1 0 (xyz1)； SKIPIF 1 0 (或 SKIPIF 1 0 或 SKIPIF 1 0 ). 典例2 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E=2

13、ED1，F(xiàn)在體對角線A1C上，且 SKIPIF 1 0 .求證：E,F,B三點共線.【解析】設AB=a,AD=b,AA1=A1E=2ED1, SKIPIF 1 0 ,A1E=23A1D1=23b, SKIPIF 1 0 (AC-AA1)= SKIPIF 1 0 (AB+AD-AA1)= SKIPIF 1 0 a+ SKIPIF 1 0 b- SKIPIF 1 0 c. SKIPIF 1 0 a- SKIPIF 1 0 b- SKIPIF 1 0 c= SKIPIF 1 0 (a- SKIPIF 1 0 b-c).又EB=EA1+A1A+AB=- SKIPIF 1 0 b-c+a=a- SKIP

14、IF 1 0 b-c, SKIPIF 1 0 .E,F,B三點共線.2如圖,正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直,AC/DG/EF,且AD=DE=DG=2,AC=EF=1.（1）求證:B,C,G,F四點共面;（2）求二面角EBCF的余弦值.考向三 利用向量法證明平行問題1.證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行.2.證明線面平行：（1）該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；（2）證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；（3）證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.3.證明面面平行：兩個平面的法向量平行.典例3 如圖,已知長方體AB

15、CDA1B1C1D1中,E、M、N分別是BC、AE、CD1的中點,ADAA1a,AB2a.求證：MN平面ADD1A1.【解析】以D為坐標原點,分別以DA、DC、DD1為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(a,0,0),B(a,2a,0),C(0,2a,0),D1(0,0,a),E( SKIPIF 1 0 a,2a,0),M、N分別為AE、CD1的中點,M( SKIPIF 1 0 a,a,0),N(0,a, SKIPIF 1 0 ). SKIPIF 1 0 .取n(0,1,0),顯然n平面A1D1DA,且MNn0,MNn.又MN平面ADD1A1，MN平面ADD1A1.3如圖，邊長

16、為3的菱形ABCD所在的平面與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，BAD=60，AEBE，點M，N分別在AB，DE上，且 SKIPIF 1 0 .求證：MN平面BCE.考向四 利用向量法證明垂直問題1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示3.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎镜淅? 如圖,已知正四棱錐V-ABCD中,E是VC的中點, 正四棱錐的側(cè)面VBC為正三角形.求證:平面VAC平面EBD.【解析】如圖，以V在底面ABCD內(nèi)的射影O為坐標原點,

17、建立空間直角坐標系O-xyz,設VB=VC=BC=2a,在 SKIPIF 1 0 中,VO=CV2CO2V(0,0,2a),A(2a,0,0),C(-2a,0,0),B(0, 2a,0),D(0,-2a,0),E( SKIPIF 1 0 a,0, SKIPIF 1 0 a),則DE=( SKIPIF 1 0 a,2a, SKIPIF 1 0 a),BD=(0,-22a,0),VC=(-2a,0,-2a).DEVC=a2+0-a2=0,BDVC=0,DEVC,BDVC,即DEVC,BDVC.DEBD=D, VC平面EBD.又 SKIPIF 1 0 平面VAC,平面VAC平面EBD.典例5 如圖所

18、示,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60,PA=AB=BC,E是PC的中點.求證:（1）AECD;（2）PD平面ABE.【解析】（1）易知AB,AD,AP兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.設PA=AB=BC=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,1).ABC=60,ABC為正三角形,C( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,0),E( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ).設D(0,y0,0),由ACCD,得ACCD=0,即( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,0)

19、(- SKIPIF 1 0 ,y0- SKIPIF 1 0 ,0)=0,解得y0= SKIPIF 1 0 ,D(0, SKIPIF 1 0 ,0),CD=( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,0).又AE=( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ),AECD=-1214AECD,即AECD.（2）方法一：由（1）知PD=(0, SKIPIF 1 0 ,-1),AEPD=0+ SKIPIF 1 0 + SKIPIF 1 0 (-1)=0,PDAE,即PDAE.AB=(1,0,0),PDAB=0,PDAB.又ABAE=A,PD平面ABE.方法二

20、：由（1）知AB=(1,0,0),AE=( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ).設平面ABE的法向量為n=(x,y,z),則nAB=0,nAE=0,得 SKIPIF 1 0 ,令y=2,則z=-3,平面ABE的一個法向量為n=(0,2,-3).PD=(0, SKIPIF 1 0 ,-1),顯然PD=33n,PDn,PD平面ABE,即PD平面ABE.4如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中點，G是BB1的中點,E是線段D1O上一點,且D1E=2EO.求證：（1）DGAC;（2）DB1平面CD1O;（3）平面CDE平面CD1O.考向五 用

21、向量法求空間角1.用向量法求異面直線所成的角（1）建立空間直角坐標系；（2）求出兩條直線的方向向量；（3）代入公式求解，一般地，異面直線AC，BD的夾角的余弦值為 SKIPIF 1 0 .2.用向量法求直線與平面所成的角（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角3.用向量法求二面角求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角典例6

22、 如圖,在五棱錐 SKIPIF 1 0 中,PA平面ABCDE, SKIPIF 1 0 ,DEA=EAB=ABC=90.（1）求二面角 SKIPIF 1 0 的大小;（2）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.【解析】由題可知,以AB、AE、AP分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示.則 SKIPIF 1 0 .設平面PDE的法向量為 SKIPIF 1 0 ,又ED=(1,0,0),EP=(0,-2,2).由 SKIPIF 1 0 ,得 SKIPIF 1 0 ,令y=1,得 SKIPIF 1 0 .（1）由于PA平面ABCDE,則平面ADE的一個法向量為AP=(0,0,2),于是c

23、os= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 ,所以=45,則二面角 SKIPIF 1 0 的大小為45.（2）由于PC=(2,1,-2),所以cos= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 .故PC與平面PDE所成角的正弦值為 SKIPIF 1 0 .典例7 如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M為EC的中點，AFABBCFE SKIPIF 1 0 AD.（1）求異面直線BF與DE所成角的大小；（2）證明：平面AMD平面CDE；（3）求二面角ACDE的余弦值.【解析】如圖所示，建立空間

24、直角坐標系Axyz.設AB1，依題意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(xiàn)(0,0,1)，M( SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 ).（1）BF(1,0,1)，DE(0，1,1)，于是cosBF，DE SKIPIF 1 0 0+0+12212，所以異面直線BF與DE所成角的大小為60.（2）由AM( SKIPIF 1 0 ，1， SKIPIF 1 0 )，CE(1,0,1)，AD(0,2,0)，可得CEAM0，CEAD0.因此，CEAM，CEAD.又ADAMA，故CE平面AMD.而CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.（3）設平面CD

25、E的法向量為u(x，y，z)，則 SKIPIF 1 0 ，于是 SKIPIF 1 0 ，令x1，可得u(1,1,1).又由題設，可知平面ACD的一個法向量為v(0,0,1).所以cosu，vuvu|v| SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 .因為二面角ACDE為銳角，所以其余弦值為 SKIPIF 1 0 .5如圖所示的多面體是由一個直平行六面體被平面 SKIPIF 1 0 所截后得到的，其中 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .（1）求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKI

26、PIF 1 0 所成角的正弦值.6在三棱柱 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，點D在棱 SKIPIF 1 0 上，且 SKIPIF 1 0 ，建立如圖所示的空間直角坐標系（1）當 SKIPIF 1 0 時，求異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角的余弦值；（2）若二面角 SKIPIF 1 0 的平面角為 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 的值考向六 用向量法求空間距離1.空間中兩點間的距離的求法兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量

27、的模因此，要求兩點間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為求向量的模.2. 求點P到平面的距離的三個步驟：（1）在平面內(nèi)取一點A，確定向量 SKIPIF 1 0 的坐標（2）確定平面的法向量n.（3）代入公式 SKIPIF 1 0 求解典例8 如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,A1A=5,AB=12,則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是A5B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D8【答案】C【解析】B1C1BC,且 SKIPIF 1 0 平面A1BCD1, SKIPIF 1 0 平面A1BCD1,B1C1平面A1BCD1，從而點B1到平面A1BCD1的距離為所求距離.

28、方法一：過點B1作B1EA1B于點E.BC平面A1ABB1,且B1E SKIPIF 1 0 平面A1ABB1,BCB1E.又BCA1B=B,B1E平面A1BCD1.在 SKIPIF 1 0 中,B1E= SKIPIF 1 0 ,直線B1C1到平面A1BCD1的距離為 SKIPIF 1 0 .故選C.方法二：以D為坐標原點,DA,DC,DD1的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,則C(0,12,0),D設B(x,12,0),B1(x,12,5)(x0),平面A1BCD1的法向量為n=(a,b,c),由nBC,nCD1,得nBC=(a,b,c)(-x,0,0)=a=0,nC

29、D1=(a,b,c)(0,-12,5)=-12b+5c=0,b= SKIPIF 1 0 c,令c=12,則b=5,n=(0,5,12)為平面A1BCD1的一個法向量.又B1B=(0,0,-5),點B1到平面A1BCD1的距離d= SKIPIF 1 0 .故選C.典例9 如圖,直三棱柱 SKIPIF 1 0 中,AC=BC=1,AA1=3,ACB=90,D為CC1上的點,二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 .（1）求證:CD=2;（2）求點A到平面 SKIPIF 1 0 的距離.【解析】（1）以C為坐標原點，分別以CA、CB、CC1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直

30、角坐標系 SKIPIF 1 0 ,則 SKIPIF 1 0 .設 SKIPIF 1 0 .m=(1,1,0)是平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量,設 SKIPIF 1 0 是平面 SKIPIF 1 0 的法向量.DA1=(1,0,3-a),DB=(0,1,-a),由DA1n=0,DBn=0,得 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,取 SKIPIF 1 0 ,得 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,即 SKIPIF 1 0 .由題設,知 SKIPIF 1 0 ,解得a=2或a=1,所以DC=2或DC=1.但當DC=1時,顯然二面角 SKIPIF 1 0 為銳角,

31、故舍去.綜上,DC=2.（2）由（1）,知n=(1,-2,-1)為平面 SKIPIF 1 0 的一個法向量,又AA1=(0,0,3),所以點A到平面 SKIPIF 1 0 的距離d= SKIPIF 1 0 = SKIPIF 1 0 .7已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，SD平面ABCD，且SD=AD=1，求異面直線SB與AC間的距離.8如圖，PA平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，點E,F分別為PA,PD的中點.在CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離恰為 SKIPIF 1 0 ?若存在，求出CQ的長；若不存在，請說明理由.考向七 用向量法求立體幾何中

32、的探索性問題1.通常假設題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設成立，即存在，并可進一步證明；若推導出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說明假設不成立，即不存在2.探索線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應用，這樣可減少坐標未知量典例10 如下圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1平面ABC,BCAC,BC=AC=2,AA1=3,D為AC的中點.（1）求二面角C1-BD-C的余弦值；（2）在側(cè)棱AA1上是否存在一點P，使得CP平面BDC1?并證明你的結(jié)論.【解析】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標系，則C1(0,0,0),

33、B(0,3,2),C(0,3,0),A(2,3,0),D(1,3,0)，所以C1B=設n=(x1,y1,z1)是平面BDC1的法向量,則n所以 SKIPIF 1 0 ，令x1=1,得n=(1, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 )是平面BDC1的一個法向量，易知C1C=所以cos= SKIPIF 1 0 ,而二面角C1-BD-C為銳角,故其余弦值為 SKIPIF 1 0 .（2）假設側(cè)棱AA1上存在一點P(2,y,0)(0y3),使得CP平面BDC1.因為CP=(2,y所以CPC1B=0CP得y=3且y= SKIPIF 1 0 ,所以方程組無解.則假設不成立,即側(cè)棱AA1上不存在

34、一點P,使CP平面BDC1.典例11 已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB/DC，DAB=90 ，PD底面ABCD ，且（1）求證：BM/平面（2）在平面PAD內(nèi)找一點N，使 MN【解析】（1）因為PD底面ABCD,CD/AB,CDAD，所以以D為坐標原點,建立空間直角坐標系D-xyz(如圖所示).由于PD=CD=DA=2AB=2,所以D(0,0,0),B(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),所以BM=因為DC平面PAD所以DC是平面PAD的法向量,又因為DC所以BM/平面PAD，所以BM/平面PAD.（2）設N(x,0,z)是平面PAD內(nèi)一點,則MN若

35、MN平面PBD,則MN所以 SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 ，所以在平面PAD內(nèi)存在點 SKIPIF 1 0 ,使得MN平面PBD.9已知正方形的邊長為 SKIPIF 1 0 分別為 SKIPIF 1 0 的中點，以 SKIPIF 1 0 為棱將正方形 SKIPIF 1 0 折成如圖所示的 SKIPIF 1 0 的二面角，點 SKIPIF 1 0 在線段 SKIPIF 1 0 上（1）若 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點，且直線 SKIPIF 1 0 ，由 SKIPIF 1 0 三點所確定平面的交點為 SKIPIF 1 0 ，試確定點 SKIPIF 1

36、0 的位置，并證明直線 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）是否存在點 SKIPIF 1 0 ，使得直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成的角為 SKIPIF 1 0 ；若存在，求此時二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值，若不存在，說明理由1若O、A、B、C為空間四點,且向量 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 不能構(gòu)成空間的一個基底,則A SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 共線B SKIPIF 1 0 、 SKIPIF 1 0 共線C SKIPIF 1 0 、 SKI

37、PIF 1 0 共線DO,A,B,C四點共面2已知 SKIPIF 1 0 =(2,2,1), SKIPIF 1 0 =(4,5,3),則下列向量中是平面ABC的法向量的是A(1,2,-6) B(-2,1,1) C(1,-2,2) D(4,-2,1)3在空間直角坐標系Oxyz中,z軸上到點A(1,0,2)與點B(2,-2,1)距離相等的點C的坐標為A(0,0,-1) B(0,0,1) C(0,0,-2) D(0,0,2)4已知向量 SKIPIF 1 0 分別是直線 SKIPIF 1 0 的方向向量，若 SKIPIF 1 0 ，則A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF

38、 1 0 D SKIPIF 1 0 5已知兩平面的法向量分別為m(0,1,0)，n(0,1,1)，則兩平面所成的二面角的大小為A45 B135C45或135 D906如圖所示,正方體 SKIPIF 1 0 中, SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 的中點,則 SKIPIF 1 0 為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 7長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,BC=2,AA1=3,點M是BC的中點,點PAC1,QMD,則PQ長度的最小值為A1 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D28如圖所示

39、，在直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形， SKIPIF 1 0 是等腰直角三角形，其中AEB=90,則點D到平面ACE的距離d為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 9已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,則CD與平面BDC1所成角的正弦值等于A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 10已知向量 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 互相垂直，則 SKIPIF 1

40、 0 的值是_.11在平面直角坐標系中，已知點 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 三點共線，則 SKIPIF 1 0 12已知 SKIPIF 1 0 為兩平行平面的法向量，則 .13如圖，在正四面體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 分別為 SKIPIF 1 0 的中點， SKIPIF 1 0 是線段 SKIPIF 1 0 上一點，且 SKIPIF 1 0 ，若 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 的值為 14如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以ABC為直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點,點E在棱AA1上

41、,要使CE平面B1DE,則AE=_.15如圖，在四棱錐 SKIPIF 1 0 中，底面 SKIPIF 1 0 為正方形， SKIPIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 中點（1）求點 SKIPIF 1 0 到平面 SKIPIF 1 0 的距離；（2）求二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值16已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點，求證：（1）FC1平面ADE；（2）平面ADE平面B1C1F.17如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1（1）證明：AB1（2）求直線AC1與平面（3）求平面AB1C118在如圖所示的幾何體中，四邊形 SKIPIF

42、 1 0 是正方形，四邊形 SKIPIF 1 0 是梯形， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，且 SKIPIF 1 0 .（1）求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求二面角 SKIPIF 1 0 的大??；（3）已知點 SKIPIF 1 0 在棱 SKIPIF 1 0 上，且異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值為 SKIPIF 1 0 ，求線段 SKIPIF 1 0 的長19如圖所示,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA底面A

43、BCD, PA=AB=AD=1,點F是PB的中點,點E在邊BC上移動.（1）求證:無論點E在BC邊的何處,都有PEAF;（2）BC(包括端點B,C)上是否存在一點E,使PD平面AEF?若存在,求出點E的位置;若不存在,請說明理由.20如圖,矩形ABCD所在的平面和直角梯形CDEF所在的平面成60的二面角,DECF,CDDE,AD=2,EF=32,CF=6,CFE=45.（1）求證:BF平面ADE;（2）在線段CF上求一點G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為 SKIPIF 1 0 .21如圖，在多面體 SKIPIF 1 0 中，四邊形 SKIPIF 1 0 是正方形， SKIPIF 1 0 平面

44、 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，點 SKIPIF 1 0 為棱 SKIPIF 1 0 的中點.（1）求證：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若 SKIPIF 1 0 ，求直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成的角的正弦值.1（2018新課標全國II理科）在長方體 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，則異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 所成角的余弦值為A SKIPIF 1 0 B SKIPIF 1 0 C

45、 SKIPIF 1 0 D SKIPIF 1 0 2（2019年高考全國卷理數(shù)）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點（1）證明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值3（2019年高考全國卷理數(shù)）如圖，長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在棱AA1上，BEEC1（1）證明：BE平面EB1C1；（2）若AE=A1E，求二面角BECC1的正弦值4（2019年高考全國卷理數(shù)）圖1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC組成的一個平面圖形，其中AB=1，BE=BF=2，F(xiàn)B

46、C=60，將其沿AB，BC折起使得BE與BF重合，連結(jié)DG，如圖2.（1）證明：圖2中的A，C，G，D四點共面，且平面ABC平面BCGE；（2）求圖2中的二面角BCGA的大小.5（2018新課標全國理科）如圖，四邊形 SKIPIF 1 0 為正方形， SKIPIF 1 0 分別為 SKIPIF 1 0 的中點，以 SKIPIF 1 0 為折痕把 SKIPIF 1 0 折起，使點 SKIPIF 1 0 到達點 SKIPIF 1 0 的位置，且 SKIPIF 1 0 .（1）證明：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0

47、 所成角的正弦值.6（2018新課標全國II理科）如圖，在三棱錐 SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 的中點（1）證明： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）若點 SKIPIF 1 0 在棱 SKIPIF 1 0 上，且二面角 SKIPIF 1 0 為 SKIPIF 1 0 ，求 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值7（2018新課標全國理科）如圖，邊長為2的正方形 SKIPIF 1 0 所在的平面與半圓弧 SKIPIF 1 0 所在平面垂直， SKI

48、PIF 1 0 是 SKIPIF 1 0 上異于 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 的點（1）證明：平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）當三棱錐 SKIPIF 1 0 體積最大時，求面 SKIPIF 1 0 與面 SKIPIF 1 0 所成二面角的正弦值8（2019年高考北京卷理數(shù)）如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E為PD的中點，點F在PC上，且 SKIPIF 1 0 （1）求證：CD平面PAD；（2）求二面角FAEP的余弦值；（3）設點G在PB上，且 SKIPIF 1 0 判斷直線AG是

49、否在平面AEF內(nèi)，說明理由9（2019年高考天津卷理數(shù)）如圖， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 （1）求證： SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ；（2）求直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值；（3）若二面角 SKIPIF 1 0 的余弦值為 SKIPIF 1 0 ，求線段 SKIPIF 1 0 的長10（2018北京理科）如圖，在三棱柱ABC SKIPIF 1 0 中， SKIPIF 1 0 平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為 SKIPIF 1 0 ，AC， SKIPIF 1

50、 0 ， SKIPIF 1 0 的中點，AB=BC= SKIPIF 1 0 ，AC= SKIPIF 1 0 =2（1）求證：AC平面BEF；（2）求二面角BCDC1的余弦值；（3）證明：直線FG與平面BCD相交11（2018天津理科）如圖， SKIPIF 1 0 且AD=2BC， SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 且EG=AD， SKIPIF 1 0 且CD=2FG， SKIPIF 1 0 ，DA=DC=DG=2.（1）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證： SKIPIF 1 0 ；（2）求二面角 SKIPIF 1 0 的正弦值；（3）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADG

51、E所成的角為60，求線段DP的長.變式拓展變式拓展1【答案】 SKIPIF 1 0 【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0),E(0,2,1),G(1,0,2),F(x,0,0),D(0,y,0)，則 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ，由于GDEF，所以 SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，故 SKIPIF 1 0 ，所以當 SKIPIF 1 0 時，線段DF長度取得最小值，且最小值為 SKIPIF 1 0 【名師點睛】建立空間直角坐標系后，可將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算的問題來處理，解題時要注意建立的坐標系要合理，盡量多地把已知點放在坐標軸上

52、，同時求點的坐標時要準確建立空間直角坐標系，設出點F，D的坐標，求出向量 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ，利用GDEF求得關(guān)系式，然后可得到DF長度的表達式，最后利用二次函數(shù)求最值2【解析】（1）由正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC所在平面兩兩垂直,易證AD,DE,DG兩兩垂直,建立如圖所示的則A(0,0,2),BF=(0,BF=CG,即四邊形BCGF故B,（2）設平面BFGC的法向量為m=(FG=(2,1,0)則BF令y1=2,則設平面BCE的法向量為n=(x2,則BC令x2=1,則EBCFcos=|m3【解析】菱形ABCD中BAD=60，且平面ABCD平面

53、ABE，點D在平面ABE內(nèi)的射影恰好是AB的中點，設為O，連接OD，OE，又 SKIPIF 1 0 是等腰直角三角形，AEBE，OEAB，分別以OE，OB，OD所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，易得OE= SKIPIF 1 0 ，OD= SKIPIF 1 0 ，OM= SKIPIF 1 0 ，E( SKIPIF 1 0 ,0,0)，M(0, SKIPIF 1 0 ,0)，D(0,0, SKIPIF 1 0 )，B(0, SKIPIF 1 0 ,0)，C(0,3, SKIPIF 1 0 )， SKIPIF 1 0 =( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1

54、 0 ,0)， SKIPIF 1 0 =(0, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 )， SKIPIF 1 0 =2 SKIPIF 1 0 ，N( SKIPIF 1 0 ,0, SKIPIF 1 0 )， SKIPIF 1 0 =( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 )， SKIPIF 1 0 ，即 SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 共面，又MN平面BCE，MN平面BCE. 4【解析】不妨設正方體的棱長為1,以DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則D(0, 0,

55、0),A(1,0,0),B1(1,1,1),O( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),G(1,1, SKIPIF 1 0 ).（1） SKIPIF 1 0 =(1,1, SKIPIF 1 0 ), SKIPIF 1 0 =(-1,1,0), SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 =-1+1+0=0， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，DGAC.（2） SKIPIF 1 0 =(1,1,1), SKIPIF 1 0 =(0,-1,1), SKIPIF 1 0 =( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 ,0),

56、 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 =10+1(-1)+11=0， SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 =1( SKIPIF 1 0 )+1 SKIPIF 1 0 +10=0,DB1CD1，DB1OC，CD1OC=C，DB1平面CD1O.（3）由（2）知平面CD1O的一個法向量為 SKIPIF 1 0 =(1,1,1),D1E=2EO, SKIPIF 1 0 =( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 )，E( SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 )， SKIPIF 1 0 =( SKIPIF 1 0

57、, SKIPIF 1 0 , SKIPIF 1 0 )，設n=(x1,y1,z1)是平面CDE的法向量，由 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 .令x1=1,得n=(1,0,-1)是平面CDE的一個法向量，又n SKIPIF 1 0 =(1,0,-1)(1,1,1)=1-1=0，n SKIPIF 1 0 ，平面CDE平面CD1O.5【解析】（1）在 SKIPIF 1 0 中，因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以由余弦定理得， SKIPIF 1 0 ，解得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， 在直平行六面體中， SK

58、IPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，又 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 ，平面 SKIPIF 1 0 平面 SKIPIF 1 0 . （2）如圖，以 SKIPIF 1 0 為原點建立空間直角坐標系 SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0

59、 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 .設平面 SKIPIF 1 0 的法向量 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ， 令 SKIPIF 1 0 ，得 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 . 設直線 SKIPIF 1 0 和平面 SKIPIF 1 0 的夾角為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，故直線 SKIPIF 1 0 與平面 SKIPIF 1 0 所成角的正弦值為 SKIPIF 1 0 .6【解析】（1）易知 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，因為 SKIPIF

60、 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 當 SKIPIF 1 0 時， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 由于異面直線所成角的范圍為 SKIPIF 1 0 ，故異面直線 SKIPIF 1 0 與 SKIPIF 1 0 的夾角的余弦值為 SKIPIF 1 0 .（2）由 SKIPIF 1 0 ，可知， SKIPIF 1 0 ，所以 SKIPIF 1 0 ，由（1）知， SKIPIF 1 0 .設平面 SKIPIF 1 0 的法向量為 SKIPIF 1 0 ，則 SKIPIF 1 0 ，即 SKIP