高等數(shù)學(xué)(下)課后習(xí)題答案-

1、高等數(shù)學(xué)（下）習(xí)題七在空間直角坐標(biāo)系中，定出以下各點(diǎn)的地點(diǎn)：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：點(diǎn)A在第卦限；點(diǎn)B在第卦限；點(diǎn)C在第卦限；點(diǎn)D在xOy面上；點(diǎn)E在yOz面上；點(diǎn)F在x軸上.2.xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的點(diǎn)，z=0;在yOz面上的點(diǎn)，x=0;在zOx面上的點(diǎn)，y=0.3.x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？答：x軸上的點(diǎn)，y=z=0;y軸上的點(diǎn)，x=z=0;z軸上的點(diǎn)，x=y=0.4.求以下各對(duì)點(diǎn)之間的距離：（1）（0，

2、0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）s22324229(2)s22(3)2(4)229(3)s(12)2(03)2(34)267(4)s(24)2(12)2(33)235.5.求點(diǎn)（4，-3，5）到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.解：點(diǎn)(4，-3，5)到x軸，y軸，z軸的垂足分別為（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故s042(3)25252sx(44)2(30)2(50)234sy42(33)25241sz42(3)2(55)25.在z軸上，求與兩點(diǎn)A（-4

3、，1，7）和B（3，5，-2）等距離的點(diǎn).解：設(shè)此點(diǎn)為M（0，0，z），則(4)212(7z)23252(2z)2173解得z149即所求點(diǎn)為M（0，0，14）.9試證：以三點(diǎn)A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）為極點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.證明：由于|AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故ABC為等腰直角三角形.8.考證：(ab)ca(bc).證明：利用三角形法例得證.見圖7-1圖7-19.設(shè)uab2c,va3bc.試用a,b,c表示2u3v.解：2u3v2(ab2c)3(a3bc)2a2b4c3a9b3c5a11b7c10.

4、把ABC的BC邊分紅五等份，設(shè)分點(diǎn)依次為D1，D2，D3，D4，再把各分點(diǎn)與A連結(jié)，試以ABc，BCa表示向量DA,DA,DA和DA.1234解：D1ABABD1c1a5D2ABABD2c2a5D3ABABD3c3a5D4ABABD4c4a.5設(shè)向量OM的模是4，它與投影軸的夾角是60，求這向量在該軸上的投影.解：設(shè)M的投影為M，則PrjuOMOMcos60412.212.向來量的終點(diǎn)為點(diǎn)B（2，-1，7），它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4，-4和7，求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A(x,y,z)，則174AB4,4,72x,1y,7z解得x=-2,y=3,z=0故A的坐標(biāo)為A

5、(-2,3,0).向來量的起點(diǎn)是P1（4，0，5），終點(diǎn)是P2（7，1，3），試求：（1）PP12在各坐標(biāo)軸上的投影；（2）PP12的模；（3）PP12的方向余弦；（4）PP12方向的單位向量.解：（1）axPrjPP3,x12ayPrjPP21,y1azPrjzPP2.12(2)PP12(74)2(10)2(35)214(3)cosax3PP1214cosay1PP1214cosaz2.PP1412(4)e0PP123,1,23i1j2k.PP2141414141414114.三個(gè)力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn).求協(xié)力R的大小和方向余弦

6、.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）|R|22124221cos2,cos14,cos.21212115.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分別用單位向量ea,eb,ec來表達(dá)向量a,b,c.解：|a|1212123|b|22(3)25238175|c|(2)2(1)2223a3ea,b38eb,c3ec.16.設(shè)m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15

7、k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.向量r與三坐標(biāo)軸交成相等的銳角，求這向量的單位向量er.解：因,故3cos21,cos3,cos3（舍去）33則ercos,cos,cos3333k).,(ij333318.已知兩點(diǎn)M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），點(diǎn)M在線段M1M2上，且M1M3MM2，求向徑OM的坐標(biāo).解：設(shè)向徑OM=x,y,zM1Mx2,y5,z3MM23x,2y,5z由于，M1M3MM211x23(3x)x41因此，y53(2y)y4z33(5z)z3故OM=11,1,3.44236，求點(diǎn)P的坐標(biāo).19.已知點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，0，12）的距離是7，OP的方

8、向余弦是,777解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y,z）,|PA|2x2y2(z12)249得x2y2z29524zcosz66,z2570 x2y2z2z1497176又cosx2x12,x2190y2z2749x2cosy3y13,y2285y2z2749x2故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，3，6）或P（190,285,570）.249494920.已知a,b的夾角4，計(jì)算：，且a3,b3(1)ab;(2)(3a-2b)(a+2b).解：（1）ab=cos|a|b|cos234134632(2)(3a2b)(a2b)3aa6ab2ba4bb3|a|24ab4|b|23324(6)41661.21.已知a=(4

9、,-2,4),b=(6,-3,2),計(jì)算：（1）ab;(2)(2a-3b)(a+b)；（3）|ab|2解：（1）ab46(2)(3)4238(2)(2a3b)(ab)2aa2ab3ab3bb2|a|2ab3|b|2242(2)24238362(3)22223638349113(3)|ab|2(ab)(ab)aa2abbb|a|22ab|b|236238499已知四點(diǎn)A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量AB在向量CD上的投影.解：AB=3，-2，-6，CD=6，2，3PrjCDABABCD36(2)2(6)34.CD622232723.設(shè)重量為10

10、0kg的物體從點(diǎn)M1(3,1,8)沿直線搬動(dòng)到點(diǎn)M2（1，4，2），計(jì)算重力所作的功（長(zhǎng)度單位為m）.177解：取重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向，依題意有f=0,0,-1009.8s=M1M2=-2,3,-6故W=fs=0,0,-980-2,3,-6=5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解:(a+3b)(7a-5b)=7|a|216ab15|b|20(a-4b)(7a-2b)=7|a|230ab8|b|20abab1(ab)21由及可得：|b|22|a|2|b|24|a|2又ab1|b|20，因此cosab1,2|a|b|2故arcc

11、os.3一動(dòng)點(diǎn)與M0(1,1,1)連成的向量與向量n=(2,3,-4)垂直，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)M0Mx1,y1,z1因M0Mn,故M0Mn0.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.26.設(shè)a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,ab,且a+b=2,4,-2a-b=-6,10,14又(a+b)(a-b)=2(-6)+410+(-2)14=0故(a+b)(a-b).27.已知a=3i+2j-k

12、,b=i-j+2k,求：(1)ab;(2)2a7b;(3)7b2a;(4)aa.解：（1）ab2113323i7j5k1i21jk211(2)2a7b14(ab)42i98j70k(3)7b2a14(ba)14(ab)42i98j70k(4)aa0.17828.已知向量a和b互相垂直，且|a|3,|b|4.計(jì)算：|(ab)(ab)|；|(3ab)(a2b)|.（1）|(ab)(ab)|aaabbabb|2(ab)|2|a|b|sin242(2)|(3ab)(a2b)|3aa6abba2bb|7(ba)|734sin84229.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量，并求上述兩向量夾

13、角的正弦.解：ab4113j345i5j5k1i122k11與ab平行的單位向量eab3(ijk)|ab|3sin|ab|53513|a|b|266.2630.一平行四邊形以向量a=(2,1,1)和b=(1,2,1)為鄰邊，求其對(duì)角線夾角的正弦.解：兩對(duì)角線向量為l1ab3ij，l2abi3j2k由于|l1l2|2i6j10k|140,|l1|10,|l2|14因此sin|l1l2|1401.|l1|l2|1014即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.31.已知三點(diǎn)A(2,-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1)，點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，證明：MNMP1BC).(AC4證明：

14、中點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為M(1,1,3),N(1,3,1),P(0,1,3)22MN2,2,2MP31,0,2179AC4,4,4BC2,0,3222222MNMP3i33i5j2k1jk02210AC44444412i20j8kBCi32jk0320故MNMP1(ACBC).4求同時(shí)垂直于向量a=(2,3,4)和橫軸的單位向量.解：設(shè)橫軸向量為b=(x,0,0)則同時(shí)垂直于a，b的向量為344223ab0ixjk=4xj3xk00 x0故同時(shí)垂直于a，b的單位向量為eab1(4j3k).|ab|533.周圍體的極點(diǎn)在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求周圍體的

15、表面積.解：設(shè)四極點(diǎn)依次取為A,B,C,D.AB0,1,2,AD2,2,1則由A，B，D三點(diǎn)所確立三角形的面積為S11|ABAD|1|5i4j2k|35.222同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為1,2,3.2故周圍體的表面積S1233522.34.已知三點(diǎn)A(2,4,1),B(3,7,5),C(4,10,9)，證：此三點(diǎn)共線.證明：AB1,3,4,AC2,6,8顯然AC2AB則ABACAB2AB2(ABAB)0故A，B，C三點(diǎn)共線.18035.求過點(diǎn)(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n=3,-2,6，又過點(diǎn)(4,1,-2

16、)故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.36.求過點(diǎn)M0(1,7,-3)，且與連結(jié)坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為nOM01,7,3故平面方程為：x-1+7(y-7)-3(z+3)=0即x+7y-3z-59=037.設(shè)平面過點(diǎn)(1,2,-1)，而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面方程.解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為xyz12bb2b又(1,2,-1)在平面上，則有1212bb2b1得b=2.故所求平面方程為xyz142438.求過(1,1,-1),(-2,-2,2)和（

17、1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知xx1yy1zz1x2x1y2y1z2z10 x3x1y3y1z3z1x1y1z1代入三已知點(diǎn)，有2121210111121化簡(jiǎn)得x-3y-2z=0即為所求平面方程.指出以下各平面的特別地點(diǎn)，并畫出其圖形：(1)y=0;(2)3x-1=0;(3)2x-3y-6=0;(4)xy=0;(5)2x-3y+4z=0.解：(1)y=0表示xOz坐標(biāo)面（如圖7-2）(2)3x-1=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3)181圖7-2圖7-3(3)2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2的平面.(如圖7-4)(4)xy

18、=0表示過z軸的平面（如圖7-5）(5)2x-3y+4z=0表示過原點(diǎn)的平面（如圖7-6）.圖7-4圖7-5圖7-6經(jīng)過兩點(diǎn)（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n=A,B,C已知平面法向量為n1=1,1,-1過已知兩點(diǎn)的向量l=1,1,1由題知nn1=0,nl=0ABC0B.即BCC0,AA0所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)（1，1，1）在平面上，因此有D=0故平面方程為x-y=0.決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2z=9適合以下條件：（1）經(jīng)過點(diǎn)（5，-4，6）；（2）與平面2x-3y+z=0成的角.4解

19、：（1）因平面過點(diǎn)（5，-4，6）故有5-4k-26=9得k=-4.（2）兩平面的法向量分別為n1=1,k,-2n2=2,-3,1n1n23k2且cos5k214cos2|n1|n2|470解得k242.確立以下方程中的l和m:平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1=2,l,3,n2=m,-6,-1n1n22l3m2m61,l183182(2)n=3,-5,l,n=1,3,212n1n23153l20l6.43.經(jīng)過點(diǎn)（1，-1，1）作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.

20、解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n=A,B,Cn1=1,-1,1,n2=2,1,1nn1ABCA2C03nn22ABC0CB3又（1，1，1）在所求平面上，故AB+C+D=0，得D=0故所求平面方程為2CxCyCz03即2x-y-3z=0求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1=3,-1,7,n2=1,-1,2.nn1,nn2故nnn1773312ijk5ij2k1122111則en1(5ij2k).30求經(jīng)過以下兩已知點(diǎn)的直線方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）兩點(diǎn)所確立的

21、一個(gè)向量為s=3-1，1+2，-1-1=2，3，-2故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x1y2z1x3y1z1232或322（2）直線方向向量可取為s=1-3，0+1，-3-0=-2，1，-3故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x3y1z或x1yz321321346.2x3yz40的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.求直線5y2z103x解：所給直線的方向向量為183sn1n2311223i7j19k5i2j3k235另取x0=0代入直線一般方程可解得00y=7,z=17于是直線過點(diǎn)（0，7，17），因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:xy7z171719且直線的參數(shù)方程為：t77t1719t求以下直線與平面的交點(diǎn)：1y1z(1)2,2x+3y+z

22、-1=0;16x2y1z3(2)32,x+2y-2z+6=0.2x1t解：（1）直線參數(shù)方程為y12tz6t代入平面方程得t=1故友點(diǎn)為（2，-3，6）.x22t（2）直線參數(shù)方程為y13tz32t代入平面方程解得t=0.故友點(diǎn)為（-2，1，3）.求以下直線的夾角：5x3y3z902x2yz230（1）2yz10和8yz18；3x3x0（2）x2y3z1y3z8和124123x1解：（1）兩直線的方向向量分別為：ijks1=5,-3,33,-2,1=533=3,4,-1321184ijks2=2,2,-13,8,1=221=10,-5,10381由s1s2=310+4(-5)+(-1)10=0

23、知s1s2進(jìn)而兩直線垂直，夾角為.2直線x2y3z1的方向向量為y3z8(2)3s1=4,-12,3,直線12的方程可變412x1為2yz202-11,0,0=0,-1,-2,于是x10,可求得其方向向量s=0,2,coss1s260.2064s1s21355求知足以下各組條件的直線方程：1）經(jīng)過點(diǎn)（2，-3，4），且與平面3x-y+2z-4=0垂直；2）過點(diǎn)（0，2，4），且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）過點(diǎn)（-1，2，1），且與直線解：（1）可取直線的方向向量為s=3，-1，2xy3z1平行.213故過點(diǎn)（2，-3，4）的直線方程為x2y3z4312（2）所求直線平行兩已知

24、平面，且兩平面的法向量n1與n2不平行，故所求直線平行于兩平面的交線，于是直線方向向量ijksn1n21022,3,1013故過點(diǎn)（0，2，4）的直線方程為xy2z4231（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為s=2，-1，3故過點(diǎn)（-1，2，1）的直線方程為x1y2z1.213試定出以下各題中直線與平面間的地點(diǎn)關(guān)系：1851）2）3）x3y4z和4x-2y-2z=3;273yz和3x-2y+7z=8;327x2y2z3和x+y+z=3.314解：平行而不包含.由于直線的方向向量為s=-2，-7，3平面的法向量n=4，-2，-2，因此sn(2)4(7)(2)3(2)0于是直線與平面平

25、行.又由于直線上的點(diǎn)M0（-3，-4，0）代入平面方程有4(3)2(4)2043.故直線不在平面上.因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.直線在平面上，由于3111(4)10,而直線上的點(diǎn)（2，-2，3）在平面上.求過點(diǎn)（1，-2，1），且垂直于直線x2yz30 xyz30的平面方程.ijk解：直線的方向向量為121i2j3k,111取平面法向量為1，2，3，故所求平面方程為1(x1)2(y2)3(z1)0即x+2y+3z=0.52.求過點(diǎn)（1，-2，3）和兩平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過兩平面的交線的平面束方程為2x3yz3(x3y2z

26、1)0其中為待定常數(shù)，又由于所求平面過點(diǎn)（1，-2，3）故213(2)33(13(2)231)0解得=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053.求點(diǎn)（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過點(diǎn)（-1，2，0）作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平面的法向量，即s=n=1，2，-1186x1t因此垂線的參數(shù)方程為y22tzt將其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=02得t3522于是所求點(diǎn)（-1，2，0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)()3,3354.求點(diǎn)（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過點(diǎn)（1，2，1）

27、作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s=n=1，2，2x1t因此垂線的參數(shù)方程為y22tz12t將其代入平面方程得1t.3故垂足為(4,8,5)，且與點(diǎn)（1，2，1）的距離為d(1)2(2)2(2)21333333即為點(diǎn)到平面的距離.xyz1055.求點(diǎn)（3，-1，2）到直線yz4的距離.2x0解：過點(diǎn)（3，-1，2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量ijk即ns1113j3k211故過已知點(diǎn)的平面方程為y+z=1.xyz10聯(lián)立方程組2xyz40yz1解得x1,y1,z3.2即(1,1,3)為平面與直線的垂足22于是點(diǎn)到直線的距離為d(13)2(11)2(32)23

28、2.222成立以點(diǎn)（1，3，-2）為中心，且經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：球的半徑為R1232(2)214.187設(shè)(x,y,z)為球面上任一點(diǎn)，則(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)（2，0，-3）的距離與離點(diǎn)（4，-6，6）的距離之比為3，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為(x2)2(y0)2(z3)2M(x,y,z)，由題意知(y6)23.(x4)2(z6)2化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.指出以下方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：（1）(xa)2y(a

29、)2;（2）x2y21;2249（3）x2z21;（4）y2z0;94（5）x2y20;（6）x2y20.解：（1）母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.（2）母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8.圖7-7圖7-83）母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.4）母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10.圖7-9圖7-105）母線平行于z軸的兩平面，如圖7-11.6）z軸，如圖7-12.188圖7-11圖7-12指出以下方程表示怎樣的曲面，并作出圖形：（1）x2y2z21;（2）36x29y24z36;49（3）x2y2z21;（4）x2y2z211;4949（5）x2y22z20;（6）x2y2z

30、20.9解：（1）半軸分別為1，2，3的橢球面，如圖7-13.極點(diǎn)在（0，0，-9）的橢圓拋物面，如圖7-14.圖7-13圖7-14(3)以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖7-15.(4)單葉雙曲面，如圖7-16.圖7-15圖7-16(5)極點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓錐面，其中心軸是y軸，如圖7-17.(6)極點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓錐面，其中心軸是z軸，如圖7-18.189圖7-17圖7-18作出以下曲面所圍成的立體的圖形：(1)x2+y2+z2=a2與z=0,z=a(a0);(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;2(3)z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;(4)z=6

31、-(x2+y2),x=0,y=0,z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分別如圖7-19，7-20，7-21，7-22所示.圖7-19圖7-20圖7-21圖7-22求以下曲面和直線的交點(diǎn)：x2y2z2x3y4z2(1)361與36;8194x2y2z2xyz2(2)91與43.1644解：（1）直線的參數(shù)方程為190 x33ty46tz24t代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4，-2），（6，-2，2）.直線的參數(shù)方程為4t3t24t代入曲面方程可解得t=1,得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3，2）.設(shè)有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3，且位于距離xOy平面5個(gè)單位的平面上，試成

32、立這個(gè)圓的方程.解：設(shè)（x，y，z）為圓上任一點(diǎn)，依題意有x2y29z5即為所求圓的方程.63.成立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即(x1)2y25.24(x1)2y25故曲線在xOy平面上的投影方程為240求曲線x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為x2y2a22故曲線在xOy面上的投影曲線方程為x2y2a22z065.x2y2z2試察看曲面251在以下各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.94(1)平面x=2;(2)平面y=0;(3)平

33、面y=5;(4)平面z=2.191y2z2(55)21解：（1）截線方程為(25)233x2其形狀為x=2平面上的雙曲線.x2z2（2）截線方程為9410為xOz面上的一個(gè)橢圓.2z2(3)截線方程為(32)2(22)21y5為平面y=5上的一個(gè)橢圓.x2y20(4)截線方程為925z2為平面z=2上的兩條直線.x2y2z266.求單葉雙曲面41與平面x-2z+3=0的交線在xOy平面，yOz平面及xOz165平面上的投影曲線.x3解：以z代入曲面方程得2x2+20y2-24x-116=0.故友線在xOy平面上的投影為x220y224x11600以x=2z-3代入曲面方程，得20y2+4z2-

34、60z-35=0.故友線在yOz平面上的投影為20y24z260z350 x0交線在xOz平面上的投影為x2z30,y0.192習(xí)題八判斷以下平面點(diǎn)集哪些是開集、閉集、地區(qū)、有界集、無界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)集和界線：(x,y)|x0;(x,y)|1x2+y24;(x,y)|yx2;(x,y)|(x-1)2+y21(x,y)|(x+1)2+y21.解：(1)開集、無界集，聚點(diǎn)集：R2，界線：(x,y)|x=0.既非開集又非閉集，有界集,聚點(diǎn)集：(x,y)|1x2+y24，界線：(x,y)|x2+y2=1(x,y)|x2+y2=4.開集、地區(qū)、無界集，聚點(diǎn)集：(x,y)|yx2，界線：(x,y

35、)|y=x2.閉集、有界集，聚點(diǎn)集即是其自己，界線：(x,y)|(x-1)2+y2=1(x,y)|(x+1)2+y2=1.2.已知f(x,y)=x2+y2-xytanxf(tx,ty).,試求y解：f(tx,ty)(tx)2(ty)2txtytantxt2f(x,y).ty3.已知f(u,v,w)uwwuv,試求f(xy,xy,xy).解：f(x+y,x-y,xy)=(x+y)xy+(xy)x+y+x-y=(x+y)xy+(xy)2x.求以下各函數(shù)的定義域：(1)zln(y22x1);(2)z11;xyxy(3)zln(14x2y22;(4)u111;xy)xyz(5)zxy;(6)zln(y

36、x)x;x21y2(7)uarccosz.x2y2解：(1)D(x,y)|y22x10.(2)D(x,y)|xy0,xy0.193(3)D(x,y)|4xy20,1x2y20,x2y20.(4)D(x,y,z)|x0,y0,z0.(5)D(x,y)|x0,y0,x2y.(6)D(x,y)|yx0,x0,x2y21.(7)D(x,y,z)|x2y20,x2y2z20.求以下各極限：(1)limln(xey);x1x2y2y0(3)lim2xy4xy;x0y0(5)limsinxy;x0 xy0解：(1)原式=ln(1e0)ln2.1202原式=+.(3)原式=lim4xy41.x0 xy(2xy

37、4)4y0(4)原式=limxy(xy11)2.xy11x0y0(5)原式=limsinxyy100.x0 xyy0(6)原式=lim1(x2y2)2limx2y222x2y2(x2y20.x0(x2y)ex0)y0y02e判斷以下函數(shù)在原點(diǎn)O(0，0)處可否連續(xù)：(1)zsin(x3y3),x2y20,x2y20,x2y20;(2)lim1;x2y2x0y0(4)limxy;x0 xy11y01cos(x2y2).(6)lim0 x22x(x2y2)eyy0194sin(x3y3)3y30,(2)zx3y3,x0,x3y30;x2y22,x2y20,(3)(2)zx2y2(xy)0,x2y2

38、0;解：(1)由于0sin(x3y3)x3y3sin(x3y3)(xy)sin(x3y3)x2y2x2y2x3y3x3y3又lim(xy)sin(x3y3)sinu1,0，且limx3y3limux0 x0u0y0y0故limz0z(0,0).0y0故函數(shù)在O(0,0)處連續(xù).(2)limzlimsinu01z(0,0)x0u0uy0故O(0,0)是z的中斷點(diǎn).(3)若P(x,y)沿直線y=x趨于(0，0)點(diǎn)，則limzlimx2x21,x2x2x00 x00yx若點(diǎn)P(x,y)沿直線y=-x趨于(0，0)點(diǎn)，則limzlimx2(x)2limx202222x0 x0 x(x)4xx0 x4y

39、x0故limz不存在.故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).x00指出以下函數(shù)在向外中斷：(1)xy2(2)f(x,y)=y22x;f(x,y)=33;y22xxyxx2(3)f(x,y)=ln(1x2y2);(4)f(x,y)=ey2,y0,y20,y0.解：(1)由于當(dāng)y=-x時(shí)，函數(shù)無定義，因此函數(shù)在直線y=-x上的所有點(diǎn)處中斷，而在其他點(diǎn)處均連續(xù).(2)由于當(dāng)y2=2x時(shí)，函數(shù)無定義，因此函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點(diǎn)處中斷.而在其他各點(diǎn)處均連續(xù).(3)由于當(dāng)x2+y2=1時(shí)，函數(shù)無定義，因此函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點(diǎn)處中斷.而在其他各點(diǎn)195處均連續(xù).(4)由于點(diǎn)P(x,y)沿直線

40、y=x趨于O(0,0)時(shí).limf(x,y)limx1xx2e.0 x0yx0故(0，0)是函數(shù)的中斷點(diǎn)，而在其他各點(diǎn)處均連續(xù).8.求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x2y+xu2v2y2;(2)s=uv;(3)z=xlnx2y2;(4)z=lntanx;y(5)z=(1+xy)y;(6)u=zxy;y(7)u=arctan(x-y)z;(8)uxz.解：(1)z2xy12,zx22x3.xyyy(2)suvs1v,su1.vuuvu2vv2u(3)zlnx2y2x11y22x1ln(x2y2)x2x2y2,xx2y22x22zx112yxy2.yx2y22x22yy2x(4)z1sec2x12c

41、sc2x,xtanxyyyyyz12xx2x2xyxsecy(y2)y2cscy.tany(5)兩邊取對(duì)數(shù)得lnzyln(1xy)故z(1xy)yyln(1xy)x(1xy)y1y2y2(1xy)y1.xxy196z(1xy)yyln(1xy)(1xy)yxyln(1xy)yy1xy(1xy)yln(1xy)xy.1xy(6)ulnzzxyyulnzzxyxuxyzxy1xyz(7)u1z(xy)z1z(xy)z1.x1(xy)z21(xy)2zuz(xy)z1(1)z(xy)z1y1(xy)z21(xy)2z.u(xy)zln(xy)(xy)zln(xz1(xy)z21(xy)2zy).uy

42、1(8)yxz.xzyyuxzlnx11xzlnx.yzzuyyyyxzlnxxzlnx.zz2z2x2y2，求證：xuyu3yxyx證明：u2xy2(xy)x2y2x2y22xy3.x(xy)2(xy)2由對(duì)稱性知ux2y22yx3y(xy)2.于是xuyu3x2y2(xy)3u.xy(xy)211zz10.設(shè)zexy，求證：x2y22z.xyz111111證明：xyxyxex2x2e,由z對(duì)于x,y的對(duì)稱性得197z111exyyy22zz11111111故xy2x2exyy2exy2exy2z.xyx2y211.設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsinx，求fx(x,1).y解：fx(

43、x,y)1(y1)1112xyx21yy則fx(x,1)101.zx2y212.求曲線4在點(diǎn)（2，4，5）處的切線與正向x軸所成的傾角.y4解：z1x,z1,x2x(2,4,5)設(shè)切線與正向x軸的傾角為,則tan=1.故=.413.求以下函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x4+y4-4x2y2;y(2)z=arctan;x(3)z=yx;(4)z=ex2y.解：(1)z4x38xy2，z12x28y2，2z16xyxx2xy由x,y的對(duì)稱性知2z12y28x2.2z16xy.y2yxz1yy，(2)y2x2x2y2x1x1982z(x2y2)0y2x2xy,x2(x2y2)2(x2y2)2z11x,

44、yy2xx2y21x2z2xy,y22y2)2(x2z(x2y2)y2yy2x2xy(x2y2)2(x2y2)2,2zx2y2x2xy2x22.yx(x2y2)2(x2y2)(3)zyxlny,2zyxln2y,xx2zxyx1,2zx(x1)yx2,yy22zyx1xyx1lnyyx1(1xlny),xyy2zyx1xlnyyx1yx1(1xlny).yx(4)zx2y2x,zex2y,xeyzex2y2x2xex2y22ex2y(2x21),x2zex2y,z2xex2y,zx2y.y2xyyx2xe14.設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求fxx(0,0,1),fyz(0,1,

45、0),fzzx(2,0,1).解：fx(x,y,z)y22zxfxx(x,y,z)2z,fxx(0,0,1)2,fy(x,y,z)2xyz2fyz(x,y,z)2z,fyz(0,1,0)0,fz(x,y,z)2yzx2fzz(x,y,z)2yfzzx(x,y,z)0,fzzx(2,0,1)0.19915.設(shè)z=xln(xy)，求3z及3z2.2xyxy解：zxyln(xy)1ln(xy),xxy2zy1,x3z0,x2xyx2y2zx1,3z1xyxyyxy2y2.16.求以下函數(shù)的全微分：(1)zx2y2(2)zye;x2y2xyzy(3)u;(4)uxz.解：(1)zex2y22x,zex

46、2y22yxydz2xex2y2dx2yex2y2dy2ex2y2(xdxydy)(2)zyx21y22xxyx2x2y2(x2y2)3/2zx2y2yx2yy2x2yx2y2(x2y2)3/2dzx3/2(ydxxdy).(x2y2)(3)uyzxyz1,uxyzlnxzyz1xyulnxxy2lnyyzzduy2xyz1dxxyzlnxzyz1dylnxxyzlnyyzdz.uyy1(4)zxzxulnxxzy1yz153uyylnxxzzzyy1y1yyxzdxlnxxzzdz.dudylnxxz2zz求以下函數(shù)在給定點(diǎn)和自變量增量的條件下的全增量和全微分：(1)zx2xy2y2,x2,

47、y1,x0.2,y0.1;(2)zexy,x1,y1,x0.15,y0.1.解：(1)z(xx)2(xx)(yy)2(yy)2z9.6881.68dz(2xy)x(x4y)y1.6(2)ze(xx)(yy)exye(e0.2651)0.30e.dzyexyxxexyyexy(yxxy)0.25e18.利用全微分代替全增量，近似計(jì)算：(1)(1.02)3(0.97)2;(2)(4.05)2(2.93)2;(3)(1.97)1.05.解：(1)設(shè)f(x,y)=x3y2，則fx(x,y)3x2y2,fy(x,y)2x3y,故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)

48、取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，則(1.02)3(0.97)2=f(1.02,0.97)f(1,1)+df(1,1)dx0.02dy0.03=1312+113110.02+212(-0.03)=1.(2)設(shè)f(x,y)=x2y2,則fx(x,y)2xx2x2y2x2y2fy(x,y)yx2y2故df(x,y)1ydy)x2(xdxy2取x4,y3,dx0.05,dy0.07,則154(4.05)2(2.93)2f(4.05,2.93)f(4,3)df(4,3)dx0.05dy0.074232140.053(0.07)423251(0.01)54.998設(shè)f(x,y)=xy,

49、則df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則1.05f(1.97,1.05)f(2,1)df(2,1)dx0.03(1.97)dy0.0520.03932.0393.19.矩型一邊長(zhǎng)a=10cm，另一邊長(zhǎng)b=24cm,當(dāng)a邊增加4mm，而b邊減小1mm時(shí)，求對(duì)角線長(zhǎng)的變化.解：設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為l，則lx2y2,dl1(xdxydy).x2y2當(dāng)x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時(shí)，dl1(100.4240.1)0.062(cm)102242故矩形的對(duì)角線長(zhǎng)約增加0.062cm.20.1mol理想氣體在溫度0和1個(gè)大氣壓的

50、標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，體積是22.4L，從這標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下將溫度高升3，壓強(qiáng)高升0.015個(gè)大氣壓，問體積大概改變多少？解：由PV=RT得V=RT，且在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，R=8.2056810-2,PRTRVdPRVdv=-2dpdT=dTPPPP22.40.0158.2056810230.0911故體積改變量大概為0.09.測(cè)得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對(duì)誤差限是0.01cm3，質(zhì)量m=30.80g，其絕對(duì)誤差限是0.01g，求由公式m的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.算出密度v解：當(dāng)V=4.45，m=30.80,dv=0.01,dm=0.01時(shí),dm1dm30.801v2dv20.010.01v4.454.45

51、0.01330.0133當(dāng)v=4.45,m=30.80時(shí)30.806.92134.45155d0.00192160.19216%.求以下復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全導(dǎo)數(shù)：(1)zx2yxy2,xucosv,yusinv,求z,z；uv（2）zarctanx,xuv,yuv,求z,z；yuv（3）uln(exey),yx3,求du;dx4）ux2y2z2,xetcost,yetsint,zet,求du.dt解：（1）zzxzy(2xyy2)cosv(x22xy)sinvuxuyu3u2sinvcosv(cosvsinv)zvx2u3xzy(2xyy2)usinv(x22xy)ucosvvyvsinvco

52、sv(sinvcosv)u3(sin3vcos3v).(2)zzxzy111xyxvuxuyux2yx2y2x2y2u2v211yyzzxzy111x(1)vxvyvx2yx2y211yyyxux2y2u2v2.duudxudy11x2eyx2x3xy2e3xe3xe(3)dxxdxydxexeyeexeye3xexeyexex3.(4)duudxudyudzdtxdtydtzdt2x(etcostetsint)2y(etsintetcost)2zet4e2t.設(shè)f擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求以下函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1)uf(x2y2,exy);(2)ufx,y;yz156(3)ufx,xy,xy

53、z.解：(1)uf12xf2exyy2xf1yexyf2.xuf1(2y)f2exyx2yf1xexyf2.y(2)uf111f1xyyuf1xf21x1f2.yy2zy2f1zuf2yyf2.zz2z2(3)uf11f2yf3yzf1yf2yzf3,xuf10f2xf3xzxf2xzf3,yuf3xyxyf3.z24.設(shè)zxyxF(u),uy,F(u)為可導(dǎo)函數(shù)，證明：xxzyzxzxy.yzyxF(u)yF(u)yF(u)證明:x2F(u)yxxzxxF(u)1xF(u).yx故xzzxF(u)yF(u)yxyxyxF(u)yxF(u)xyyF(u)xyyF(u)xyxF(u)xyzxy.

54、25.設(shè)zy，其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù)，考證：f(x2y2)1571z1zzxxyyy2.證明：zyf2x2xyf,xf2f2zfyf(2y)f2y2f,yf2f21z1z2yff2y2f1y1zxxyyf2yf2yffy2y226.zf(x2y2),其中f擁有二階導(dǎo)數(shù)，求22z,2z,2z2.xxyy解：z2xf,z2yf,xy2z22f2x2xf2f4xf,2z2xf2y4xyf,xy由對(duì)稱性知，2z2f4y2f.y2設(shè)f是c2類函數(shù)，求以下函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)zfx,x(2)zfxy2,x2y;y(3)zfsinx,cosy,exy.解：(1)zf11f21f11f2,xyy2zf11

55、f1211f21f221f11f1221f22,x2yyyyy22zx11xxf1211xyf12y2y2f2yf22y2y2yf222f2,yzxx,f2f2,y2yy22z2xxx2xx2f2f22f2f22.y2y2y3y2y3y4158(2)zf1y2f22xyy2f12xyf2,x2zy2f11y2f122xy2yf22xyf21y2f222xyx22yf2y4f114xy3f124x2y2f22,2z2yf1y2f112xyf12x22xf22xyf212xyf22x2xy2yf2xf22xy3f112x3yf225x2y2f12,1zf12xyf2x22xyf1x2f2,y2z2

56、xf12xyf2xyfx2x2f2xyfx222122y11122xf14x2y2f114x3yf12x4f22.(3)zf1cosxf3exycosxf1exyf3,xzsinxf1cosxf11cosxf13exexyf3xyf31cosxf33exx2yeyexyf3sinxf1cos2xf112exycosxf13e2(xy)f33,2zcosxf12(siny)f13exyexyf3exyf32(siny)f33exyxyexyf3cosxsinyf12exycosxf13exysinyf32e2(xy)f33,zf2(siny)f3exysinyf2exyf3,y2zcosyf2s

57、inyf22(siny)f23exxyf3exyf32(siny)f33exyy2yeexyf3cosyf2sin2yf222exysinyf23e2(xy)f33.28.試證：利用變量代替x1y,xy,可將方程32u42u32u0 x2xyy2化簡(jiǎn)為2u0.證明：設(shè)uf(,)f1xy,xy3159uuuuuxxx2u2u2u2u2u2u22u2ux22xxx2x222u2u12u(2u12u(1)12u42uxy231)32323uu1u1)1uuy3(32u12u112u(1)2u12u(1)12u22uy23233329232u2u32ux24xyy22u22u2u412u42u2u31

58、2u22u2u223229232342u0.3故2u0.求以下隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1)sinyexxy20，求dy;dx(2)lnx2y2arctany，求dy；xdx(3)x2yz2xyz0，求z,z;xy(4)z33xyza3，求z,2z.xy2解：(1)解法1用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，設(shè)F(x,y)=siny+ex-xy2,則Fxexy2,Fycosy2xy,故dyFxexy2y2exdxFycosy2xycosy.2xy解法2方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得cosyyexy2x2yy0故yy2excosy.2xy2u2u2160(2)設(shè)F(x,y)lnx2y2arctany1lnx2y2arctany

59、,x2xFx12x1yxy,2x2y2y2x2x2y21xFy12y11yx,2x2y21y2xx2y2xdyFxxy.dxFyxy方程兩邊求全微分，得dx2dydz2(yzdxxzdyxydz)0,2xyzxyzxydzyzxyzxz2xyzxyzxyzdxxyzdy,則dzyzxyzxz2xyzdy,xyzdxxyzxyxy故zyzxyz,zxz2xyz.xxyzxyyxyzxy(4)設(shè)F(x,y,z)z33xyza3,Fx3yz,Fy3xz,Fz3z23xy,則zFx3yzyz,xFz3z23xyz2xyzFy3xzxz,yFz3z23xyz2xy2zxzz2xyxzxz2zzxyyy2

60、yz2xyz2xy2z2xyxxzxz2z2xzx2xyxy2x3yzzzz2xy2(xyz2)316130.設(shè)F(x,y,z)=0能夠確立函數(shù)xyzx=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y),證明：z1.yx證明：xFy,yFz,zFx,yFxzFyxFzxyzFyFzFx1.yzxFxFyFz31.設(shè)Fy1,z10確立了函數(shù)z=z(x,y),其中F可微，求z,z.xyxy解：FxF11F201x2x2F1FzF10F21F2FyF11F21y2zFx1FF1x21xFzF2x2F2FyF11F2y2F1zy2F2yFzF2y2F2求由以下方程組所確立的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：zx2y